1、江苏省无锡江苏省无锡市市 2022 届高三数学模拟试题届高三数学模拟试题 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 已知全集 = *0,1,2,3,4+，集合 = *1,2,3+， = *2,4+，则() 为( ) A. *1,3+ B. *2,3,4+ C. *0,1,2,3+ D. *0,2,3,4+ 2. 已知复数 =:2:3:20191:，;是的共轭复数，则; = ( ) A. 0 B. 12 C. 1 D. 2 3. 从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“”的概率是( ) A. 154 B. 127 C. 118 D. 227 4. 已知函数() = 3(2 +6)
2、，则下列说法正确的是( ) A. 图象关于点(6,0)对称 B. 图象关于点(3,0)对称 C. 图象关于直线 =6对称 D. 图象关于直线 =3对称 5. 矩形中， = 4， = 3， 沿将三角形折起， 得到的四面体 的体积的最大值为( ) A. 43 B. 125 C. 245 D. 5 6. 已知实数， 满足如下两个条件： (1)关于的方程32 2 = 0有两个异号的实根； (2)2+1= 1，若对于上述的一切实数，不等式 + 2 2+ 2恒成立，则实数的取值范围是( ) A. (4,2) B. (2,4) C. (,4- ,2,+) D. (,2- ,4,+) 7. 等差数列*+中，若
3、2= 1，6= 13，则公差 = ( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 8. 下列函数中，定义域是且为增函数的是( ) A. = + B. = ; C. = D. = | 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9. 已知双曲线1：212212= 1(1 0,1 0)的一条渐近线的方程为 = 3，且过点(1,32)，椭圆2：22+22= 1的焦距与双曲线1的焦距相同，且椭圆2的左、右焦点分别为1，2，过点1的直线交2于，两点，若点(1,1)，则下列说法中正确的有( ) A. 双曲线1的离心率为2 B. 双曲线1的实轴长为12 C. 点的横坐标的取值范围为(2,1) D. 点
4、的横坐标的取值范围为(3,1) 10. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示，以下说法正确的是( ) A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高 C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低 D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差 11. 已知是抛物线：2= 的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则( ) A. 若| =54，则 的面积为18 B. 若垂直的准线于点，且| = 2|，则四边形周长为3:54 C. 若直线过点，则|的最小值为1 D. 若 = 14，则直线恒过定点(12,0) 12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们
5、的高都与一个球的直径2相等，下列结论正确的是( ) A. 圆柱的侧面积为42 B. 圆锥的侧面积为22 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 写出一个最小正周期为1的偶函数() =_ 14. (1)若数列*+的通项公式为= 7，则该数列中的最小项的值为_ (2)若(2 3).6+1/的展开式中含有常数项，则的最小值等于_ (3)如图所示的数阵中，用(,)表示第行的第个数，则以此规律(8,2)为_ (4)的内角， ， 所对的边分别为， ， .已知sin:sin:sin = ln2:ln4:ln， 且 = 2，
6、有下列结论： 2 8； 29 2； = 4， = ln2时，的面积为15228； 当25 成立， 则实数的取值范围是_ 16. 在 中， + = 2 ， | | = 1， 点在上且满足 = 2 ， 则 ( + ) = _ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. 某学校共有1500名学生， 为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况， 采用分层抽样的方法， 收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：,0,2-，(2,4-，(4,6-，(6,8-，(8,10-，(10,12
7、- (1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)； (2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率； (3)将每周使用手机上网时间在(4,12-内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4-内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2 2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关” 近视 不近视 合计 长时间使用手机 不长时间使用手机 15 合计 25 附：2=(;)2(:)(:)(:)(:) (2 0) 0.1 0.05 0.010
