1、2022年中考数学复习专题18：三角函数的图像和性质【一】化为同角同函型研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函.1.例题【例1】函数的单调递增区间是（ ）A B C D 【答案】B【解析】整理函数的解析式有：结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，求解不等式可得函数的单调递增区间是 .2.巩固提升综合练习【练
2、习1】已知函数.的最大值为_ ；设当时，取得最大值，则_.【解析】， (其中 ，)当，即时，取最大值由题意可知【练习2】已知函数，求函数的最小正周期和单调增区间； 【解析】函数的最小正周期为. 由得 函数的单调增区间为【练习3】已知，求的最小正周期及单调递增区间【解析】由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是【二】化为二次函数型研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围.若将已给函数化简为更
3、高次的函数，如，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式.1.例题【例1】函数的最大值为 _ 【解析】f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x2，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.【例2】函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_【解析】设tsin xcos x，则sin xcos x(t)，ytt2(t1)21，当t时，y取最大值为，当t1时，y取最小值为1.所以函数值域为.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，则的最小值是_【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增
4、，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.【答案】【练习2】求函数的最大值与最小值.【解析】令，所以，【练习3】函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_【解析】设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t. yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t1时，ymin1. 函数的值域为1,1根据图像和性质确定解析式【一】图像型对形如中参数的确定，应准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：（1
5、） 由振幅或最值，可确定;（2） 由周期的值或取值范围，可确定的值或取值范围；（3） 由特征点，可列出三角方程（组），可确定.（有时也需特征点来确定）1.例题【例1】已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解题思路第一步：观察所给图像及其图像特征：振幅，周期，与x轴的交点坐标等。由题意，A=1,T=12，故，这时第二步：利用特殊点代入函数解析式计算出中的值。在图像上，故,即，解的。第三步：从图像的升降情况找准第一零点的位置，并进一步确定参数（一般情况，取最高最低点，方便判断）。，第四步，得出最终结论，所有,故选
6、A【例2】函数的图象如图所示，则（ ）A 在上是增函数B 在上是增函数C 在上是増函数D 在上是增函数【答案】A【例3】已知函数， 的部分图像如图所示，已知点， ，若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程为（ ）A B C D 【答案】A【解析】，所以，所以，移动后得，所以对称轴满足，解得，所以满足条件的一条对称轴方程为。故选A。2.巩固提升综合练习【练习1】函数 (其中， )的部分图象如图所示,将函数的图象（ ）可得的图象A 向右平移个长度单位 B 向左平移个长度单位C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位【答案】D【练习2】如图，某港口一天6时到18
7、时的谁深变化曲线近似满足函数y3sin(x)k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.【答案】8【二】性质型对形如中参数的确定，应充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.特别地，正弦型函数与最小正周期相关的几种表述：（1） 两个相邻最低（高）点的距离，即为;（2） 两个相邻对称轴的距离，即为;（3） 两个相邻对称中心的距离，即为;（4） 相邻对称中心与对称轴的距离，即为;1.例题【例1】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )（A）11（B）9（C）7（D）5【例2】设函数，若在区间上单调，且，
8、则的最小正周期为（ ）A B2 C4 D【解析】【例3】设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则（ ）（A），（B），（C），（D），【答案】2.巩固提升综合练习【练习1】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【练习2】若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（ ）A B C D 图像变换问题由变换成的两种变换方式：（1） ；（2） 注：两种变换方法，相位或周期变换都只针对自变量.1.例题【例1】已知曲线，则下面结论正确的是（）A把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
9、单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【例2】设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】（）.（）得最小值.从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（）因为，所以即时，取得最小值.2.巩固提升综合练习【练习1】函数（， ）的最小正周期是
10、，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）A 关于点对称 B 关于直线对称C 关于点对称 D 关于直线对称【答案】B【解析】由于函数最小正周期为,所以,即.向左平移得到为奇函数,故,所以. ,故为函数的对称轴,选B.【练习2】已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（ ）A B C D【解析】根据变换得到：，图象如图：由图可知，取到的最小可能为，因为，所以最小值为4，故选：B三角函数值域（最值）求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通
