广东省中山市XX中学2019届高三上学期第二次统测数学(理)试卷(含答案)

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1、高三第二次统测试题(理科数学)(满分 150 分,考试用时 120 分钟)命题人: 审题人: 1、选择题 (本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知集合 (提示: 2.718),则 的子集的个数为( )eA. 1 B. 2 C. 3 D. 42. ( )2(sin4)xdxA. B. C. D. 3.设随机变量 X服从正态分布2(,)N,若 (4)(0)Px,则 ( )A1 B2 C3 D44.下列有关命题的说法错误的是( )A.若“ pq”为假命题,则 p与 q均为假命题;B.在 中,“ ”是“ ”的必要不充分条件;sin2iABAC.若命题 00Rx: , ,则命题2R0x

2、: ,;D.“1sin2”的必要不充分条件是“ ”.565.欧拉公式iecosinxx( i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位特别是当 x时,ie10被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知,4ie表示的复数在复平面中位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6已知数阵 中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列,若,则所有九个数的和为( )A. 18 B. 27 C. 45 D. 547函数 ( )的图象大致是( )

3、cos()3xfA. B. C. D. 8设 a,b,m 为整数(m ),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为0ab(mod m)若 aC 200C 2012C 20222C 2020220,ab(mod 10),则 b 的值可以是( )A2018 B2019 C2020 D20219已知函数 是奇函数,其中 ,则函数 的2sin(3)fxx(0,)2cos(2)gx图象( )A关于点 对称 (,0)12B可由函数 的图象向右平移 个单位得到 fx3C可由函数 的图象向左平移 个单位得到 f6D可由函数 的图象向左平移 个单位得到 fx310. 某两个

4、三口之家,拟乘“红旗”、“比亚迪”两辆出租车一起外出郊游,每辆车最多只能坐 4个,其中两个小孩(另 4 个为两对夫妇)不能独坐一辆车,则不同的乘车方法共有( )A58 种 B50 种 C48 种 D40 种11. 函数 是偶函数,且 时, ,若 ,则 的取值范围是( ))1(xf 1xxf2)(1)(0f0xA B0, 2,C D),2()0,(),3()0,(12.如图,点 为 的边 上一点, ,ABC4BCD *()nEN为边 上的一列点,满足 ,11(3)4nnnEaE若,则 ( )13anA. B. C. D. (2)3nn(2)n3na第 II 卷(非选择题 90 分)二、填空题(本

5、题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13定义在 R 上的函数 满足 时,fx,4(1,0)fxfxfx, 且 当则 2log()fx, 1.14已知函数 的部分图象如图所示,则函数的解析式为_ _ _15. 已知两个非零向量 a与 b,定义 sinab,其中 为 a与 b的夹角若 3,4a=, 0,2,则 的值为 16已知函数 , ,若 成立,则 的最小值为 1()lnxf2()xge()gmfnm三、解答题(本题共有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),其中 .以原点为极点, 轴正半轴为

6、极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .(1)写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(2)已知曲线 与 交于 两点,记点 相应的参数分别为 ,当 时,求 的,AB,ABAB值.18(12 分)已知不等式 的解集 .(1)求 ;(2)若 ,求证: .19(12 分)在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 的面积为.(1)求 ;(2)求 的值.20、(12 分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪 70 元,每单抽成 2元;乙公司无底薪,40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元,超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公

7、司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其 100天的送餐单数,得到如下频数表:(1)现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于 40 的概率;(2)若将频率视为概率,回答以下问题:()记乙公司送餐员日工资为 X(单位:元),求 X的分布列和数学期望;()小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 1021.(12

8、 分)设正项数列 的前 项和为 ,且满足 , , .(1)求数列 的通项公式;(2)若正项等比数列 满足 ,且 ,数列 的前 项和为 .求 ;若对任意 , ,均有 恒成立,求实数 的取值范围.22、(12 分)已知函数 .()ln3(1)fxax(1)若 ,试判断函数 的零点个数;2a(2)若函数 在 上为增函数,求整数 的最大值,(可能要用的数1()()3gxfaxa据: ; ).高三第二次统测试题理科数学答案一、选择题:1-5BDBDC 6-10CBDCC 1112CB二、填空题: 13. 1 14. 15. 6 16. 12.【解析】 因为 ,所以 ,所以 ,因为 ,且 ,所以 ,得 ,

9、所以 ,又 ,所以数列 表示首项为 ,公差为 的等差数列,所以 ,故选 B.16.【解析】不妨设 , ,故,令 , ,易知 在 上是增函数,且,当 时, ,当 时, ,即当 时, 取得极小值同时也是最小值,此时 ,即 的最小值为三、解答题:17.解:(1) 的普通方程: ,其中 ;2 分的直角坐标方程: . 4 分(2)由题知直线恒过定点 ,又 ,由参数方程的几何意义知 是线段 的中点,曲线 是以 为圆心,半径 的圆,且.由垂径定理知: .10 分18.解:(1)当 时,不等式即为 ,解得 ;当 时,不等式即为 ,解得 ;当 时,不等式即为 ,此时无解,综上可知,不等式解集 .6 分(2) ,

10、欲证 ,需证 ,即证 ,即 ,即证 ,因为 ,所以 显然成立.所以 成立. 12 分19.解:(1)由 的面积为 ,得 .因 ,所以 ,所以 ,得 ,又 ,由余弦定理得: ,所以 .6 分(2)法一:由(1)中 .解得 ,由正弦定理得: ,所以 ,法二:由(1)有 ,所以 .由正弦定理得 ,所以 .12 分20、解: (1)记“抽取的 2 天送餐单数都大于 40”为事件 M,则 P(M) .4 分C202C1002 19495(2)设乙公司送餐员送餐单数为 a,则当 a38 时,X384152;当 a39 时,X394156:当 a40 时,X404160;当 a41 时,X40416166;

11、当 a42 时,X40426172.所以 X 的所有可能取值为 152,156,160,166,172.故 X 的分布列为X 152 156 160 166 172P 110 15 15 25 110所以 E(X)152 156 160 166 172 162. 9 分110 15 15 25 110依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5.所以甲公司送餐员日平均工资为 70239.5149(元)由得乙公司送餐员日平均工资为 162 元因为 149162,故推荐小明去乙公司应聘12 分21.解:(1) , , , 且各项为正,又 ,所以 ,再由 得 ,所以 是首项为 1,公差为 3 的等差数列, 4 分(2) , , , 8 分恒成立 ,即 恒成立.设 ,当 时, ; 时, , .12 分22.解:(1)因为 ,易知 在 上为增函数,则 ,故 在 上为增函数,又 , ,所以函数 在 上的零点有且只有 1 个. 4 分(2)因为 ,由题意 在 上恒成立,5 分因为 显然成立,故只需 在 上恒成立,令 ,则因为由(1)可知: 在 上为增函数,故 在 上有唯一零点记为 , ,则 , ,9 分则 在 为减函数,在 为增函数,故 时, 有最小值 .令 ,则 最小值有 ,因 ,则 的最小值大约在 之间,故整数 的最大值为 6. 12 分a

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