1、 江苏省无锡市梁溪区江苏省无锡市梁溪区二校联考二校联考 2021 年中考二模年中考二模数学数学试卷试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1的绝对值是（ ） A3 B3 C D 22020 年新型冠状型病毒肺炎病在全球蔓延，给人们的生产生活带来巨大影响，截止到 2021 年 4 月底，美国新型冠状型病毒肺炎确诊病例超过 3300 万例，用科学记数法表示为（ ） A33106例 B0.33108例 C3.3106例 D3.3107例 3垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是
2、中心对称图形的是（ ） ABCD 4下列运算中，结果正确的（ ） A （a1） （a+1）a21 B+ C （a+b）2a2+b2 Da6a2a3 5若关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3，那么 k 的值是（ ） A B C6 D10 6将一把直尺和一块含 30角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果CED45，那么BAF 的度数为（ ） A45 B15 C16 D30 7如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 都是O 上的点，则ACE+BDE（ ） A70 B80 C90 D100 8 在如图所示的网格中， 小正方形网格的边长为 1， ABC 的三个顶点均在格点上 则
3、sinA 的值为 （ ） A B C D 9 如图， ABC 中， ACB90， AB10， BC2 点 P 是斜边 AB 上一个动点 过点 P 作 PQAB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 APx，APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） ABCD 10在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，若点 Q 满足条件：以线段 PQ 为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直， 则称点 Q 为点 P 的 “正轨点” ， 该正方形为点 P 的 “正轨正方形” ， 如图所示， 已知点 C （m，0） （m0） ，若直线 y2x+m 上存在点 C 的“正轨点” ，使
4、得点 C 的“正轨正方形”面积等于 4，则 m的值是（ ） A4 B1 或 C2 或 D2 或 二、填空題（本大题共二、填空題（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11使有意义的 x 的取值范围是 12分解因式：x3x 13已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 14 九章算术是中国古代的数学专著，下面这道题是九章算术中第七章的一道题： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文： “几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱，则少了 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？”设有 x
5、人，物品价格为 y 钱，可列方程组为 15如图，ABC 中，BD 平分ABC，ADBD 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 E，F 是 AC 中点，连接DF，若 AB10，BC24，则 DF 的长为 16如图，点 A（7，8） ，B（5，4）连接 AB 并延长交反比例函数 y（x0）的图像于点 C，若，则 k 17如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为边 AB 上一点且 AE 长为 1，P 为射线 BC 上一点把EBP沿 EP 折叠，点 B 落在点 B处若点 B到直线 AD 的距离为 3，则 BP 长为 18如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A60，E 是边 AB 的中点，F
6、是边 AD 上的一个动点，将线段 EF绕着点 E 顺时针旋转 60得到 EG，连接 DG、CG，则 DG+CG 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）21+|3|0cos60； （2） （x+3） （x3）（x2）2 20 （8 分） （1）解方程：x24x+20； （2）解不等式组： 21 （8 分）已知，如图所示，ABCD，ABCD，点 E、F 在 BD 上BAEDCF，连接 AF、EC，求证： （1）AEFC； （2）四边形 AECF
7、 是平行四边形 22 （8 分）无锡教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图. 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为 ； （2）补全条形统计图： （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 1000 名学生，试估计该校需要培训的学生人数 23 （8 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明
8、的袋子中 （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 24 （8 分）已知：如图，AB 是O 的直径，DM 切O 于点 D，过点 A 作 AEDM，垂足为 E，交O 于点 C，连接 AD （1）求证：AD 是BAC 的平分线： （2）连接 CD，若 CE2，半径为 5，求 CD 的长 25 （6 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点 A、B、C、D 均在格点上 （1）在图中，PC：PB （
