1、江苏省扬州市江都区2020-2021学年高二下期中数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).1. 复数（ ）A. B. 1C. iD. 2. （ ）A. 15B. 25C. 60D. 1803. 函数在点处的切线与轴平行，则点坐标为（ ）A. B. C 、D. 、4. 在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（ ）A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环5. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要
2、求每所敬老院至少安排人，则不同的分配方案数是（ ）A. 36B. 48C. 72D. 816. 函数 图象大致为( )A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人，其中一位是医生，一位是工程师，一位是律师，已知丙比律师的年龄大，甲与工程师的年龄不同，工程师比乙的年龄小，据此推断医生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定8. 已知 ，则大小关系为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 已知复数的共轭复数为，且，则下列说法正确的是（ ）A. 的虚
3、部为B. 的实部为C. D. 10. 已知、为自然数，下列等式正确的是（ ）A B. C. D. 11. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论有（ ）A. 是奇函数B. 是的一个极值点C. 在上有且仅有一个零点D. 的值域为12. 已知正方体的棱长为，动点，在棱上，且动点，分别在棱，上且不与点重合，则下列结论正确的是（ ）A. 二面角所成的角最大值为B. 平面C. 异面直线和所成的角大小为D. 三棱锥的体积是定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为_.14. 函数单调递减区间是_.15. 扬州市美术馆展出5幅不同的画，其中3幅国画
4、，2幅油画，排成一行展出，要求同一类型的画必须连在一起，那么不同的摆放方法数为_.(用数字作答)16. 若对于恒成立.当时，的最小值为_；当时，的最小值是_.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数z满足（1）求复数z；（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.18. 在，在与上单调性不同，过点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.已知函数，是的导函数， .（1）求的值；（2）求函数在区间上的最值.19. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6
5、名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人都不入选；（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.20. 如图，在三棱锥中，平面垂直于平面，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.21. 已知函数（1）若在处有极值，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个零点，求实数的范围.22. 已知函数，作直线与图象从左向右分别交于两点，再分别过点作轴垂线，垂足分别为.（1）求四边形的面积；（2）记的最大值为，求证：.江苏省扬州市江都区2020-2021学年高二下期中数学试题一、
6、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).1. 复数（ ）A. B. 1C. I D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数除法法则计算【详解】故选：C2. （ ）A. 15B. 25C. 60D. 180【答案】A【解析】【分析】根据公式计算即可【详解】因为，所以故选：A3. 函数在点处的切线与轴平行，则点坐标为（ ）A. B. C. 、D. 、【答案】D【解析】【分析】由出导函数，由=0，求得结论【详解】，所以点坐标为或故选：D4. 在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（ ）A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环【答案】B
7、【解析】【分析】设，利用模长公式列方程，化简即可求解.【详解】设，则，因为，所以，整理可得：，所以所对应的点的集合构成的图形是圆，故选：B.5. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排人，则不同的分配方案数是（ ）A. 36B. 48C. 72D. 81【答案】A【解析】【分析】先将位学生分成组，再分配到三所敬老院即可求解.【详解】将位学生分成组有种，分配到三所敬老院有种，由分步乘法计数原理可得不同分配方案数是种，故选：A6. 函数 图象大致为( )A
8、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断【详解】f（x）的定义域为x|x0，排除A当x0+时，f（x）+，排除D当x1时，f（x）lnx，f（x），令f（x）0解得x2，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上是减函数，排除B故选C【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断7. 甲、乙、丙三人，其中一位是医生，一位是工程师，一位是律师，已知丙比律师的年龄大，甲与工程师的年龄不同，工程师比乙的年龄小，据此推断医生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先推断出丙是工程师，再推断出乙
9、不是律师，即得解.【详解】因为甲与工程师的年龄不同，工程师比乙的年龄小，所以甲乙都不是工程师，所以丙是工程师.因为丙比律师的年龄大，丙比乙的年龄小，所以乙不是律师，所以乙是医生.故选：B8. 已知 ，则大小关系为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.【详解】，因为，所以，即，因为， ，所以，所以，即，所以.故选：A.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 已知复数的共轭复数为，且，则下列说法正确的是（ ）A.
