1、第9讲 锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在ABC中，C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数2. 特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；当090时，tan随的增大而增大【典例】例1（2020秋香坊区期末）如图，在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列式子正确的是（）AcosB=caBsinB=bcCtanB=abDtanB=bc例2（2020秋太仓市期中）在RtABC中，C90，a，b，c分别是A、B、C的对边（1）已知c23，b=6，求B；（2）已知
2、c12，sinA=13，求b例3（2021宝山区一模）计算：1-cos245cot30+sin60tan30【随堂练习】1（2021奉贤区一模）在RtABC中，C90，如果AC3，cosA=34，那么AB的长为（）A94B4C5D2542（2021宝山区一模）在RtABC中，C90，AB5，BC3，那么sinA的值为（）A35B34C45D433（2020秋荔城区校级期中）计算：4cos30+tan2452tan604（2020秋皇姑区期末）计算：sin30cos45tan60+3tan30知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形2.基础知识
3、在RtABC中，A B C所对的边分别是a，b，c.（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（2）锐角之间的关系：+=（3）边角之间的关系：sinA=ac cosA=bc tanA=absinB=bc cosB=ac tanB=ba（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1（2020秋南漳县校级月考）已知：如图，在ABC中，AB13，AC8，cosBAC=513，BDAC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F（1）求EAD的正切值；（2）求BFCF的值例2（2020春江岸区校级月考）（1）如图1所示，ABC中，B3
4、0，C45，AC2，求AB和BC的长（2）如图2，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，tanBAD=34，求sinC的值【随堂练习】1（2020秋肇源县期末）如图，在RtABC中，B90，E是BC边上一点，过点E作EDAC，垂足为D，AB8，DE6，C30，求BE的长2（2020秋瓜州县期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AOBO10，tanBOA=34（1）求点B坐标；（2）求cosBAO的值知识点3 解直角三角形的应用坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母
5、表示，则i=hl=tan 【典例】例1 （2020盱眙县校级模拟）我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由（参考数据：2=1.414，3=1.732）例2 （2020沙坪坝区自主招生）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE，F为PD的中点，AC2.8m，PD2m，CF1m，DPE15根据生活经验，当
6、太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65，若要遮阳效果最佳AP的长约为（）（参考数据：sin650.91，cos650.42，sin500.77，cos500.64）A1.2mB1.3mC1.5mD2.0m【随堂练习】1（2020富阳区一模）如图，坡角为27的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（）A80cos27米B80cos27米C80tan27米D80sin27米2（2020石家庄模拟）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为ACD，
7、斜坡AB的坡度为iAB，坡角为ABD，则下列结论正确的是（）AiAC2iABBACD2ABDC2iACiABD2ACDABD知识点4 解直角三角形的应用仰角俯角问题1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角【典例】例1（2021松江区一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i1
8、：2.4（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）例2 （2021徐汇区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30，同时测得限速道路终点B的俯角是45（注：即四边形ABDC是梯形）（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由（参
9、考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，31.73）【随堂练习】1（2021长宁区一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin530.8，cos530.6，cot530.75，31.73）2（2021闵行区一模）为了监
10、控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60（A、B、P、Q四点在同一平面）（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）知识点5 解直角三角形的应用方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40，135，2252. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角如下图所
11、示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60，南偏东30，北偏西70特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45的角，目标方向线OD与正南方向成45角，通常称为西南方向【典例】例1 （2020春江夏区校级月考）如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30（1）求小岛C到航线AB的距离（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？例2 （2020永州）一艘渔船从位于
