1、 江苏省无锡市惠山区江苏省无锡市惠山区 2020-2021 学年八年级下八校联考期中数学试题学年八年级下八校联考期中数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分 ）分 ） 1下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 3若二次根式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 4为了了解赣榆区八年级学生某次数学调研测试成绩情况，从 10000 名学生中随机抽取了 1000 名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（ ） A
2、全区学生是总体 B抽取的 1000 名学生是总体的一个样本 C每一名学生是个体 D样本容量是 1000 5一个布袋里装有 2 个红球，3 个黑球，4 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 1 个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A摸出的是白球 B摸出的是黑球 C摸出的是红球 D摸出的是绿球 6将分式中的 m、n 都扩大为原来的 3 倍，则分式的值（ ） A不变 B扩大 3 倍 C扩大 6 倍 D扩大 9 倍 7下列说法正确的是（ ） A对角线相等的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 8 面对疫情
3、， 武汉疫情急需建造一座用于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设 若该工程由甲队单独施工， 则恰好在规定时间内完成， 若由乙队单独施工， 则要超过规定时间 3 天才能完成；现在甲、乙两队合做 2 天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成设工程规定的天数为 x 天，则下列方程正确的是（ ） A B C D 9如图，已知正方形 ABCD 边长为 1，连接 AC、BD，CE 平分ACD 交 BD 于点 E，则 DE 长为（ ） A22 B1 C2 D1 10如图，平面内三点 A、B、C，AB5，AC4，以 BC 为对角线作正方形 BDCE，连接 AD，则
4、AD 的最大值是（ ） A5 B9 C9 D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11化简：| 12从一副扑克牌中任意抽取 1 张：这张牌是“A” ；这张牌是“红心” ；这张牌是“大王” 其中发生的可能性最大的事件是 （填序号） 13 “学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是 14若 a+b5，ab3，则的值是 15若关于 x 的方程+3 的解为正数，则 m 的取值范围是 16 如图， 在ABC 中， ACB90， D 为 AB 边的中点， 连接 CD 并延长至点 E， 使 DECD
5、 连接 AE，过点 B 作 BFDE 交 AE 的延长线于点 F，若 BF7，则 AB 的长为 17如图，ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC7，则 MN 的长度为 18如图，正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在线段 CD 上，且 CE3DE，过点 C 作 CFBE，垂足为点 F连接 OF，则 OF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 54 分 ）分 ） 19 （8 分）计算： （1）（23） （2）（2+） （
6、2） 20 （8 分）解下列方程： （1）； （2） 21 （4 分）如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图 （1）以 A 点为旋转中心，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1，画出AB1C1； （2）作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 22 （6 分）某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制两幅不完整的统计图 请你根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了 名学生其中喜欢“舞蹈”活动项
7、目的人数占抽查总人数的百分比为 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 度 （2）请你补全条形统计图 （3）某班 8 位同学中，2 人喜欢舞蹈，2 人喜欢乐器，1 人喜欢声乐，3 人喜欢乐曲，李老师要从这 8人中任选 1 人参加学校社团展演，则恰好选出 1 人喜欢乐器的概率是 23 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过 A 作 AEBD，过 D 作 DEAC，AE与 DE 相交于点 E求证：四边形 AODE 为矩形 24 （7 分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共 10 台已知用 90 万元购买 A 型号的
8、污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A 型 B 型 价格（万元/台） m m3 月处理污水量（吨/台） 2200 1800 （1）求 m 的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数 25 （8 分）已知：直线 l1与直线 l2平行，且它们之间的距离为 2，A、B 是直线 l1上的两个定点，C、D 是直线 l2上的两个动点（点 C 在点 D 的左侧） ，ABCD5，连接 AC、BD、BC，将ABC
9、 沿 BC 折叠得到A1BC （1）求四边形 ABDC 的面积 （2）当 A1与 D 重合时，四边形 ABDC 是什么特殊四边形，为什么？ （3）当 A1与 D 不重合时 连接 A1、D，求证：A1DBC； 若以 A1，B，C，D 为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为 a，b，求（a+b）2的值 26 （9 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，AEBD，垂足是 E，点 F 是点关于 AB 的对称点，连接 AF、BF （1）直接求出：AF ；BE ； （2）若将ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向所经过的线段长度） 当点 F