8、0.005 0 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 在 中，内角，所对的边分别是，已知2 = 2 (1)求； (2)若 = ，是 外的一点，且 = 2， = 1，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值 19.已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S53132，求 . 19. 如图， 在几何体中，平面，平面， 又， (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 20. 已知右焦点为的椭圆：22+23= 1( 3)与直线 =37相交于，两点，且 (1)求椭圆的方程： (2)
9、为坐标原点，是椭圆上不同三点，并且为 的重心，试探究 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是说明理由 21. 已知函数() = 3+ 2 4 ()若()在 = 2处取得极值，且关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； ()若存在0 (0,+)，使得不等式(0) 0成立，求实数的取值范围 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 根据补集与并集的定义，计算即可 【解答】 解：全集 = *0,1,2,3,4+，集合 = *1,2,3+， = *2,4+， 则 = *0,1,3+， () = *0,1,2
10、,3+ 故选： 2.【答案】 【解析】解： + 2+ 3+ + 2019=(1;2019)1;=(1:)1;=(1:)2(1;)(1:)= 1， =:2:3:20191:=;11:=;1:2， ; = |2= (12)2+ (12)2)2=12， 故选： 利用等比数列前项和化简复数的分子，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由; = |2求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查等比数列的前项和，考查复数模的求法，是基础题 3.【答案】 【解析】解：一副扑克共54张，有4张， 正好为的概率为454=227， 故选 D 用的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率 此题考查概率的求法：如果一
11、个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率() = 4.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了正弦函数的对称性，属于基础题 利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质即可求解 【解答】 解：令2 +6=2+ ， ， 解得 =6+2, ，所以当 = 0时，函数的对称轴为 =6， 故 C 正确，D错误； 因为(6) = 3(2 6+6) = 32= 3 0所以 A错误； (3) = 3(2 3+6) = 356=32 0，故 B错误 故选： 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能
12、力，考查函数与方程思想，是中档题 当平面 平面时，得到的四面体 的体积取最大值，由此能求出四面体 的体积的最大值 【解答】 解：矩形中， = 4， = 3，沿将三角形折起， 当平面 平面时， 得到的四面体 的体积取最大值， 此时点到平面的距离 =4316:9=125， =12 4 3 = 6， 四面体 的体积的最大值为： =13 =13 6 125=245 故选： 6.【答案】 【解析】解：设方程32 2 = 0的两个异号的实根分别为1，2， 则12= 3 0， 0， 则 + 2 = ( + 2)(2+1) = 4 +4 4 + 24= 8(当且仅当 = 4， = 2时取“=”)， 由不等式
13、+ 2 2+ 2恒成立，得2+ 2 8，解得：4 0， 0，结合2+1= 1求得 + 2的最小值，代入 + 2 2+ 2转化为关于的不等式得答案 本题考查命题的真假判断与应用，考查了方程根的个数的判断，训练了基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查不等式的解法，是中档题 7.【答案】 【解析】解：由等差数列的通项公式可得6= 2+ 4， 代入数据可得13 = 1 + 4， 解得 = 3 故选： 把已知数据代入等差数列的通项公式可得的方程，解方程可得 本题考查等差数列的通项公式，属基础题 8.【答案】 【解析】 解： 对于， 函数 = + 的定义域是， 且 = 1 0， 是上的增函数， 满
14、足题意； 对于，函数 = ;= (1)是上的减函数，不满足题意； 对于，函数 = 的定义域是(0,+)，不满足题意； 对于，函数 = | = , 0, 0,1 0)的一条渐近线的方程为 = 3， 则可设双曲线1的方程为223= ，过点(1,32)， 1 34= ，解得 =14， 双曲线1的方程为42432= 1，即214234= 1， 可知双曲线1的离心率 = 2，实轴的长为1，故选项 A正确，选项 B 错误； 由14+34= 1可知椭圆2：22+22= 1的焦点1(1,0)，2(1,0)， 不妨设(1,1)(1 0)，代入22+22= 1得12+122= 1， 1=2， 直线的方程为 =22
15、( + 1)，联立 =22( + 1)22+22= 1，消去并整理得(2+ 3)2+ 2(2 1) 32 1 =0， 根据韦达定理可得1 = 32:12:3， 可得= 32:12:3= 3 +82:3， .又2 1， 2+ 3 4， 1 82:3 2， 3 0)，可得直线的方程为 =22( + 1)，联立 =22( + 1)22+22= 1，根据韦达定理可得= 32:12:3= 3 +82:3，即可求解 本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的离心率及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题 10.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查命题