12、A海岛北偏东60方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：31.73，52.24，72.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离【随堂练习】1.（2020桥西区模拟）如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（）海里A752-75B7542-754C752D5022（2020吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60方
13、向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）A（153-15）海里、15海里B（153-152）海里、5海里C（153-152）海里、152海里D（153-15）海里、152海里综合运用1（2020秋武功县期末）在RtABC中，C90，BC5，sinB=1213，则AC的长是（）A25B12C5D132（2020秋肇州县期末）计算：（1）2sin30一3tan45sin45+4cos60；（2）sin45cos30-tan60+cos45sin603（2020秋龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距
14、此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30，求此建筑AB的高度（结果用无理数表示）声明：试题解析著作权34 未经书面同意，不得复制4（2020春思明区校级月考）设RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b6，c10，求sinA、cosA和tanA5（2020秋龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：（1）在RtABC中，C90，a23，b2；（2）在RtABC中，C90，A60，c66. 6.（2020海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝
15、顶DC4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角为60，坝高3m，（31.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由7（2020安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于120
16、0km/h）请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间（结果精确到1s参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，31.73）第9讲 锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在ABC中，C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数2. 特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；当090时，tan随的增大而增大【典例】例1（2020秋香坊区期末）如图，在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列式子正确的是（）AcosB=caBsinB=b
17、cCtanB=abDtanB=bc【解答】解：在ABC中，C90，cosB=ac，A选项说法错误；sinB=bc，B选项说法正确；tanB=ba，C、D选项说法错误；故选：B【方法总结】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切例2（2020秋太仓市期中）在RtABC中，C90，a，b，c分别是A、B、C的对边（1）已知c23，b=6，求B；（2）已知c12，sinA=13，求b【解答】解：（1）sinB=bc=623=22，B45；（2）c12，sinA=13=ac，a4，b=c2-a
18、2=82，【方法总结】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键例3（2021宝山区一模）计算：1-cos245cot30+sin60tan30【解答】解：原式=1-(22)23+3233=1-123+12 =12(3-12)(3+12)(3-12) =23-111【方法总结】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键【随堂练习】1（2021奉贤区一模）在RtABC中，C90，如果AC3，cosA=34，那么AB的长为（）A94B4C5D254【解答】解：在RtABC中，C90，cosA=34，则ACAB=34，即3AB=34，解得，AB4，
19、故选：B2（2021宝山区一模）在RtABC中，C90，AB5，BC3，那么sinA的值为（）A35B34C45D43【解答】解：在RtABC中，C90，AB5，BC3，则sinA=BCAB=35，故选：A3（2020秋荔城区校级期中）计算：4cos30+tan2452tan60【解答】解：4cos30+tan2452tan60432+122323+12314（2020秋皇姑区期末）计算：sin30cos45tan60+3tan30【解答】解：原式=1222-3+333=24-3+3 =24知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形2.基础知识
20、在RtABC中，A B C所对的边分别是a，b，c.（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（2）锐角之间的关系：+=（3）边角之间的关系：sinA=ac cosA=bc tanA=absinB=bc cosB=ac tanB=ba（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1（2020秋南漳县校级月考）已知：如图，在ABC中，AB13，AC8，cosBAC=513，BDAC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F（1）求EAD的正切值；（2）求BFCF的值【解答】解：（1）BDAC，ADE90，RtADB中，AB13，
21、cosBAC=513，AD5，由勾股定理得：BD=AB2-AD2=132-52=12，E是BD的中点，ED6，EAD的正切=DEAD=65；（2）过D作DGAF交BC于G，AC8，AD5，CD3，DGAF，CDAD=CGFG=35，设CG3x，FG5x，EFDG，BEED，BFFG5x，BFCF=5x8x=58【方法总结】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形例2（2020春江岸区校级月考）（1）如图1所示，ABC中，B30，C45，AC2，求AB和BC的长（2）如图2