9、2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在 AB 上找一点 P，使 AP3 如图，在 BD 上找一点 P，使APBCPD 26 （10 分）榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100 箱榴莲已知“线上”销售的每箱利润为 100 元， “线下”销售的每箱利润 y（元）与销售量 x（箱） （20 x60）之间的函数关系如图中的线段 AB （1）求 y 与 x 之间的函数关系； （2）当“线下”的销售利润为 4350 元时，求 x 的值； （3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用 a 元（a0） ，若“线上”与“线下”售完这 100 箱榴萏所获
10、得的总利润为 w 元，当 20 x45 时，w 随 x 增大而增大，求 a 的取值范围 27 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 P 从点 C 出发，沿折线 CBBA 以每秒 5 个单位长度的速度向点 A 运动，同时点 E 从点 A 出发，沿 AC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P到达点 A 时，点 P、E 同时停止运动当点 P 不与点 A、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 PQ 交 AC 于点 F，连接 EP、EQ，设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）当点 P 在 CB 上时，用含 t 的代数式表示 AF ； 当点 P 在
11、AB 上时，用含 t 的代数式表示 AF ； （2）当EPQ 为直角三角形时，求 t 的值 （3）如图，取 PE 的中点 M，连接 QM当 P 在 AB 上，且 QMCD 时，求 t 的值当点 P 在 CB 上运动时，是否存在 QMAD 的情况，如果存在直接写出 t 的值，如果不存在请说明理由 28 （10 分）在抛物线 yax2+bx+c（a0）中，规定： （1）符号a，b，c称为该抛物线的“抛物线系数” ； （2）如果一条抛物线与 x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是1，0，m+1，则此抛
12、物线的函数表达式为 （含参数 m） ，当 m满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形” ； （2）若抛物线 yx2+bx 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出该抛物线的“抛物线系数” ； （3）若一条抛物线的系数是a，4a，c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴负半轴交于点 C，顶点为 D，已知 SABD：S四边形ABCD1：4，且 tanACB求该抛物线的函数关系式 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】计算绝对值要根据绝对
13、值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号 【解答】解：| 故的绝对值是 故选：C 【点评】此题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 22020 年新型冠状型病毒肺炎病在全球蔓延，给人们的生产生活带来巨大影响，截止到 2021 年 4 月底，美国新型冠状型病毒肺炎确诊病例超过 3300 万例，用科学记数法表示为（ ） A33106例 B0.33108例 C3.3106例 D3.3107例 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要
14、看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：3300 万330000003.3107 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
15、称图形，根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4下列运算中，结果正确的（ ） A （a1） （a+1）a21 B+ C （a+b）2a2+b2 Da6a2a3 【分析】直接利用乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案 【解答】解：A （a1） （a+1）a21，故此选项正确； B+无法合
16、并，故此选项不合题意； C （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项不合题意； Da6a2a4，故此选项不合题意； 故选：A 【点评】此题主要考查了乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 5若关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3，那么 k 的值是（ ） A B C6 D10 【分析】把 x3 代入方程得出 2k+340，再求出 k 即可 【解答】解：关于 x 的一元一次方程 2kx40 的解是 x3， 2k+340， 解得：k， 故选：A 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键 6将一
17、把直尺和一块含 30角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果CED45，那么BAF 的度数为（ ） A45 B15 C16 D30 【分析】根据平行线的性质和三角板的角度解答即可 【解答】解：DEAF， EAFCED45， BAC903060， BAFBACEAF604515， 故选：B 【点评】此题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等 7如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 都是O 上的点，则ACE+BDE（ ） A70 B80 C90 D100 【分析】连接 AD，由圆周角定理可得ADEACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答 【解答】解：连
