1、20202020- -20212021 学年江苏省学年江苏省无锡市梁溪区二校联考无锡市梁溪区二校联考九年级上期中数学试卷九年级上期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（3 分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A3x 212 Bax 2+5x+70 C2x 4+3x250 Dx 2+ 0 2（3 分）已知关于x的方程x 2kx60 的一个根为 x3，则实数k的值为（ ） A1 B1 C2 D2 3（3 分）一元二次方程x 22x+30 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 4（3 分）平面内有两点P，O，O的半径为 5，
2、若PO4，则点P与O的位置关系是（ ） A点P在O外 B点P在O上 C点P在O内 D无法判断 5（3 分）下列语句，错误的是（ ） A直径是弦 B相等的圆心角所对的弧相等 C弦的垂直平分线一定经过圆心 D平分弧的半径垂直于弧所对的弦 6（3 分）如图，在ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC3：2，则DEF的面 积与BAF的面积之比为（ ） A3：5 B9：4 C9：25 D3：2 7（3 分）九章算术中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十 步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正 北
3、方向走 40 步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走 810 步到达点D处时正好看到此树， 则 正方形城池的边长为（ ） A360 步 B270 步 C180 步 D90 步 8（3 分）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D若AD2，CD 3，则BC的长为（ ） A3 B C D2 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 1010 小题，每空小题，每空 2 2 分，共分，共 2020 分）分） 9（2 分）已知，则 10（2 分）如图，ADE和ABC中，12，请添加一个适当的条件 ，使ADEABC（只填 一个即可） 11（2 分）已知三角形
4、两边的长分别是 2 和 5，第三边的长是方程x 27x+100 的根，则这个三角形的周 长是 12（2 分）某商店 4 月份营业额为 2.7 万元，6 月份营业额为 3.5 万元，平均每月的增长率为x，根据题 意可列方程为 13（2 分）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，D67，则ABC的度数为 14（2 分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE若ABC 115，则DAE的度数为 15（2 分）如图，在等边ABC中，AB12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且APQ60，PC8，则 QC的长是 16（2 分）代数学中记载，形如x 2+10 x33
5、 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 1，先构造一个 面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为 39+2564，则该方程的正数解为 853”小聪按此方法解关于x的方程x 2+12x+m0，构造图 2，已 知阴影部分的面积为 60，则该方程的正数解为 17（2 分）如图，直线l1l2l3，等腰 RtABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，ACB 90，AC交l2于点D若l1与l2的距离为 1，l1与l3的距离为 4，则的值是 18（2 分）如图所示，在 RtABC中，C90，AC6，BC8点D、E分别在边AC，BC上，点F、
6、G 在AB边上， 当四边形DEEG是菱形， 且符合条件的菱形只有一个时， 则菱形的边长x的取值范围是 三、认真答一答（本大题共三、认真答一答（本大题共 7 7 个题，共个题，共 5656 分）分） 19（12 分）解方程： （1）（x2） 29； （2）x 26x10（用配方法）； （3）2x 23x10； （4）（3x+2） 24x20 20（6 分）如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为 1，ABC的顶点分别为A（2，3），B（2， 1），C（5，4） （1）写出ABC的外心P的坐标 （2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比 2：1 在位似中心的同侧将ABC放大为ABC， 放大后
7、点A、B、C的对应点分别为A、B，C，请在图中画出ABC 21（6 分）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB45，APD75 （1）求B的大小； （2）已知圆心O到BD的距离为 3，求AD的长 22（6 分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点， 且DFEA （1）求证：DFCCBE； （2）若AD4，CD6，DE3，求DF的长 23（6 分）疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为 30 元，经市场调研发现，当该 商品的销售单价为40元时， 每天可销售 280件； 当销售单价每增加1 元， 每天的销售数量将减少 1
