1、江苏省扬州市江都区2020-2021学年高一下期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数，则（ ）A. 的实部为B. 的虚部为C. 在复平面内对应的点在第三象限D. 2. 的值为（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 4. 在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（ ）A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环5. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ）A. B. C. D. 6. 有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标
2、志性建筑小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（ ）A. B. C. D. 7. 在边长为2的菱形ABCD中，BAD=60，M是AD上一动点，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 38. 中，角对边分别为且，为的中点，则=（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列说法正确的是（ ）A. 若与平行，与平行
3、，则与平行B. C. 若且则D. 和数量积就是在上的投影向量与的数量积10. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 11. 的内角、的对边分别为、，则下列说法正确的是（ ）A. 斜三角形ABC中，B. 若，则有两解C. 若，则一定为直角三角形D. 若，则外接圆半径为12. 已知向量，则下列命题正确是（ ）A. 的最大值为B. 若，则C. 若是与共线的单位向量，则D. 当取得最大值时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知i为虚数单位，z，则|z|_14. 已知，则_15. 如图，在平行四边形中，为中点，交于点，且，则_16. 已知，函数，若在区间上至少有个零点，
4、则的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知是虚数单位，复数，（1）若为纯虚数，求实数值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值18. 如图，在平面直角坐标系中，（1）求点的坐标；（2）求证：四边形为等腰梯形19. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角的对边分别为，_，求的面积注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分20. 已知向量，其中，且.（1）求和的值;（2）若，且，求角.21. 如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.（1）将的
5、面积表示成的函数，并写出定义域；（2）求面积最小值.22. 中，（1）求角；（2）若，求AB的长；（3）设，是否存在实数，使得的最小值为？江苏省扬州市江都区2020-2021学年高一下期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数，则（ ）A. 的实部为B. 的虚部为C. 在复平面内对应的点在第三象限D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的实部为x,虚部为y,对应点,共轭复数为,进行判定.【详解】复数实部为2，虚部为，对应点坐标,是第四象限，共轭复数为，故选：A.2. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】
6、B【解析】【分析】先利用诱导公式转化，然后利用两角差的余弦公式化简计算.【详解】原式=，故选：B.3. 已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用和平面向量的数量积和模的坐标表示计算，然后求得.【详解】,所以，故选：B.4. 在复平面内，若复数满足，则所对应点的集合构成的图形是（ ）A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环【答案】C【解析】【分析】利用复数的减法的几何意义即可判定.【详解】设复数z对应的点为P,3对应的点为A,对应的点为B，则表示P到A，B的距离相等，P点的轨迹为线段AB的垂直平分线，故选：.5. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（
7、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用已有图形分别求、，再求即可.【详解】由图可知，得，因为，所以.故选: D.6. 有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】中求得，在中运用正弦定理求得，解求得的值【详解】在中，AMB=15，则， 在中，, ,由正弦定理可知，即,故选：B7. 在边长为2的菱形ABCD中，B
8、AD=60，M是AD上一动点，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算转化：，进而利用几何意义求得最小值.【详解】取BC的中点为N,连接DN,由DC=2,NC=1,DCN=60，可知DN=,且DNCN，当M与D重合时，MN最小，此时取得最小值，故选：A.8. 中，角的对边分别为且，为的中点，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用正弦定理、二倍角的余弦公式、诱导公式可得，可得，或，由，则为等腰三角形，则，中，再由余弦定理求得的值【详解】解：，由正弦定理可得：，即，即，即， 或，或，因为，所以，则为等腰三角形，则，如图所
9、示：点为边的中点，中，由余弦定理可得，即，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列说法正确的是（ ）A. 若与平行，与平行，则与平行B. C. 若且则D. 和的数量积就是在上的投影向量与的数量积【答案】BD【解析】【分析】当为零向量时,利用零向量和任意向量都平行规定可以判定A错误；根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定B正确；由移项，提取公因式，可等价转化为与垂直，进而判定C错误；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D正确.【详解】当为零向量时，对于任