18、接 AD，如图所示： AB 是O 的直径， ADB90， ADE 与ACE 是同弧所对的圆周角， ADEACE， ACE+BDEADB90， 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 8 在如图所示的网格中， 小正方形网格的边长为 1， ABC 的三个顶点均在格点上 则 sinA 的值为 （ ） A B C D 【分析】过点 C 作 CDAB，垂足为 D先利用勾股定理求出 AC、AB 的长，再利用三角形的面积求出CD，最后在直角三角形 ACD 中求出 sinA 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂
19、足为 D 由勾股定理可得，AB3，AC SABC233， SABCABCD3， CD， sinA 故选：C 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、三角形的面积公式及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键 9 如图， ABC 中， ACB90， AB10， BC2 点 P 是斜边 AB 上一个动点 过点 P 作 PQAB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 APx，APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】分点 Q 在 AC 上和 BC 上两种情况进行讨论即可 【解答】解：在ABC 中，ACB90，AB10，BC2， 由勾股定
20、理可得，AC4， tanA 当点 Q 在 AC 上时， tanA，APx， PQx， yAPPQxxx2； 当点 Q 在 BC 上时，如下图所示： APx，AB10，tanCAB， BP10 x，PQ2BP202x， yAPPQx（202x）x2+10 x， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下并且当 Q 点在 C 时，x8，y16 故选：D 【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点 Q 在 BC 上这种情况 10在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，若点 Q 满足条件：以线段 PQ 为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直， 则称点 Q 为
21、点 P 的 “正轨点” ， 该正方形为点 P 的 “正轨正方形” ， 如图所示， 已知点 C （m，0） （m0） ，若直线 y2x+m 上存在点 C 的“正轨点” ，使得点 C 的“正轨正方形”面积等于 4，则 m的值是（ ） A4 B1 或 C2 或 D2 或 【分析】根据正方形的性质可得出|xm|2x+m0|根据题意表示出“正轨点” ，由“正轨正方形”面积等于 4，即可得出结论 【解答】解：点 C 的“正轨点”点 P（x，2x+m） ， |xm|2x+m0| 解得 x0 或 x2m， 点 C 的“正轨点”的坐标为（0，m）或（2m，3m） ， 直线 y2x+m 上存在点 C（m，0） （
22、m0）的“正轨点” ，点 C 的“正轨正方形”面积等于 4， 0m2 或2mm2， m2 或 m， m0， m2 或， 故选：D 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是表示出点 C 的“正轨点”的坐标 二、填空題（本大题共二、填空題（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11使有意义的 x 的取值范围是 x5 【分析】根据二次根式有意义的条件，可推出 x50，然后通过解不等式，即可推出 x5 【解答】解：若 x50，原根式有意义， x5， 故答案为 x5 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，
23、关键在于根据题意推出 x50，然后正确的解不等式即可 12分解因式：x3x x（x+1） （x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21） ，而 x21 可利用平方差公式分解 【解答】解：x3x， x（x21） ， x（x+1） （x1） 故答案为：x（x+1） （x1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底 13已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 20 【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积底面周长母线长2 【解答】解：此几何体为
24、圆锥； 直径为 8，母线长为， 侧面积85220 故答案为 20 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键 14 九章算术是中国古代的数学专著，下面这道题是九章算术中第七章的一道题： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文： “几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱，则少了 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？”设有 x 人， 物品价格为 y 钱，可列方程组为 【分析】根据题意可以找出题目
25、中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为： 【点评】 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， 解答本题的关键是明确题意， 列出相应的方程组 15如图，ABC 中，BD 平分ABC，ADBD 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 E，F 是 AC 中点，连接DF，若 AB10，BC24，则 DF 的长为 7 【分析】证明ADBEDB，根据全等三角形的性质得到 EBAB10，ADDE，进而求出 CE，根据三角形中位线定理计算，得到答案 【解答】解：在ADB 和EDB 中， ， ADBEDB（ASA） ， EBAB10，ADDE， BC24， CE