10、的虚部为B. 的实部为C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出，由复数代数形式的乘方运算化简，再根据复数的相关概念一一判断；【详解】解：因为，所以，且的虚部为，故A错误，C、D正确；又，所以的实部为，故B正确；故选：BCD10. 已知、为自然数，下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由排列数和组合数公式依次计算即可.【详解】对于A，A错误；对于B，B正确；对于C， ，C正确；对于D，根据组合数性质可知，成立，D正确.故选：BCD11. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论有（ ）A. 是奇函数B. 是的一个极值点C. 在上有且仅有
11、一个零点D. 的值域为【答案】BD【解析】【分析】对于A：利用函数奇偶性的定义进行证明；对于B：利用极值点的定义进行判断；对于C：利用图像法判断出由2个零点；对于D：作出函数的图像即可判断.【详解】的定义域为R.对于A：因为所以为偶函数.故A错误；对于B：因为，所以，有，且当时，有，当时，有，即在0的左右两侧，异号，所以是的一个极值点.故B正确；对于C：令，即.因为，所以.显然x=0不是零点；当时，有，令，均为奇函数，所以检点的个数应该成对出现，作出图像如图示：的图像有两个交点.所以在上有且仅有一个零点不正确.故C不正确；对于D：当时，取，有sinx=1，cosx=0，所以；当时，取，有sin
12、x=1，cosx=0，所以,而连续，的图像如图所示所以的值域为.故D正确.故选：BD12. 已知正方体的棱长为，动点，在棱上，且动点，分别在棱，上且不与点重合，则下列结论正确的是（ ）A. 二面角所成的角最大值为B. 平面C. 异面直线和所成的角大小为D. 三棱锥的体积是定值【答案】BC【解析】【分析】对于A，面为面，易得二面角为再分析即可；对于B，根据线面平行的判定方法判断；对于C，证明平面即可；对于D，以为三棱锥的底面，分析到的距离情况即可【详解】对于A，显然面为面，面为面，故二面角为二面角，又，故二面角为，故当在时二面角取最大值，故A错误；对于B，易得，又平面，平面，故平面，故B正确；对
13、于C，易得平面，且，故平面，故，故异面直线和所成的角大小为，故C正确；对于D，以三角形为三棱锥的底面，高为到平面的距离，显然不为定值，故D错误；故选：BC【点睛】立体几何中的判定一般方法：（1）根据线面平行与线线平行的关系分析平行； （2）根据线面垂直与线线垂直的关系分析垂直；（3）先分析图中平行与垂直的确定关系，再讨论一般情况三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用复数的概念列方程组即可求解.【详解】为纯虚数，所以，解得：a=-3.故答案为：-314. 函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析
14、】求出导函数，解不等式得减区间【详解】由题意，由得故答案为：15. 扬州市美术馆展出5幅不同的画，其中3幅国画，2幅油画，排成一行展出，要求同一类型的画必须连在一起，那么不同的摆放方法数为_.(用数字作答)【答案】24【解析】【分析】同一类画捆绑在一起作为一幅画进行排列可得【详解】把同一类画捆绑在一起作为一幅画进行排列，排列方法数为故答案为：2416. 若对于恒成立.当时，的最小值为_；当时，的最小值是_.【答案】 . 1 . 【解析】【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.【详解】当时，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调
15、递减，所以，因此，故的最小值为，的图像如下所示：由于，而点是直线与轴的交点，因为 ，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.故答案为：1，.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数z满足（1）求复数z；（2）若复数在复平
16、面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用复数的除法即可求得；（2）先化简，再根据复数对应的点在第二象限，列不等式组即可求得.【详解】(1) (2)由(1)知，则 复数在复平面内对应的点在第二象限，解得，所以实数的取值范围.18. 在，在与上单调性不同，过点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.已知函数，是的导函数， .（1）求的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）4；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】选：求导，由题意得，解之即可求出结果；选：由题意得所以是的一个极值点，即，求出的值，注意检验是否符合题意；选：