8、0 件【销 售利润销售总额进货成本】 （1）若该商品的单价为 43 元时，则当天销售商品 件，当天销售利润是 元； （2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是 3450 元 24（10 分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，连结EB，交OD于 点F （1）求证：ODBE； （2）若DE，AB8，求AE的长； （3）若CDE的面积是OBF面积的，求的值 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点B（6，5），过点B作x轴的垂线，垂足为A，作y轴的垂线， 垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方
9、向以每 秒 3 个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒 2 个单位长度运动当E点运动到点A时，三点 随之停止运动，运动过程中ODE关于直线DE的对称图形是ODE，设运动时间为t （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标 （2）若ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值 （3）是否存在这样的t，使得以D，E，F，O所围成的四边形中有一组对边平行？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、精心选一选：（本大题共 8 题，每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A3x 212 Bax 2+5x+70
10、C2x 4+3x250 Dx 2+ 0 解：A、3x 212 是一元二次方程，故此选项符合题意； B、ax 2+5x+70 未指明 a0，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有一个未知数，未知数x的最高次数是 4 次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A 2（3 分）已知关于x的方程x 2kx60 的一个根为 x3，则实数k的值为（ ） A1 B1 C2 D2 解：把x3 代入方程得：9+3k60， 解得k1 故选：B 3（3 分）一元二次方程x 22x+30 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两
11、个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 解：在方程x 22x+30 中， （2） 241380， 该方程没有实数根 故选：D 4（3 分）平面内有两点P，O，O的半径为 5，若PO4，则点P与O的位置关系是（ ） A点P在O外 B点P在O上 C点P在O内 D无法判断 解：O的半径为 5，若PO4， 45， 点P与O的位置关系是点P在O内， 故选：C 5（3 分）下列语句，错误的是（ ） A直径是弦 B相等的圆心角所对的弧相等 C弦的垂直平分线一定经过圆心 D平分弧的半径垂直于弧所对的弦 解：直径是弦，A正确，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意； 弦的
12、垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意； 平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意； 故选：B 6（3 分）如图，在ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC3：2，则DEF的面 积与BAF的面积之比为（ ） A3：5 B9：4 C9：25 D3：2 解：DE：EC3：2， DE：DC3：5， 四边形ABCD为平行四边形， DCAB，DCAB， DE：AB3：5， DEAB， DEFBAF， （） 2（ ） 2 故选：C 7（3 分）九章算术中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十 步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城
13、池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正 北方向走 40 步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走 810 步到达点D处时正好看到此树， 则 正方形城池的边长为（ ） A360 步 B270 步 C180 步 D90 步 解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AECEx， AECD， BEAEDC， RtBEARtEDC， ，即， x360， 即正方形城池的边长为 360 步 故选：A 8（3 分）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D若AD2，CD 3，则BC的长为（ ） A3 B C D2 解：连接AO并延长交BC于点H， ABAC， ， OHB
14、C，BHCH， BH， 作AEBC交BD的延长线于E AD2，CD3， ， ，设OBOA4a，OH3a， BH 2AB2AH2OB2OH2， 2549a 216a29a2， a 2 ， BH， BC2BH 故选：B 二、细心填一填（本大题共 10 小题，每空 2 分，共 20 分） 9（2 分）已知，则 解：设k，则a4k，b3k， ； 故答案为： 10（2分） 如图， ADE和ABC中， 12， 请添加一个适当的条件 DB或EC或 ， 使ADEABC（只填一个即可） 解：12， DAEBAC， 要使ADEABC，则添加的一个条件可以是DB或EC或 故答案为：DB或EC或 11（2 分）已知三