10、 分别平移到线段 AB、AD 上时，求出相应的 m 的值 （3） 如图， 将ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 （0180） ， 记旋转中的ABF 为ABF，在旋转过程中，设 AF所在的直线与直线 AD 交于点 P，与直线 BD 交于点 Q是否存在这样的 P、Q 两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，直接写出此时 DQ 的长；若不存在，请说明理由 江苏省无锡市惠山区江苏省无锡市惠山区2020-2021学年八年级下八校联考期中数学试题学年八年级下八校联考期中数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分 ）分 ） 1下列图案中既
11、是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】
12、判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、不能化简，是最简二次根式，符合题意； C、x，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B 【点评】考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数） ，如果幂的指数大于或等于 2，也不是最简二次 根式 3若二次根式有意义，
13、则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出 x 的取值范围 【解答】解：由题意得：2x0， 解得：x2 故选：C 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握被开方数只能为非负数 4为了了解赣榆区八年级学生某次数学调研测试成绩情况，从 10000 名学生中随机抽取了 1000 名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（ ） A全区学生是总体 B抽取的 1000 名学生是总体的一个样本 C每一名学生是个体 D样本容量是 1000 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐个判断即可 【解答】解：A、全区学生
14、的数学成绩是总体，故本选项不符合题意； B、抽取的 1000 名学生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意； C、每一名学生的数学成绩是个体，故本选项不符合题意； D、样本容量是 1000，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量等知识点，能熟记总体、个体、样本、样本容量的概念的内容是解此题的关键 5一个布袋里装有 2 个红球，3 个黑球，4 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 1 个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A摸出的是白球 B摸出的是黑球 C摸出的是红球 D摸出的是绿球 【分析】个数最多的就是可能性最大的 【解答】解：因为白球
15、最多， 所以被摸到的可能性最大 故选：A 【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等 6将分式中的 m、n 都扩大为原来的 3 倍，则分式的值（ ） A不变 B扩大 3 倍 C扩大 6 倍 D扩大 9 倍 【分析】根据分式的基本性质进行解答即可 【解答】解：将分式中的 m、n 都扩大为原来的 3 倍可变为 故选：A 【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的基本性质 3 是解答此题的关键 7下列说法正确的是（ ） A对角线相等的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角
16、线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 【分析】利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故 A 选项错误； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 B 选项正确； C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故 C 选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 D 选项错误， 故选：B 【点评】本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大 8 面对疫情， 武汉疫情急需建造一座用于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设 若该工程由甲队单独施工，
17、则恰好在规定时间内完成， 若由乙队单独施工，则要超过规定时间 3 天才能完成；现在甲、乙两队合做 2 天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成设工程规定的天数为 x 天，则下列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】设工程规定日期为 x 天，根据题意可得：总工程甲乙 2 天的工作量+乙（x2）天的工作量，据此列方程 【解答】解：设工程规定日期为 x 天， 由题意得，2（+）+1 故选：A 【点评】本题考查了有实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 9如图，已知正方形 ABCD 边长为 1，连接 AC、BD，CE 平分ACD 交 BD 于点
18、 E，则 DE 长为（ ） A22 B1 C2 D1 【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质，可以得到BCE 和BEC 的度数，根据勾股定理，可以得到 BD 的长，然后即可得到 DE 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDDA1， BCD90， BD， AC 为正方形 ABCD 的对角线，CE 平分ACD， BCE67.5，DCE22.5， BECEDC+DCE45+22.567.5， BECBCE， BCBE， BC1， BE1， DEBDBE1， 故选：D 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 10如图，平面内三点