17、由题意得，代入数据解方程即可求出结果.（2）求导以后，判断函数在，上的单调性，进而可以求出结果.【详解】选：因为，选：因为在与上单调性不同所以是的一个极值点，又因为，由，解得 当时，；，在上是单调减函数，在上是单调增函数，所以选：因为，所以又因过点， （2）由（1）可得：，令，解得.列出表格如下：2300单调递增极大值单调递减极小值单调递增-2又因为.所以函数在区间，上的最大值为，最小值为19. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲
18、、乙两人都不入选；（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.【答案】（1）24；（2）24；（3）252.【解析】【分析】（1）甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列即可（2）分2步进行分析：第一步，分析甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的安排方法，第二步，在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，由分步计数原理计算即可，（3）分两类：一类是甲跑第四棒，另一类若甲不跑第四棒，依据排列组合公式计算第一种情况的排列数目，由分类计数原理计算可得答案【详解】解：(1) 甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列进行全排列，则共有（2）根据题意，分两步进行：首选
19、，甲、乙两人必须入选且跑中间两棒，则甲、乙两人的排法有种，其次，在在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，有种，所以分步计算原理可得甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒共有种（3）根据题意分两种情况：一种是若甲跑第四棒，此时只需在剩下的5人中任选3人，安排在第一、二、三棒即可，有种安排方法，另一种是若甲不跑第四棒，此时第四棒由除甲、乙外的另外4人中选1人跑，有种，第一棒从除甲之外的4人中选1人跑，有有种，在剩下的4人中任选2人，安排在第二、三棒，有，则共有，所以分类计数原理可得甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有种20. 如图，在三棱锥中，平面垂直于平面，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求二面
20、角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)通过线面垂直从而达到证明线线垂直;(2)方法一：作出二面角，再通过解三角形即可；方法二，建立空间直角坐标，然后求出相关平面的法向量，利用夹角公式计算即可.【详解】(1)证明： .又因为平面平面，平面平面平面平面平面 (2)法一：综合法平面平面平面平面平面过作垂足为，则平面所以为与平面所成角 又因为直线与平面所成的角为故，过点作于点，连接平面，故，又，故平面，平面，所以为二面角的平面角. 分别在中，解得，.在中，由勾股定理，得，二面角的余弦值为法二：向量法平面内作于，在中作，交于，因为平面平面，平面平面平面，平面，为在平面上的射
21、影，为与平面所成角 ， 两两垂直，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 平面 平面一个法向量为 设平面的一个法向量为，不妨设，则 ，二面角的余弦值为.21. 已知函数（1）若在处有极值，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个零点，求实数的范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）【解析】【分析】（1）由题可得，再分析处是否为极值即可；（2）求导可得，再分与讨论单调区间即可；（3）由（2）可得，再根据零点存在性定理可得，求得，再分别证明与即可【详解】解：（1）函数在处有极值，又因为，解得 当列出表格如下：10单调递增极大值1单调递减所以，在处有极大值. （2）
22、当时，在上为单调增函数当，令，得时，在为单调增函数时，在单调减函数综上：当时，增区间为，无减区间当时，增区间为，减区间为 （3）因为函数有两个零点，由（2）知，增区间为，减区间为 解得： 因为， 所以在上恰有一个零点由得下证令在即，所以在上恰有一个零点综上：时，有两个零点22. 已知函数，作直线与图象从左向右分别交于两点，再分别过点作轴垂线，垂足分别为.（1）求四边形的面积；（2）记的最大值为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令，求得，则代入即可得出结果；（2）由（1）得求导计算可得；，所以，使得，则,即可证得结果.【详解】（1）因为直线与图象从左向右分别交于两点所以 当时，令，得当时，令，得（2）所以在上为减函数；所以，使得当，在上为增函数，当，在上为减函数，故,所以.
