1、河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应点为，则（ ）A. B. C. D. 2 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）A. 11B. 12C. 21D. 234. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与
2、双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ）A. B. C. D. 27. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）A. B. C. D. 8. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 有一组互不相等的数组成的样本数据、，其平均数为（，、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ）A. 两组样本数据的平均数相同B. 两组样本数据的中位数相同C. 两组样本数据的方差相同D. 两组样本数据的极差
3、相同10. 设函数，则（ ）A. 在上单调递增B. 在内有个极值点C. 的图象关于直线对称D. 将图象向右平移个单位，可得的图象11. 已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，则（ ）A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值12. 已知，为函数的零点，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设函数若，则_.14. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，则_.15. 为了监控某种食品生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生
4、产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为_.附：若随机变量X服从正态分布，则.16. 己知、，是圆上动点，当最大时，_；的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.（1）证明：；（2）若，数列为等比数列，.求数列的前2022项和.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求b；（2）若D为的中点，且，求的面积.19. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种
5、是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?20. 如图，直三棱柱中，为的中点，为棱上一点，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：.22. 已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方
6、程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点为，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数对应点可得，根据复数除法运算可计算得到结果.【详解】对应的点为，.故选：B.2. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出A的区间
7、，按照交并补的定义求解即可.【详解】解不等式 ， 解得 ，即 ， ，故选：C.3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）A. 11B. 12C. 21D. 23【答案】A【解析】【分析】按圆柱侧面积和球表面积公式计算即可.【详解】设球半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，其比例为1:1，故选：A.4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数定义求出和，再利用二倍角公式求解即可.【详解】根据三角函数定义，由二倍角公式.
8、故选：D5. 已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.【详解】，解得：，又，即与的夹角为.故选：D.6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意求出，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，当时，得，所以，当时，所以，因为，所以，所以，得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：B7
9、. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.【详解】图象关于点对称，又，解得：，.故选：C.8. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，取的中点，连接，则可得梯形 为平面所在的截面，则为三棱台的体积，设正方体的棱长为2，先求出，从而可求出，进而可求出的值【详解】如图，取的中点，连接，因为M为棱的中点，所以，因为, ，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以梯形 为平面所在的截面，则为三棱台的体积，不妨设正方体的棱长为2，
10、则正方体的体积为8，因为，所以,所以，所以，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 有一组互不相等的数组成的样本数据、，其平均数为（，、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ）A. 两组样本数据的平均数相同B. 两组样本数据的中位数相同C. 两组样本数据的方差相同D. 两组样本数据的极差相同【答案】AD【解析】【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.【详解】由已知可得.对于A选项，新数据的平均数为
11、，与原数据的平均数相等，A对；对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，若，则中位数为，若，则中位数为，B错；对于C选项，新数据的方差为，C错；对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.故选：AD.10. 设函数，则（ ）A. 在上单调递增B. 在内有个极值点C. 的图象关于直线对称D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象【答案】BC【解析】【分析】利用代入检验法可知AC正误；利用整体对应的方式可确定当时，的极值点位置，知B正确；根据三角函数平移变换知D错误.【详解】对于A，当时，则在上单调递减，在上单调递增，A错误；对于B，当时，则当或或或或或时，取得极值，在内有个极值点，B正确；对于
12、C，当时，图象关于对称，C正确；对于D，将向右平移个单位可得：，D错误.故选：BC.11. 已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，则（ ）A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值【答案】ABD【解析】【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果.【详解】由得：，则；对于A，为定值，A正确；对于B，B正确；对于C，不为定值，C错误；对于D，则为定值，D正确.故选：ABD.12. 已知，为函数的零点，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. a的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对于A，只要利用函数零点的判
13、断定理即可；对于B，由于有了A的结论，只要判断 的范围即可；对于C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；对于D，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.【详解】 ， ，故A正确；当 时， ， 必无零点，故 ， ，故B错误；当 时，即 ，两边取对数得 ， ， ，联立方程 解得 ，由于 ， ，故C正确；考虑 在第一象限有两个零点：即方程 有两个不同的解，两边取自然对数得 有两个不同的解，设函数 ， ，则 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 ，要使得 有两个零点，则必须，即 ，解得 ，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设函数若，
14、则_.【答案】1【解析】【分析】令求出值，再根据分段函数定义域判断即可.【详解】由题，当时，无解,当时，解得，成立.故答案为：114. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，则_.【答案】#【解析】【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故答案为：.15. 为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为_.