19、A、B、C，AB5，AC4，以 BC 为对角线作正方形 BDCE，连接 AD，则 AD 的最大值是（ ） A5 B9 C9 D 【分析】如图将BDA 绕点 D 顺时针旋转 90得到CDM由旋转不变性可知：ABCM5，DADMADM90，得出ADM 是等腰直角三角形，推出 ADAM，当 AM 的值最大时，AD 的值最大，根据三角形的三边关系求出 AM 的最大值即可解决问题 【解答】解：如图， 将BDA 绕点 D 顺时针旋转 90得到CDM， 由旋转不变性可知：ABCM5，DADM，ADM90， ADM 是等腰直角三角形， ADAM， 当 AM 的值最大时，AD 的值最大， AMAC+CM， AM
20、9， AM 的最大值为 9， AD 的最大值为 故选：D 【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11化简：| 【分析】要先判断出0，再根据绝对值的定义即可求解 【解答】解：0 |2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了绝对值的性质要注意负数的绝对值是它的相反数 12从一副扑克牌中任意抽取 1 张：这张牌是“A” ；这张牌是“红心” ；这张牌是“大王” 其中发生的可能性最大的事件是 （填序号） 【分析
21、】分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小 【解答】解：这张牌是“A”的概率为； 这张牌是“红心”的概率为； 这张牌是“大王”的概率为； 中发生的可能性最大的事件是 故答案为： 【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比 13 “学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是 【分析】直接利用频率的定义分析得出答案 【解答】解：“学习强国”的英语“Learningpower”中，一共有 13 个字母，n 有 2 个， 字母“n”出现的频率是： 故答案为： 【点评】此题主要
22、考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键 14若 a+b5，ab3，则的值是 【分析】本题需先根据分式的运算顺序和法则进行计算，再把 a+b5，ab3 代入即可求出答案 【解答】解：， ， 当 a+b5，ab3 时， 原式， ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，在解题时要根据分式的运算顺序和法则进行计算，再把已有的数据代入是本题的关键 15若关于 x 的方程+3 的解为正数，则 m 的取值范围是 m且 m 【分析】 根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解， 然后根据关于 x 的方程+3 的解为正数和 x30 可以求得 m 的取值范围 【解答】解：+3， 方程两边同乘以 x
23、3，得 x+m3m3（x3） 去括号，得 x+m3m3x9 移项及合并同类项，得 2x2m+9 系数化为 1，得 x， 关于 x 的方程+3 的解为正数且 x30， ， 解得，m且 m 【点评】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 16 如图， 在ABC 中， ACB90， D 为 AB 边的中点， 连接 CD 并延长至点 E， 使 DECD 连接 AE，过点 B 作 BFDE 交 AE 的延长线于点 F，若 BF7，则 AB 的长为 7 【分析】利用“SAS”证BCDAED 得CBDEAD，据此知 BCEF，由 BFCE 可得四边形BCEF 是平行
24、四边形，据此知 CEBF7，最后根据 DECDCE 可得答案 【解答】解：D 为 AB 边的中点， ADBD， 在BCD 和AED 中， ， BCDAED（SAS） ， CBDEAD， BCAE，即 BCEF， 又BFCE， 四边形 BCEF 是平行四边形， CEBF7， CDCE3.5， ACB90， AB2CD7， 故答案为：7 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质 17如图，ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，ACB 的平分线垂直于 AD
25、，垂足为 M，若 BC7，则 MN 的长度为 【分析】证明BNABNE，得到 BABE，即BAE 是等腰三角形，同理CAD 是等腰三角形，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可 【解答】解：BN 平分ABC，BNAE， NBANBE，BNABNE， 在BNA 和BNE 中， BNABNE（ASA） ， BABE， BAE 是等腰三角形， 同理CAD 是等腰三角形， 点 N 是 AE 中点，点 M 是 AD 中点（三线合一） ， MN 是ADE 的中位线， BE+CDAB+AC19BC19712， DEBE+CDBC5， MNDE 故答案是： 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握
26、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 18如图，正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在线段 CD 上，且 CE3DE，过点 C 作 CFBE，垂足为点 F连接 OF，则 OF 的长为 【分析】在 BE 上截取 BGCF，连接 OG，如图所示：先由 SAS 证明OBGOCF，得出 OGOF，BOGCOF，证出 OGOF，由射影定理求出 BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出 OF 的长 【解答】解：在 BE 上截取 BGCF，连接 OG，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD4，BCDABCBADADC90，
27、OBOC， RtBCE 中，CFBE， EBCECF， OBGOCF， 在OBG 与OCF 中， OBGOCF（SAS） ， OGOF，BOGCOF， OGOF， 在 RtBCE 中，BCDC4，CE3DE， EC3， BE5， BCCECFBE， 则 435CF， CF， BF， GFBFBGBFCF， 在等腰直角OGF 中，OF 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 54 分 ）分 ） 19 （8 分）计算： （1）（23