15、角形两边的长分别是 2 和 5，第三边的长是方程x 27x+100 的根，则这个三角形的周 长是 12 解：x 27x+100 （x2）（x5）0， 解得：x12，x25， 三角形两边的长分别是 2 和 5，第三边的长是方程x 27x+100 的根， 第三条边长的取值范围是：3第三边的长7， 第三边长为：5， 故这个三角形的周长是：2+5+512 故答案为：12 12（2 分）某商店 4 月份营业额为 2.7 万元，6 月份营业额为 3.5 万元，平均每月的增长率为x，根据题 意可列方程为 2.7（1+x） 23.5 解：依题意，得：2.7（1+x） 23.5 故答案为：2.7（1+x） 23
16、.5 13（2 分）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，D67，则ABC的度数为 23 解：AB是O的直径， ACB90， AD67， ABC906723 故答案为 23 14（2 分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE若ABC 115，则DAE的度数为 50 解：圆内接四边形ABCD， D180ABC65， 点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上， BAEC115， DAE1156550 故答案为：50 15（2 分）如图，在等边ABC中，AB12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且APQ60，PC8，则 QC的长是 解：ABC是等边三角形，
17、 ABCACB60，ABBC12， PC8， BP4， APCB+BAPAPQ+CPQ， BAPCPQ， 又BC60， ABPPCQ， ， ， QC， 故答案为： 16（2 分）代数学中记载，形如x 2+10 x33 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 1，先构造一个 面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为 39+2564，则该方程的正数解为 853”小聪按此方法解关于x的方程x 2+12x+m0，构造图 2，已 知阴影部分的面积为 60，则该方程的正数解为 46 解：x 2+12x+m0， x 2+12xm， 阴影部分的面积为 60，
18、 x 2+12x60， 设 4a12， 则a3， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形， 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 3x的矩形， 得到大正方形的面积为 60+3 2460+3696， 则该方程的正数解为646， 故答案为：46 17（2 分）如图，直线l1l2l3，等腰 RtABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，ACB 90，AC交l2于点D若l1与l2的距离为 1，l1与l3的距离为 4，则的值是 解：作AEl3于E，交l2于F，作BHl3于H，如图， l1l2l3， AFl2， EFBH3，AF1， ABC为等腰直角三角形， ACBC， ACB90， AC
19、E+CAE90， ACE+BCH90， CAEBCH， 在ACE和CBH中， ， ACECBH（AAS）， CEBH3， 在 RtACE中，AC5， ABAC5， DFCE， ， CD， 在 RtBCD中，BD， 故答案为 18（2 分）如图所示，在 RtABC中，C90，AC6，BC8点D、E分别在边AC，BC上，点F、G 在AB边上，当四边形DEEG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长x的取值范围是 x 或x 解：如图 1 中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x 在 RtABC中，C90，AC6，BC8， AB， 则CDx，ADx， AD+CDAC， x+x6， x
20、 如图 2 中，当四边形DAGE是菱形时，设菱形的边长为m DEAB， CDECAB， ， ， 解得m 如图 3 中，当四边形DGBE是菱形时，设菱形的边长为n DEAB， CDECAB， ， ， n， 综上所述，菱形的边长l的取值范围为x或x， 故答案为x或x 三、认真答一答（本大题共 7 个题，共 56 分） 19（12 分）解方程： （1）（x2） 29； （2）x 26x10（用配方法）； （3）2x 23x10； （4）（3x+2） 24x20 解：（1）（x2） 29， x23 或x23， 则x15，x21； （2）x 26x1， x 26x+91+9，即（x3）210， x3，
21、x3， 即x13+，x23； （3）a2，b3，c1， （3） 242（1）170， 则x， 即x1，x2； （4）（3x+2） 24x2， 3x+22x或 3x+22x， 解得x12，x2 20（6 分）如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为 1，ABC的顶点分别为A（2，3），B（2， 1），C（5，4） （1）写出ABC的外心P的坐标 （4，2） （2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比 2：1 在位似中心的同侧将ABC放大为ABC， 放大后点A、B、C的对应点分别为A、B，C，请在图中画出ABC 解：（1）如图P点坐标为（4，2）； 故答案为（4，2）； （2）如图，ABC为