22、，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，tanBAD=34，求sinC的值【解答】解：（1）过点A作AHBC于H.AHC90，C45，AHHC=22AC=2，B30，AHB90，AB2AH22，BH=3AH=6，BCBH+CH=6+2（2）在RtBAD中，tanBAD=34，AD12，BDAD=34，BD9，BC14，CDBCBD1495，AC=AD2+CD2=122+52=13，sinC=ADAC=1213【方法总结】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【随堂练习】1（2020秋肇源县期末）如图，在RtABC中，B90，E是BC边上一点，过点E作
23、EDAC，垂足为D，AB8，DE6，C30，求BE的长【解答】解：在RtCDE中，sinC=DECE，CE=DEsin30=12；在RtABC中，tanC=ABBC，BC=ABtan30=83BEBCCE83-12，BE的长为83-122（2020秋瓜州县期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AOBO10，tanBOA=34（1）求点B坐标；（2）求cosBAO的值【解答】解：（1）作BCOA于C，如图，在RtBOC中，tanBOC=BCOC=34，设BC3t，OC4t，OB=BC2+OC2=5t，5t10，解得t2，BC6，OC8，B点坐标为（
24、8，6）；（2）OA10，OC8，AC2，在RtACB中，BC6，AC2，AB=AC2+BC2=210，cosBAC=ACAB=2210=1010，即cosBAO=1010知识点3 解直角三角形的应用坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i=hl=tan 【典例】例1 （2020盱眙县校级模拟）我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时
25、应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由（参考数据：2=1.414，3=1.732）【解答】解：该文化墙PM不需要拆除，理由：设新坡面坡角为，新坡面的坡度为1：3，tan=13=33，30作CDAB于点D，则CD6米，新坡面的坡度为1：3，tanCAD=CDAD=6AD=13，解得，AD63，坡面BC的坡度为1：1，CD6米，BD6米，ABADBD（3-6）米，又PB8米，PAPBAB8（3-6）14631461.7323.6米3米，该文化墙PM不需要拆除【方法总结】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答例2
26、 （2020沙坪坝区自主招生）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE，F为PD的中点，AC2.8m，PD2m，CF1m，DPE15根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65，若要遮阳效果最佳AP的长约为（）（参考数据：sin650.91，cos650.42，sin500.77，cos500.64）A1.2mB1.3mC1.5mD2.0m【解答】解：如图，过点F作FGAC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，BEP90，A90，B65，EPA3609090651
27、15，DPE15，APD130，CPF50，F为PD的中点，DFPF=12PD1，CFPF1，CP2PG2PFcos50210.641.28，APACPC2.81.281.5（m）所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米故选：C【方法总结】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义【随堂练习】1（2020富阳区一模）如图，坡角为27的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（）A80cos27米B80cos27米C80tan27米D80sin27米【解答】解：如图，作BCAC于C，由题意得，ABC27，在RtABC中，cosABC=BCA
28、B，BCABcosABC80cos27（米），故选：B2（2020石家庄模拟）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为ABD，则下列结论正确的是（）AiAC2iABBACD2ABDC2iACiABD2ACDABD【解答】解：斜坡AC的坡度iAC=ADCD，斜坡AB的坡度iAB=ADBD，BD2CD，iAC2iAB，A正确，C错误；ACD2ABD，B错误；2ACDABD，D错误；故选：A知识点4 解直角三角形的应用仰角俯角问题1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平
29、线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角【典例】例1（2021松江区一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i1：2.4（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【解答】解：（1）过点E作EMAC于点M，斜坡DE的坡度（或坡比）i1：2.4，
30、DE65米，CD60米，设EHx，则DH2.4x在RtDEH中，EH2+DH2DE2，即x2+（2.4x）2652，解得，x25（米）（负值舍去），EH25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）DH2.4x60（米），CHDH+DC60+60120（米）EMAC，ACCD，EHCD，四边形EHCM是矩形，EMCH120米，CMEH25米在RtAEM中，AEM37，AMEMtan371200.7590（米），ACAM+CM90+25115（米）ABACBC1159223（米）答：信号塔AB的高度为23米【方法总结】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线
31、，构造出直角三角形是解答此题的关键例2 （2021徐汇区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30，同时测得限速道路终点B的俯角是45（注：即四边形ABDC是梯形）（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，31.73）【解答】解：（1）根