28、） （2）（2+） （2） 【分析】 （1）利用二次根式的乘法法则运算； （2）先分母有理化，再利用平方差公式计算 【解答】解： （1）原式23 63 ； （2）原式（43） 1 2+21 2+1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 20 （8 分）解下列方程： （1）； （2） 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1）去分母得：2x3x9， 解
29、得：x9， 经检验 x9 是分式方程的解； （2）去分母得： （x+1）24x21， 去括号得：x2+2x+14x21， 移项合并得：2x2， 解得：x1， 经检验 x1 是增根，分式方程无解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 21 （4 分）如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图 （1）以 A 点为旋转中心，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1，画出AB1C1； （2）作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 【分析】 （1）依据ABC
30、绕点 A 顺时针旋转 90，即可得到AB1C1； （2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 【解答】解： （1）AB 1C 1如图所示； （2）A 2B 2C 2如图所示 【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等 22 （6 分）某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制两幅不完整的统计图 请你
31、根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 24% 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 28.8 度 （2）请你补全条形统计图 （3）某班 8 位同学中，2 人喜欢舞蹈，2 人喜欢乐器，1 人喜欢声乐，3 人喜欢乐曲，李老师要从这 8人中任选 1 人参加学校社团展演，则恰好选出 1 人喜欢乐器的概率是 【分析】 （1）根据喜欢声乐的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比和扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角的度数； （2）根据（1）中的结
32、果，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据题目中的数据，可以得到恰好选出 1 人喜欢乐器的概率 【解答】解： （1）在这次调查中，一共抽查了学生人数为：816%50（名） ， 其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：100%24%， 喜欢“戏曲”的人数为：5012168104（名） ， 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：36028.8， 故答案为：50，24%，28.8； （2）由（1）得：喜欢戏曲的学生有 4 名， 补全的条形统计图如图所示； （3）某班 8 位同学中，2 人喜欢舞蹈，2 人喜欢乐器，1 人喜欢声乐，3 人喜欢乐曲，李老师要从这 8人中任选 1 人
33、参加学校社团展演， 恰好选出 1 人喜欢乐器的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 23 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过 A 作 AEBD，过 D 作 DEAC，AE与 DE 相交于点 E求证：四边形 AODE 为矩形 【分析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论 【解答】证明：AEBD，DEAC， 四边形 AODE 是平行四边形， 在菱形 ABC
34、D 中，ACBD， AOD90， 四边形 AODE 为矩形 【点评】本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键 24 （7 分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共 10 台已知用 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A 型 B 型 价格（万元/台） m m3 月处理污水量（吨/台） 2200 1800 （1）求 m 的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污
35、水处理设备的资金不超过 165 万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数 【分析】 （1）根据 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，列出关于 m 的分式方程，求出 m 的值即可； （2）设购买 A 型设备 x 台，则 B 型设备（10 x）台，根据题意列出关于 x 的一元一次不等式，求出 x的取值范围再设每月处理污水量为 W 吨，则 W2200 x+1800（10 x）400 x+18000，根据一次函数的性质即可求出最大值 【解答】解： （1）由题意得：， 解得 m18 经检验 m18 是原方程
36、的根， 故 m 的值为 18； （2）设购买 A 型设备 x 台，则 B 型设备（10 x）台， 由题意得：18x+15（10 x）165， 解得 x5 设每月处理污水量为 W 吨，由题意得 W2200 x+1800（10 x）400 x+18000， 4000， W 随着 x 的增大而增大， 当 x5 时，W 最大值为：4005+1800020000， 即两种设备各购入 5 台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为 20000 吨 【点评】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的关系是解决问题的关键注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的