10、意的与，与平行，与平行总是成立，故A错误；，故B正确；等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；在上的投影向量为，所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积故正确.故选：.10. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式判断A；利用正切的二倍角公式判断B；利用正弦的二倍角公式判断C；利用余弦的二倍角公式可判断D.【详解】A，A可选；B，B可选；C，C不选；D，D不选.故选：AB11. 的内角、的对边分别为、，则下列说法正确的是（ ）A. 斜三角形ABC中，B. 若，则有两解C. 若，则一定为直角三角形D. 若，则外接圆半径为【
11、答案】ABC【解析】【分析】利用两角和的正切公式以及三角形的内角和性质可判断A；利用余弦定理可判断B；利用正弦定理的边角互化可判断C；利用余弦定理以及正弦定理可判断D.【详解】A，斜三角形ABC中，故A正确；B，由余弦定理可得，所以，整理可得，此方程有两个解，故B正确；C，所以或（舍），整理可得，所以一定为直角三角形，故C正确；D，由余弦定理可得，所以，正弦定理可得，解得，故D错误.故选：ABC12. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）A. 的最大值为B. 若，则C. 若是与共线的单位向量，则D. 当取得最大值时，【答案】AD【解析】【分析】设，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量
12、积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.【详解】，是单位向量，设，则，当，方向相反，即时取等号，的最大值为，故A正确；等价于即，即，故B错误；与共线的单位向量为，故错误；最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知i为虚数单位，z，则|z|_【答案】【解析】【分析】通过复数的除法，先计算出复数，再计算其模长即可
13、.【详解】z，|z|故答案为：.【点睛】本题考查复数除法以及复数模长的计算，属基础题.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式转化，并利用平方差公式化简即可求得.【详解】，所以，故答案为：.15. 如图，在平行四边形中，为中点，交于点，且，则_【答案】2【解析】【分析】根据三角形相似计算出与的关系，再利用和表示出向量,即可求出.【详解】在平行四边形中有因为为中点所以又因为由所以所以故答案为：216. 已知，函数，若在区间上至少有个零点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】化简转化为函数与直线在上至少有100个交点，利用正弦函数的图象归纳类比可以求得相邻
14、100个交点的最小区间长度，进而得解.【详解】,令， 在区间上至少有个零点，等价于函数与直线在上至少有100个交点，区间的长度是.如图所示，相邻的四个交点的最小区间长度为,同理相邻100个交点的最小区间长度为.所以即,故答案：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知是虚数单位，复数，（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值【答案】（1）2；（2）10【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义：实部为零，虚部不为零求解；（2）根据复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，代入直线方程求得的值，进而利用共轭复数的定义和复数的乘
15、法运算求得.【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应的点，由条件点在直线上，则，解得则，所以.18. 如图，在平面直角坐标系中，（1）求点的坐标；（2）求证：四边形为等腰梯形【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标；（2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得.【详解】解：（1）设，则，；（2）证明：连接,，且，又，,四边形为等腰梯形.19. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角的对边分别为，_，求的面积注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】选
16、择见解析；【解析】【分析】利用正余弦定理，三角形面积公式，结合三角函数恒等变形求解.选择：由余弦定理求得；由正弦定理得，由两角和差公式计算，得到面积；若选择：由正弦定理边化角得到，进而，求得,下同；若选择：由，得，求得,下同.【详解】解：选择：，由余弦定理，因为，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以若选择：，则，因为，所以，因为，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以若选择：，则，所以，因为，所以，所以，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以20. 已知向量，其中，且.（1）求和的值;（2）若，且，求角.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标
17、表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可；（2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可.【详解】（1），即.代入，得，又，则，.则.(2)，.又，.=.由，得.【点睛】关键点睛：利用凑角得到是解决本题的关键.21. 如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；（2）求面积的最小值.【答案】（1）；定义域为；（2）【解析】【分析】（1）在与中，利用正方形的边长，求出，根据三角形的面积公式即可求解.（2）由（1）利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）
18、由，则，正方形的边长为，在中，在中，所以，由图可知，所以函数的定义域为.（2）由，则，当，即时，面积的最小，即面积的最小值为.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22. 中，（1）求角；（2）若，求AB的长；（3）设，是否存在实数，使得的最小值为？【答案】（1）；（2）7；（3）存在【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得出，再由三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.（2）根据正弦定理可得，再将两边平方即可求解.（3）设，从而可得，令，讨论的值即可求解.【详解】解：（1）中， （2）中，由正弦定理得，-（3）设，平方有，-令，当时，不合题意，当时，对称轴，不合题意，当时，对称轴，开口向下，又，此时对称轴，满足题意，所以存在使得的最小值为