11、过三角变换化为下列基本类型：（1） ，令，则；（2） ，引入辅助角，化为；（3） ，令，则；（4） ，令，则，所以；（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.1.例题【例1】 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 【答案】第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值：当时，故，即函数的值域为，故答案为【例2】函数的最小值为 【解析】第一步，先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数：令，所以第二步，利用函数单调性求解三角函数的最值：所以在上为增函数，在上为减函数第三步，得出结论：所以，故填
12、【例3】函数的最小值是_【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx1设sinx+cosx=t，则t=sin（x）x+，那么函数化简为：g（t）=t2+t1xx+0， ，所以： 函数g（t）=t2+t1开口向上，对称轴t=，是单调递增当t=0时，g（t）取得最小值为-1【例4】求函数的值域【解析】函数的值域可看作：求过点作单位圆的切线的斜率的最大、最小值设切线，即原点到切线的距离：，解得：所以，所求函数的值域为：2.巩固提升综合练习【练习1】已知的定义域为.求的最小值.【解析】【练习2】函数（）的最大值是 。【
13、解析】【练习3】求函数的值域【解析】平面向量为载体的三角函数综合问题三角函数与向量的综合问题中，向量只是工具，问题的本质还是三角函数问题.解决本类问题的常规方法是：将向量的平行、垂直、数量积等通过坐标运算转化为三角函数形式，然后进行恒等变换，进而解决本问题.1.例题【例1】 设向量， .（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的单调递减区间.【答案】(1) ;(2) .（2） 第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负：由题意可得：第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间：所以第三步，运用三角函数的图像与性质确定其单调区间：令，求得，故函数的减
14、区间为.再根据，可得函数的减区间为【例2】 已知向量（1）若ab，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值【解析】（1）因为，ab，所以若，则，与矛盾，故于是又，所以（2）因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值2.巩固提升综合练习【练习1】已知， ，设函数（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角， ， 所对的边分别为， ， ，且， ， 成等比数列，求的取值范围【答案】(1) ， (2) .【解析】，令，则， ，所以函数的单调递增区间为， 【练习2】已知， ，记函数（1）求函数的最小正周期；（2）如果函数
15、的最小值为，求的值,并求此时的最大值及图像的对称轴方程.【答案】（1）；（2）；对称轴方程为（）【解析】（1）所以最小正周期（2）的最小值为，所以，故所以函数的最大值等于由（），即（）故函数的图象的对称轴方程为（）课后自我检测1.函数 的部分图象如图所示,则_；函数在区间上的零点为_【答案】 【解析】由图得,即最小正周期又因为,且,解得，由图得时, ，又因为,所以， 的零点即的图象与轴交点的横坐标，则,解得，因为,得到，所以零点为，故答案为.2.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）已知在中， 的对边分别为，若， ，求面积的最大值.【答案】（1）单调递增区间为（）；（2）.【解析】（1）
16、令（），解得（），所以的单调递增区间为（）.3.已知函数部分图象如图所示.（1）求值及图中的值；（2）在中，角的对边分别为，已知 ，求的值 【答案】（1）,（2）【解析】（1）由图象可以知道： .又 ， , 从而.由图象可以知道,所以 4.，函数.（1）求的对称中心；（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（2）由（1）得，因为，所以，所以时，即， 的最大值为，当时，即时， 的最小值为.5.函数 的最大值是_6.已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】如图所示， 因为，且，又在区间内
17、只有最小值，没有最大值，所以在处取得最小值，所以，所以，当时，此时函数在区间内存在最大值，7.已知函数对任意都满足，则函数的最大值为A 5 B 3 C D 8将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是AB在区间上是增函数C是图象的一条对称轴D是图象的一个对称中心【解析】把函数的图像向平左移个单位，得到函数图象的解析式 故A正确；当时，在区间是增函数，故B正确；不是图象的一条对称轴，故C正确； ，是图像的一个对称中心，故D错误故选D9已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为（ ）函数的周期为;函数的值域
18、为;函数的图象关于对称;函数的图象关于对称.ABCD【解析】，.即：且.且.因为函数的周期为，因此正确.因为，故因此错误.令，得.故正确因为.故图象不是中心对称图形,故错误.综上,正确的个数为.故选：10.函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_【解析】设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t. yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t1时，ymin1. 函数的值域为1,111.已知向量， ， ，且为锐角（1）求角的大小；（2）求函数 ()的值域【答案】(1) (2) 【解析】12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，且满足|m+n|=3（1）求角A的大小；（2）若b+c=3a，试判断ABC的形状【解析】(1)由|m+n|=3，得m2+n2+2mn=3，即，所以，因为0A，所以A=3；(2)因为b+c=3a，所以，所以，即，因为0B23，所以B+6=3，或23，则B=6，或2，所以B=6时，C=2，B=2时，C=6，所以ABC为直角三角形