26、BCBE14， AFFC，ADDE， DFCE7， 故答案为：7 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键 16如图，点 A（7，8） ，B（5，4）连接 AB 并延长交反比例函数 y（x0）的图像于点 C，若，则 k 8 【分析】作 ADx 轴于 D，BEx 轴于 E，CFx 轴于 F，根据平行线分线段成比例定理求出点 C 的坐标，代入反比例函数解析式计算即可 【解答】解：作 ADx 轴于 D，BEx 轴于 E，CFx 轴于 F， 则 ADBECF， ， 点 A（7，8） ，B（5，4） ， DE2， EF1
27、， OF4，即点 C 的横坐标为4， 同理，点 C 的纵坐标为 2，即点 C 的坐标为（4，2） ， 点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上， k428， 故答案为：8 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握平行线分线段成比例定理、反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键 17如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为边 AB 上一点且 AE 长为 1，P 为射线 BC 上一点把EBP 沿 EP 折叠，点 B 落在点 B处若点 B到直线 AD 的距离为 3，则 BP 长为 或 15 【分析】 过 B作 MNAB， 交 AD， BC 于点 M， N， 过 E 作 EHAD
28、， 交 MN 于 H， 进而得出四边形 ABNM是矩形，四边形 AEHM 是矩形再分两种情况进行讨论：如图 1，若点 B在 AD 下方；如图 2，若点 B在 AD 上方，分别根据 RtPBN 中，BP2PN2+BN2，即可得到 BP 的值 【解答】解：过 B作 MNAB，交 AD，BC 于点 M，N，过 E 作 EHAD，交 MN 于 H， ADBC，MNAB， 四边形 ABNM 是平行四边形， 又A90， 四边形 ABNM 是矩形 同理可得：四边形 AEHM 是矩形 如图： 若点 B在 AD 下方，则 BM3cm，BN3cm， MHAE1（cm） ， BH2（cm） ， 由折叠可得，EBEB
29、5（cm） ， RtEBH 中，EH（cm） ， BNAMEH（cm） ， 设 BPtcm， PBtcm，PN（t） cm RtPBN 中，BP2PN2+BN2， t2（t）2+32， 解得：t 如图： 若点 B在 AD 上方，则 BM3cm，BN9cm， 同理可得，EH3cm， 设 BPtcm， BPtcm，PN（t3）cm， RtPBN 中，BP2PN2+BN2， t2（t3）2+92， 解得：t15 综上所述，BP 的值为或 15 【点评】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的
30、长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 18如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A60，E 是边 AB 的中点，F 是边 AD 上的一个动点，将线段 EF绕着点 E 顺时针旋转 60得到 EG，连接 DG、CG，则 DG+CG 的最小值为 【分析】如图，取 AD 的中点 N连接 EN，EC，GN，作 EHCB 交 CB 的延长线于 H证明GND60， 推出点 G 的运动轨迹是射线 NG， D， E 关于射线 NG 对称， 推出 GDGE， 推出 GD+GCGE+GC EC，求出 CE 可得结论 【解答】解：如图，取 AD 的中点 N连接 EN，EC，GN，作 EHCB 交 C
31、B 的延长线于 H 四边形 ABCD 是菱形 ADAB， A60， ADB 是等边三角形， ADBD， AEED，ANNB， AEAN， A60， AEN 是等边三角形， AENFEG60， AEFNEG， EAEN，EFEG， AEFNEG（SAS） ， ENGA60， ANE60， GND180606060， 点 G 的运动轨迹是射线 NG， 易知 D，E 关于射线 NG 对称， GDGE， GD+GCGE+GCEC， 在 RtBEH 中，H90，BE1，EBH60， BHBE，EH， 在 RtECH 中，EC， GD+GC， GD+GC 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查旋转变换，
32、轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）21+|3|0cos60； （2） （x+3） （x3）（x2）2 【分析】 （1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案； （2）直接利用平方差、完全平方公式化简，进而合并得出答案 【解答
33、】解： （1）原式+31 2； （2）原式x29（x24x+4） x29x2+4x4 4x13 【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 20 （8 分） （1）解方程：x24x+20； （2）解不等式组： 【分析】 （1）方程移项后，利用配方法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解： （1）方程移项得：x24x2， 配方得：x24x+42，即（x2）22， 开方得：x2， 解得：x12+，x22； （2）， 由得：x2， 由得：x， 不等式组的解集为2x 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，以及