37、性质；即由函数 y 随 x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值 25 （8 分）已知：直线 l1与直线 l2平行，且它们之间的距离为 2，A、B 是直线 l1上的两个定点，C、D 是直线 l2上的两个动点（点 C 在点 D 的左侧） ，ABCD5，连接 AC、BD、BC，将ABC 沿 BC 折叠得到A1BC （1）求四边形 ABDC 的面积 （2）当 A1与 D 重合时，四边形 ABDC 是什么特殊四边形，为什么？ （3）当 A1与 D 不重合时 连接 A1、D，求证：A1DBC； 若以 A1，B，C，D 为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为 a，b，求（a+b）2的值 【分析】 （1）
38、根据平行四边形的判定方法可得到四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算； （2）根据折叠的性质得到 ACCD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形 ABDC 是菱形； （3）连接 A1D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到 CA1CABD，ABCDA1B，1CBA2，可证明A1CDA1BD，则34，然后利用三角形内角和定理得到得到14，则根据平行线的判定得到 A1DBC； 讨论：当CBD90，则BCA90，由于 SA1CBSABC5，则 S矩形A1CBD10，即 ab10，由 BA1BA5，根据勾股定理得到 a2+b225，然后根据完全平方公式进行计算； 当BCD90，则
39、CBA90，易得 BC2，而 CD5，所以（a+b）2（2+5）2 【解答】解（1）ABCD5，ABCD， 四边形 ABCD 为平行四边形， 四边形 ABDC 的面积2510； （2）四边形 ABDC 是平行四边形， A1与 D 重合时， ACCD， 四边形 ABDC 是平行四边形， 四边形 ABDC 是菱形； （3）连接 A1D，如图， ABC 沿 BC 折叠得到A1BC， CA1CABD，ABCDA1B， 在A1CD 和A1BD 中 A1CDA1BD（SSS） ， 34， 又1CBA2， 1+23+4， 14， A1DBC； 当CBD90， 四边形 ABDC 是平行四边形， BCA90，
40、SA1CBSABC255， S矩形A1CBD10，即 ab10， 而 BA1BA5， a2+b225， （a+b）2a2+b2+2ab45； 当BCD90时， 四边形 ABDC 是平行四边形， CBA90， BC2， 而 CD5， （a+b）2（2+5）249， （a+b）2的值为 45 或 49 【点评】 本题考查了四边形综合题： 熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角 26 （9 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，AEBD，垂足是 E，点 F 是点关于 AB 的对称点，连接 AF、BF （1）直接求出：AF ；BE
41、 ； （2）若将ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向所经过的线段长度） 当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，求出相应的 m 的值 （3） 如图， 将ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 （0180） ， 记旋转中的ABF 为ABF，在旋转过程中，设 AF所在的直线与直线 AD 交于点 P，与直线 BD 交于点 Q是否存在这样的 P、Q两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，直接写出此时 DQ 的长；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图1 所示利用平移性质，确定图形中的
42、等腰三角形，分别求出 m 的值； （3）在旋转过程中，等腰DPQ 有 4 种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， BAD90， 在 RtABD 中，AB3，AD4， 由勾股定理得：BD10， SABDBDAEABAD， AE， 点 F 是点 E 关于 AB 的对称点， AFAE，BFBE， AEBD， AEB90， 在 RtABE 中，AB6，AE， 由勾股定理得：BE 故答案为：， （2）设平移中的三角形为ABF，如图1 所示： 由对称点性质可知，12BFBE， 由平移性质可知，ABAB，41，BFBF 当点 F落在 AB 上时，
43、ABAB， 34， 32， BBBF，即 m； 当点 F落在 AD 上时， ABAB， 62， 12，51， 56， 又易知 ABAD， BFD 为等腰三角形， BDBF， BBBDBD10，即 m （3）存在理由如下： 在旋转过程中，等腰DPQ 依次有以下 4 种情形： 如图1 所示，点 Q 落在 BD 延长线上，且 PDDQ， 则QDPQ， 2Q+DPQ2Q， 13+Q，12， 3Q， AQAB6， FQFA+AQ+6 在 RtBFQ 中，由勾股定理得：BQ DQBQBD10； 如图2 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQDQ， 则2P， 12， 1P， BAPD， 则此时点 A落在 B
44、C 边上 32， 31， BQAQ， FQFAAQBQ 在 RtBQF中，由勾股定理得：BF2+FQ2BQ2， 即： （）2+（BQ）2BQ2， 解得：BQ， DQBDBQ10； 如图3 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PDDQ， 则34 2+3+4180，34， 4902 12， 4901 AQB4901， ABQ180AQB1901， AQBABQ， AQAB6， FQAQAF6 在 RtBFQ 中，由勾股定理得：BQ， DQBDBQ10； 如图4 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQPD， 则23 12，34，23， 14， BQBA6， DQBDBQ1064 综上所述， 存在 4 组符合条件的点 P、 点 Q， 使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为 4 或或10 或 10 【点评】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论