22、所作 21（6 分）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB45，APD75 （1）求B的大小； （2）已知圆心O到BD的距离为 3，求AD的长 解：（1）CAB45，APD75 CAPDCAB30， 由圆周角定理得：CB， B30； （2）过O作OEBD于E， OE过O， BEDE， 圆心O到BD的距离为 3， OE3， AOBO，DEBE， AD2OE6 22（6 分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点， 且DFEA （1）求证：DFCCBE； （2）若AD4，CD6，DE3，求DF的长 【解答】（1）证明：四边形ABCD为平行
23、四边形， ADBC，CDAB， A+B180，DCEBEC， DFEA， DFE+B180， 而DFE+DFC180， DFCB， 而DCFCEB， DFCCBE； （2）解：四边形ABCD为平行四边形， CDAB，BCAD4， DEAB， DEDC， EDC90， 在 RtDEC中，CE3， DFCCBE， DF：BCDC：CE，即DF：46：3， DF 23（6 分）疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为 30 元，经市场调研发现，当该 商品的销售单价为40元时， 每天可销售 280件； 当销售单价每增加1 元， 每天的销售数量将减少 10 件【销 售利润销售总额进货成本】
24、 （1）若该商品的单价为 43 元时，则当天销售商品 250 件，当天销售利润是 3250 元； （2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是 3450 元 解：（1）280（4340）10250（件），当天销售利润是 250（4330）3250（元） 故答案为：250，3250； （2）设该商品的销售单价为x元（x40），则当天的销售量为280（x40）10件， 依题意，得：（x30）280（x40）103450， 整理，得：x 298x+23850， 整理，得：x153，x245 答：当该商品的销售单价为 45 元或 53 元时，该商品的当天销售利润是 3450 元 24（1
25、0 分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，连结EB，交OD于 点F （1）求证：ODBE； （2）若DE，AB8，求AE的长； （3）若CDE的面积是OBF面积的，求的值 解：（1）连接AD， AB是O直径， AEBADB90， ABAC， ， ODBE； （2）AEB90， BEC90， BDCD， BC2DE， 四边形ABDE内接于O， BAC+BDE180， CDE+BDE180， CDEBAC， CC， CDECAB， ，即， CE， AEACCEABCE8； （3）， 设SCDE3k，SOBF4k， BDCD， SCDESBDE3k， BDCD，
26、AOBO， ODAC， OBFABE， ， SABE4SOBF， SABE4SOBF16k， SCABSCDE+SBDE+SABE22k， CDECAB， ， ， BC2CD， 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点B（6，5），过点B作x轴的垂线，垂足为A，作y轴的垂线， 垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每 秒 3 个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒 2 个单位长度运动当E点运动到点A时，三点 随之停止运动，运动过程中ODE关于直线DE的对称图形是ODE，设运动时间为t （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标
27、 （2）若ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值 （3）是否存在这样的t，使得以D，E，F，O所围成的四边形中有一组对边平行？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由 解：（1）由题可得OE3t，ODt，BF2t BAx轴，BCy轴，AOC90， AOCBAOBCO90， 四边形OABC是矩形， ABOC，BCOA B（6，5）， BCOA6，ABOC5， AF52t，AE63t， 点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（6，52t） （2）当ODEAEF时， 则有， ， 解得t10（舍），t2， 经检验t是分式方程的解 当ODEAFE时， 则有， ， 解得t10（舍），t23，
28、 经检验，t6 是分式方程的解 点E运动到点A时，三点随之停止运动， 3t6， t2 32， t3 舍去， 综上所述：t的值为 （3）过点O作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图 1， 则有DMN90，N90 由折叠可得DODOt，OEOE3t，DOEDOE90， DMON90，MDO90MODNOE， MDONOE， ， NE3MO，NO3MD， 设MOa， 则有OMNE3a，NO3ta，MD3at， 3ta3（3at）， 解得：at， MOt，OMt， 点O的坐标为（t，t） 若DOEF，如图 2， 延长OD交x轴于S， 则有OMOS，DSEFEA， MODDSEFEA OMDEAF90， OMDEAF， ， ， 解得：t10（舍去），t2， 经检验t是分式方程的解 若OFDE，如图 3， 过点O作x轴的平行线与AB交于点Q，延长DE交BA的延长线于点T， 同可得DOEFQO， ， ， 解得t10（舍去），t2 综上所述：t的值为或
