1、 第第 11 讲讲 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题 高考预测一：动态问题高考预测一：动态问题 1 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，90ADC， 平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，2PAPD，112BCAD，3CD （）若点M是棱PC的中点，求证：/ /PA平面BMQ； （）求证：若二面角MBQC为30，试求PMPC的值 2如图，AE 平面ABCD，/ /CFAE，/ /ADBC，ADAB，1ABAD，2AEBC （）求证：/ /BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的正弦
2、值为2 23，求线段CF的长 3 如图， 在四棱锥PABCD中， 已知PA 平面ABCD， 且四边形ABCD为直角梯形，2ABCBAD ，2PAAD，1ABBC （1）求点D到平面PBC的距离； （2）设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角BCQD的余弦值 高考预测二：翻折问题高考预测二：翻折问题 4如图，BCD是等边三角形，ABAD，90BAD，将BCD沿BD折叠到BC D的位置，使得ADC B （1）求证：ADAC； （2）若M，N分别是BD，C B的中点，求二面角NAMB的余弦值 5图 1 是由矩形ADEB、Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1A
3、B ，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角BCGA的大小 6正方形ABCD的边长为 2，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，平面PEF 平面ABFD （1）证明：PF 平面PDE； （2）求二面角BAPD的余弦值 7如图，在ABC中，2B，2ABBC，P为AB边上一动点，/ /PDBC交AC于点D，现将PDA 沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD （1）当棱锥A PBCD的体积最大时，求PA的长；
4、 （2）若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：DE 平面A BC 8如图（1） ，在Rt ABC中，90C，3BC ，6AC ，D、E分别是AC、AB上的点，且/ /DEBC，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1A DCD，如图（2） （1）求证：BC 平面1ADC （2）当点D在何处时，三棱锥1ABCD体积最大，并求出最大值； （3）当三棱锥1ABCD体积最大时，求BE与平面1ABC所成角的大小 9如图（1） ，在Rt ABC中，90C，3BC ，6AC ，D，E分别是AC，AB上的点，且/ /DEBC，2DE 将ADE沿DE折起到ADE的位置，使ACCD，如图（2） （）求证：/
5、/DE平面A BC； （）求证：ACBE； （）线段A D上是否存在点F，使平面CFE 平面ADE若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由 10如图 1，45ACB，3BC ，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使90BDC（如图 2 所示） 记BDx，( )V x为三棱锥ABCD的体积 （1）求( )V x的表达式； （2）设函数3( )( )2f xV xxx，当x为何值时，( )f x取得最小值，并求出该最小值； （3） 当( )f x取得最小值时， 设点E，M分别为棱BC，AC的中点， 试在棱CD上确定一点N， 使得ENBM，并求EN与平面
6、BMN所成角的大小 高考预测三：存在性问题高考预测三：存在性问题 11 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB ，2AD ，5ACCD （1）求证：PD 平面PAB； （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）设(01)AMAPuuuu ruuu r剟，是否存在实数使得/ /BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由 12 在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，/ /PABE，2BE ，4ABPA （）求证：/ /CE平面PAD； （）求直线PD与平面PCE所成角的正弦值； （）在棱AB上是否
7、存在一点F，使得二面角EPCF的大小为60？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由 13如图，四棱锥层ABCD中，平面EADABCD，/ /CDAB，BCCD，EAED且4AB ，2BCCDEAED （）求证：BD 平面ADE； （）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值； （）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由 14如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC 侧面11ABB A，且12AAAB （1）求证：ABBC； （2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6，请问在线段1AC上是否存在点E，使得二面
8、角ABEC的大小为23，请说明理由 15如图 1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，2 5ABAC，4BC 将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使得平面1ADE 平面BCED，如图 2 （）求证：1AOBD （）求直线1AC和平面1ABD所成角的正弦值 （）线段1AC上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为357？若存在，求出11AFAC的值；若不存在，说明理由 高考预测四：开放性问题高考预测四：开放性问题 16如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，/ /ADBC，2PAADCD，3BC ，E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC （1
9、）求证：CD 平面PAD； （2）应是平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，求PGPB的值 17 如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，/ /ADBC，2PAADCD，3BC E为PD的中点，点F为PC上靠近P的三等分点 （1）求二面角FAEP的余弦值； （2）设点G在PB上，且23PGPB判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 18如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点E、F、G分别为11A B，11BC，1BB的中点，点P是正方形11CC D D的中心 （1）证明：/ /AP平面EFG； （2）若平面1AD E和平面EFG的交线为l，求二面角AlG