34、解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键 21 （8 分）已知，如图所示，ABCD，ABCD，点 E、F 在 BD 上BAEDCF，连接 AF、EC，求证： （1）AEFC； （2）四边形 AECF 是平行四边形 【分析】 （1）要证 AECF，需证ABECDF由 ABCD，可知BD，由 ABCD，可知BAEDCF，即可证得 （2）由ABECDF 得 AECF，AEBCFD，故 180AEB180CFD，即AEFCFE，AECF，AECF，故四边形 AECF 是平行四边形 【解答】证明： （1）ABCD， BD 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（ASA） AECF （2）
35、由（1）ABECDF 得 AECF，AEBCFD， 180AEB180CFD， 即AEFCFE AECF AECF， 四边形 AECF 是平行四边形 【点评】本题考查的是全等三角形及平行四边形的判定定理及性质，是中学阶段的重点内容，需同学们熟练掌握 22 （8 分）无锡教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图. 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为 108 ； （2）补全条形统计图： （3）学校
36、拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 1000 名学生，试估计该校需要培训的学生人数 【分析】 （1）根据条形统计图中 A 等级的人数和扇形统计图中 A 等级所占比例可求出样本容量和扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角； （2）用样本容量乘以 B 等级所占比例即可求出 B 等级人数； （3）用全校人数 1000 乘以 D 等级所占比例即可求得该校需要培训的学生人数 【解答】解： （1）条形统计图中 A 等级的人数为 150，扇形统计图中 A 等级所占比例为 30%， 本次调查的样本容量为 15030%500， 扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为 36030%108
37、， 故答案为：500；108； （2）本次调查的样本容量为 500，B 等级人数占 40%， B 等级人数为 50040%200（人） ， 故本次调查的 B 等级人数为 200 人， 补全条形统计图如下： （3）本次调查的样本容量为 500，D 等级人数为 50 人， D 等级人数所占比例为100%10%， 全校 1000 人需要培训的学生人数 100010%100（人） ， 故估计该校需要培训的学生人数为 100 人 【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体 23 （8 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将
38、这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中 （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果， 所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知共有 6 种等可能结果，其中
39、 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有 4 种结果， 所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 24 （8 分）已知：如图，AB 是O 的直径，DM 切O 于点 D，过点 A 作 AEDM，垂足为 E，交O 于点 C，连接 AD （1）求证：AD 是BAC 的平分线： （2）连接 CD，若 CE2，半径为 5，求 CD 的长 【分析】 （1）由切线的性质和已知条件易证 ODAE，再由平行线的性质和圆的半径相等可证EADBAE，即 AD 是BAC 的平分线； （2）过点 D 作 DFAB 于点
40、 F，连接 CD、BD，由圆周角定理可得 CDDB，利用 HL 证 RtCEDRtBFD，由全等三角形的性质可得 CEBF，根据勾股定理即可求解 【解答】 （1）证明：连接 OD， DM 切O 于点 D， ODMD， AEDM， ODAE， ODAEAD， ODOA， ODADAB， EADBAE， 即 AD 是BAC 的平分线； （2）解：过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 CD、BD， EADBAE，DFAB，AEDM， ，DEDF， CDBD， 在 RtCED 和 RtBFD 中， ， RtCEDRtBFD（HL） ， CEBF2， OB5， OFOBBF3， DF4， BD2， C
41、DBD2 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质定理、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键 25 （6 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点 A、B、C、D 均在格点上 （1）在图中，PC：PB 1：3 （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在 AB 上找一点 P，使 AP3 如图，在 BD 上找一点 P，使APBCPD 【分析】 （1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）根据勾股定理得 AB 的长为 5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点 P； 作点 A 的对称点
42、A，连接 AC 与 BD 的交点即为要找的点 P，使APBCPD 【解答】解： （1）图 1 中， ABCD， ， 故答案为 1：3 （2） 如图 2 所示，点 P 即为所要找的点； 如图 3 所示，作点 A 的对称点 A， 连接 AC，交 BD 于点 P， 点 P 即为所要找的点， ABCD， APBCPD 【点评】本题考查了作图相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法 26 （10 分）榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100 箱榴莲已知“线上”销售的每箱利润为 100 元， “线下”销售的每箱利润 y（元）与销售量 x（箱） （20 x60）之