32、据题意，得CAB37，CD220米，DAB30，DBA45，如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，CDAB，四边形CDFE是矩形，CEDF，CDEF，DBA45，DFBF，设DFBFCEx米，在RtADF中，DAF30，DFx米，AF=3DF=3x（米），AEAFEF（3x220）米，在RtAEC中，CAE37，CEAEtan37，x（3x220）0.75，解得x60（33+4）（1803+240）米，AE=3x220（320+2403）米，FBx（1803+240）（米），ABAE+EF+FB320+2403+220+1803+240780+42031507（米），答：限速道路
33、AB的长约为1507米；（2）1分20秒=145小时，该汽车的速度约为：150714567.8km/h60km/h，该车超速【方法总结】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键【随堂练习】1（2021长宁区一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？
34、（注：额头到地面的距离以身高计，sin530.8，cos530.6，cot530.75，31.73）【解答】解：延长BC交AD于点E，设CEx米tan53=AECE，tan30=AEBE，CE=xtan530.75x，BE=xtan301.73x，BCBECE1.73x0.75x0.98解得x1，CE1，ADAE+ED1+1.62.6（米）答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米2（2021闵行区一模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30；区间测速的
35、终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60（A、B、P、Q四点在同一平面）（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）【解答】解：（1）由题意，PBQTPB60，PQB90，BPQ30，BQPQtan30933=33（米）（2）如图，过点A作AMQB于M，AHPQ于H由题意，PAHTPA30，设AMa米，则BM23a米，AHQHQMAMQ90，四边形AHQM是矩形，AHQM（33+23a）米，QHAMa米，PHPQHQ（9a）米，在RtAPH中，tanPAH=PHAH，33=9-a33+23a，解得a2，AM2（米），B
36、M43（米），AB=AM2+BM2=22+(43)2=213（米）知识点5 解直角三角形的应用方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40，135，2252. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60，南偏东30，北偏西70特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45的角，目标方向线OD与正南方向成45角，通常称为西南方向【典例】例1 （2020春江夏区校级月考）如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60，60分钟
37、后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30（1）求小岛C到航线AB的距离（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？【解答】解：（1）作CDAB于点D，如图1所示：由题意可知：CAB906030，CBD903060，ACBCBDCAB30，即CABACB，ABCB=32336060=3233，在RtCBD中，CDCBsinCBD=323332=16；即小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）CD1620，这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，设M为开
38、始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：则CMCN20，CDAB，DMDN，在RtCMD中，DM=CM2-CD2=202-162=12，MN2DM24，243233=334，渔船进去危险区，那么经过334分钟可穿过危险区【方法总结】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想例2 （2020永州）一艘渔船从位于A海岛北偏东60方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：31.73，52.24，72
39、.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作ADBC于D，如图：则ADBADC90，由题意得：AB60，BAD906030，BD=12AB30，AD=3BD30351.950，这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD30，AD303，BC33090，DCBCBD903060，在RtADC中，AC=AD2+DC2=(303)2+602=30779.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里【方法总结】本题考查的是解直角三角形的应用、方向
40、角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键【随堂练习】1.（2020桥西区模拟）如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（）海里A752-75B7542-754C752D502【解答】解：如图所示：由题意得：NOC45，MOD45，MON90，MNx轴，MNONOC45，NMOMOD45，MON为等腰直角三角形，OMON=22MN，OM+OM+MN501.575（海里），22MN+22MN+MN75，解得：MN752-75（海里），即M，N之间的距离是（
41、752-75）海里；故选：A2（2020吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）A（153-15）海里、15海里B（153-152）海里、5海里C（153-152）海里、152海里D（153-15）海里、152海里【解答】解：过S作SCAB于C，在AB上截取CDAC，ASDS，CDSCAS30，ABS15，DSB15，SDBD，设CSx，在RtASC中，CAS30，AC=3x，ASDSBD2x，AB30海里，3x+3x+2x30，解得：x=15(3-1)2，AS（153-15）（海里）；BS=CS2+BC2=152（海里），灯塔S离观测点A、B的距离分别是（153-15）海里、15