16、真假的判断，考查茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 利用茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义直接求解 【解答】 解：甲的中位数为：80:822= 81， 乙的中位数为：87:882= 87.5， 甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，故 A 错误； 甲的平均数为：16(72 + 76 + 80 + 82 + 86 + 90) = 81， 乙的平均分为：16(69 + 78 + 87 + 88 + 92 + 96) = 85， 甲同学的平均分比乙同学的平均分低，故 B 错误，C正确； 由茎叶图得甲的成绩比乙的成绩稳定， 甲同学成绩的方差小于乙同
17、学成绩的方差，故 D 正确 故选： 11.【答案】 【解析】 解： 对于选项 A， 设(1,1)， 由焦半径公式得1+14=54，解得1= 1，所以1= 1，从而=1214 1 =18，选项 A 正确； 对于选项 B，由题意知| =14，根据抛物线的定义可知| = | =12.设与轴的交点为，易知| = | =12，| =14， 故| = (12)2+ (14)2=54，所以四边形的周长为14+12+12+54=5:54，选项 B 错误； 对于选项 C，若直线过点，则当 轴时，|最小，且最小值为1，选项 C正确； 对于选项 D，设直线： = + ，(1,1)，(2,2)， 联立直线与抛物线方程
18、得2 = 0，则12= ， 所以12= 1222= 2， 由 = 14可得12+ 12= 14， 即2 = 14，解得 =12， 故直线的方程为 = +12， 即直线恒过定点(12,0)，选项 D正确 故选： 根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断； 根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长，即可判断； 根据当 轴时，|最小，即可判断； 设直线： = + ，根据韦达定理和向量的数量积，即可判断 本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题 12.【答案】 【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都等于2， 所以圆柱的侧面积圆柱= 2 2 =
19、 42，选项 A 正确； 对于，圆锥的底面直径和高等于2， 所以圆锥的侧面积为圆锥侧= 2+ 42= 52，选项 B 错误； 对于，圆柱的侧面积为圆柱侧= 2 2 = 42， 球的表面积球= 42，故圆柱的侧面积与球的表面积相等，选项 C正确； 对于，球的体积为球=433， 圆锥的体积为圆锥=132 2 =233， 所以球的体积是圆锥体积的两倍，选项 D正确 故选： 根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，然后逐一判断四个选项得答案 本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题，考查运算求解能力，是基础题 13.【答案】2 【解析】解：一个最小正周期为1的偶函数() = 2， 故答案
20、为：2 由题意利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论 本题主要考查余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题 14.【答案】(1)12 143； (2)215； (3)1122； (4) 【解析】 (1)【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性求解数列的最小值，属于基础题 【解答】 解：由题意得，考察函数() = 7的单调性( 0)， () = 1 72，令() = 0，解得 =494，当且仅当 = 12时，数列*+取得最小值12 143， 故答案为12 143 (2)【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，是高考中常见的题型，属于中档题 【解答】 解：由题意得， .6+1/的展开式的项为:1=
21、 (6);.1/= 6;6;32= 6;152， 令6 152= 0，则的最小值等于215， 故答案为215 (3)【分析】 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 【解答】 解：由题意，观察每一行分母与上一行的关系，发现第6行个分母为28，58，81，81，58，28； 第7行分母为36，86，139，162，139，86，36， 第8行的分母为21 + 7 + 8 + 9 = 45，122，225，301，301，225，122，45， 故答案为1122 (4)【分析】 本题主要考查解三角形的应用，属于中档题 【解答】 解：由题意得， : = 2:4:, = 2 4 cos
22、 = 2， 解得2 8，29 2，当25 ，所以 当0 时， ， 当0 时， (0,1-， 当 =2时，取得最大值1 即有 1 故答案为：(,1) 求出函数的导数，由题意可得当0 时， 3.841， 有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关” 【解析】(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可； (2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2 2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题 18.【答案】解：(1) 在 中，内角，所对的边分别是，已知2 = 2 由正弦定理得：2 = 2 ， 又 = ( +