43、间的函数关系如图中的线段 AB （1）求 y 与 x 之间的函数关系； （2）当“线下”的销售利润为 4350 元时，求 x 的值； （3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用 a 元（a0） ，若“线上”与“线下”售完这 100 箱榴萏所获得的总利润为 w 元，当 20 x45 时，w 随 x 增大而增大，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以计算出 y 与 x 之间的函数关系； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到 x（0.5x+160）4350，然后求解即可； （3） 根据题意，可以得到利润 w 与 m 的函数关系式，再根据二次函数的性质， 可以求得 a
44、的取值范围 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 点（20，150） ， （60，130）在该函数图象上， ， 解得， 即 y 与 x 的函数关系式为 y0.5x+160（20 x60） ； （2）由题意可得，xy4350， 又y0.5x+160， x（0.5x+160）4350， 解得 x130，x2290（舍去） ， 即 x 的值 30； （3）设“线下”销售榴莲 x 箱，则“线上”销售榴莲（100 x）箱，总利润为 w 元， 由题意可得，wmx0.5x+160a）+100（100 x）x2+（60a）x+10000， 该函数的对称轴为直线 x60a， 当 20
45、 x45 时，w 随 x 增大而增大， 60a44.5，解得 a15.5， 0a15.5 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答 27 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 P 从点 C 出发，沿折线 CBBA 以每秒 5 个单 位长度的速度向点 A 运动，同时点 E 从点 A 出发，沿 AC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P到达点 A 时，点 P、E 同时停止运动当点 P 不与点 A、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 PQ
46、交 AC 于点 F，连接 EP、EQ，设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）当点 P 在 CB 上时，用含 t 的代数式表示 AF 104t ； 当点 P 在 AB 上时，用含 t 的代数式表示 AF ； （2）当EPQ 为直角三角形时，求 t 的值 （3）如图，取 PE 的中点 M，连接 QM当 P 在 AB 上，且 QMCD 时，求 t 的值当点 P 在 CB 上运动时，是否存在 QMAD 的情况，如果存在直接写出 t 的值，如果不存在请说明理由 【分析】 （1）当点 P 在线段 BC 上时，首先利用勾股定理求出 AC，利用三角函数求出 AF 即可，当点 P在 AB 上时，先求出 AP，然
47、后利用三角函数求出 AF 即可； （2）分情况求出两种特殊情况下PDQ 是等腰直角三角形时的 t 值即可； （3）利用 M 是 PE 的中点得出线段 2 倍关系，列方程求解 t 值即可 【解答】解： （1）当点 P 在 BC 上时，由题意得：CP5t， AB6，BC8， AC10， cosACB， ， CP5t， CF4t， AF104t， 当点 P 在 AB 上时，由题意得：AP145t， cosBAC， ， AF， 故答案为：104t； （2）点 P 和点 Q 关于直线 AC 的对称， 若EPQ 为直角三角形，则EPQ 为等腰直角三角形，且 EPEQ， PFEF， 当 P 在 BC 上时，
48、 PFPCsinBCA5t3t，EFAFAE104t2t106t， 即 106t3t， 解得 t， 当 P 在 AB 上时， PFPAsinBAC（8+45t） ，EFAEAF2t5t， 即5t， 解得 t2， 综上，当EPQ 为直角三角形时，t 的值为或 2； （3）过 Q 点作 QGAB 延长线于 G，延长 QM 交 BC 于 N，过点 E 作 EHBC 于 H， PBMNDH，PMEM， BNNH， 在 RtPQG 中，PQ2PF2AFtanPAF8t， QGPQsinAPFPQcosPAFPQ（145t） ， 在 RtECH 中，HCCEcosECHt， BH2BN， 即 BCCH2Q
49、G， （8t）2（145t） ， 解得 t， 当点 P 在线段 BC 上，QMBC 时， 过点 E 作 EHBC 于 H，过点 P 作 PKQM 于 K， QMBC，PMEM， EH2PK， 在 RtPQK 中，PQ2PF2CFtanPCF6t， PKPQcosKPQPQcosPCFPQ8t， 在 RtECH 中，HECEcosPCF6t， EH2PK， （6t）28t， 解得 t， 当 P 在 AB 上时 t 的值为，当 P 在 BC 上时 t 的值为 【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键 28 （10 分）在抛物线 yax
50、2+bx+c（a0）中，规定： （1）符号a，b，c称为该抛物线的“抛物线系数” ； （2）如果一条抛物线与 x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” 完成下列问题： （1） 若一条抛物线的系数是1， 0， m+1， 则此抛物线的函数表达式为 yx2+m+1 （含参数 m） ，当 m 满足 m1 时，此抛物线没有“抛物线三角形” ； （2）若抛物线 yx2+bx 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出该抛物线的“抛物线系数” ； （3）若一条抛物线的系数是a，4a，c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与