15、附：若随机变量X服从正态分布，则.【答案】19【解析】【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；故答案为：1916. 己知、，是圆上的动点，当最大时，_；的最大值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】求得，利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值，推导出，利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.【详解】由已知可得，则，得，且有，所以，当且仅当时，即当时，取得最大值.因为，所以，设，其中，所以，因为，则，当时，即当时，取得最大值，此时，可得，
16、合乎题意.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.（1）证明：；（2）若，数列为等比数列，.求数列的前2022项和.【答案】（1）证明见解析； （2）4044.【解析】【分析】（1）由题设递推式可得，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）及等比数列定义写出通项公式，进而有，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求即可.【小问1详解】因为，则，-得：，又，所以.【小问2详解】由得：，于是，由得：的公比.所以，.由得：由得：，因此.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
17、（1）若，求b；（2）若D为的中点，且，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出 ，然后按照正弦定理计算即可；（2）利用 ，以及AD是中线的特点列方程即可.【小问1详解】因为，所以在中，由正弦定理得，即.【小问2详解】在中，由余弦定理得因为D为的中点，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得联立可得，即，故答案为： ， .19. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.
18、6，乙队获胜的概率为0.4.（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?【答案】（1）分布列见解析；进行四局比赛的可能性最大； （2）希望采用五局三胜制.【解析】【分析】（1）确定所有可能的取值，根据独立事件概率计算公式分别求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；比较每个取值对应概率大小即可得到结论；（2）分别计算五局三胜和三局两胜制时，甲队获胜的概率，比较概率大小可得结果.【小问1详解】由题意知：的可能取值为，.则；则分布列为，进行四局比赛的可能性最大.【小问2详
19、解】作为甲队领队，希望甲队最终获胜；若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为；，作为甲队领队，希望采用五局三胜制.20. 如图，直三棱柱中，为的中点，为棱上一点，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由直棱柱特征和线面垂直的判定和性质可证得、，由线面垂直的判定可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得，进而利用线面角的向量求法求得结果.【小问1详解】在直三棱柱中，底面，底面，；又，平面，平面，平面，又平面，.由直三棱柱知：底面
20、，底面，又，平面，平面，平面.【小问2详解】由（1）知：，又为中点，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，设，则.由（1）知：平面的法向量可取；设平面的法向量，令，解得：，；，解得：，此时，设与平面所成角为，即直线与平面所成角的正弦值为.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：.【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导函数求得的单调区间.（2）首先利用导数证得，然后利用差比较法证得，从而证得结论成立.【小问1详解】的定义域为，.当时，单调递减；当时，单调递减；当时，单调递增.故在和上单调递
21、减，在上单调递增.【小问2详解】令，则，所以时，单调递增；时，单调递减，所以的最大值为，即，从而，所以.又，所以，等号当且仅当时成立故.22. 已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点为，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆所过的点及其离心率求椭圆参数，即可得方程.（2）设，直线l为并联立椭圆方程，由及韦达定理可得、，根据三点共线及斜率的两点式得求的斜率，进而得到直线方程，联立直线l即可证结论.【小问1详解】由题意知，解得，故椭圆C的方程为.【小问2详解】设，则.直线l的方程为，其中且，将代入椭圆，整理得，由与韦达定理得：，.由（1）知：，设，由、P、Q三点共线得：，由、N、Q三点共线得：，则，于是直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得：，即点R在定直线上.