23、 )， 2 = 2( + ) = 2 + 2 ， 2 = ， 0， =12， 0 ， =3 (2) = ， =3， 是等边三角形， 设 = ， = ， = 2， = 1， =342， =12 = ， 由余弦定理得2= 2= 1 + 4 4 = 5 4， = + =342+ =34(5 4) + =534+ 3 =534+ 2( 3)， 0 ， 3 323， 当sin( 3) = 1，即 =56时， 平面四边形的面积取最大值=534+ 2 【解析】(1)由正弦定理得：2 = 2 ，推导出2 = ，从而 =12，由此能求出 (2)由 = ， =3， 得 是等边三角形， 设 = ， = ， 则=34
24、2， =12 = ， 由余弦定理得2= 2= 1 + 4 4 = 5 4， 从而 = + =342+ =534+ 2( 3)，由此能求出平面四边形的面积取最大值 本题考查三角形内角的求法，考查平面四边形的面积的最大值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 19.已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S53132，求 . 10.(1)证明 由题意得 a1S11a1，故 1，a111，a10. 由 Sn1an，Sn11an1，得 an1an1an，即 an1(1)an， 由 a10，0 得 an0，所以an1an1
25、.因此an是首项为11， 公比为1的等比数列，于是 an111n1. (2)解 由(1)得 Sn11n.由 S53132得 1153132， 即15132.解得 1. 【解析】利用等比数列的定义及其通项公式即可的得出 本题考查了等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20.【答案】(1)(2) 21.【答案】解：(1)设(,0)，(,37)，(,37)， 代入椭圆方程可得22+37= 1，即2=472 且 ，可得37;37;= 1， 即2 2= 97， 由可得2=47297 又2 2= 3， 解得 = 2， = 1， 即有椭圆方程为24+23= 1； (2)当直线的斜
26、率存在时， 设直线的方程为 = + ， 代入椭圆方程32+ 42= 12， 可得(3 + 42)2+ 8 + 42 12 = 0， 设(1,1)，(2,2)， 则12=42;123:42，1+ 2= 83:42，1+ 2= (1+ 2) + 2 =63:42， 由为 的重心，可得 = ( + ) = (83:42,63:42)， 由在椭圆上，则有3(83:42)2+ 4(63:42)2= 12， 化简可得42= 3 + 42， | = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 1 + 2(83 + 42)2 4 42 123 + 42 =41:23:42 9 + 122 32， 点到直线的距离等于
27、点到直线的距离的3倍， =|3|1:2， =12| =6|3:42 9 + 122 32=6|42 122 32=92 当直线的斜率不存在时，| = 3， = 3，=12| =92 综上可得， 的面积为定值92 【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查三角形的面积的计算，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题 (1)设(,0)， (,37)， (,37)， 代入椭圆方程， 由两直线垂直的条件： 斜率之积为1， 解方程可得 = 2， = 1，即可得到所求椭圆方程； (2)设直线的方程为 = + ，
28、 代入椭圆方程， 运用韦达定理， 由为 的重心， 可得 = ( + )，可得的坐标，代入椭圆方程，可得42= 3 + 42，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线的斜率不存在，即可得到 的面积为定值 22.【答案】解：()() = 32+ 2由题意得(2) = 0，解得 = 3-(2分) 经检验 = 3满足条件-(3分) () = 3+ 32 4，则() = 32+ 6-(4分) 令() = 0，则 = 0， = 2(舍去)-(5分) 当变化时，()，()的变化情况如下表： 1 (1,0) 0 (0,1) 1 () 0 + () 0 4 2 -(7分)
29、关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根， 4 0即可 () = 3+ 2 4，() = 32+ 2 = 3( 23) 若 0，则当 0时，() 0， ()在(0,+)单调递减 (0) = 4 0时，() 4 0-(10分) 当 0时()，()随的变化情况如下表： (0,23) 23 (23,+) () + 0 () 4327 4 当 (0,+)时，()= (23) =4327 4 由4327 4 0得 3-(12分) 综上得 3 另：第2小题可以分离参数，可按步得分 【解析】 ()求出导函数， ()在 = 2处取得极值， 求出， 然后求解函数的极值， 通过关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根，求解实数的取值范围； ()求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合的取值讨论，求解即可 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大
