1、20212021 届河南省郑州市高三第二次质量预测二模理科数学试题届河南省郑州市高三第二次质量预测二模理科数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的. 1.设集合,2) 1(log|,62|2xxBxxA则BA（ ） A.53| xx B. 52| xx C.4 , 3 D. 5 , 4 , 3 2.若复数iRaiia,(2虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A.2 B.-2 C.21 D. 21 3.下图是某统计部
2、门刚站发布的 某市2020年212月国民经济和社会发展统计公报 中居民消费价格指数 （CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比） 下列说法错误的是（ ） 2020 年 9 月 CPI 环比上升 0.5%，同比上涨 2.1% 2020 年 9 月 CPI 环比上升 0.2%，同比无变化 2020 年 3 月 CPI 环比下降 1.1%，同比上涨 0.2% 2020 年 3 月 CPI 环比下降 0.2%，同比上涨 1.7% A. B. C. D. 4.函数xxxxflnsin)(在),(的图象大致为（ ） 5.nS是公
3、比不为 1 的等比数列na的前 n 项和，9S是3S和6S的等差中项，则612SS（ ） A. 45 B.43 C. 34 D. 23 6.已知yx,满足003202yyxyx，则yxz42 的取值范围是（ ） A. 4 , 0 B. 6 , 4 C.6 , 0 D.8 , 6 7.已知实数 a，b，c 满足ceab1ln，则下列不等式中不可能成立的是（ ） A，abc B.acb C.cab D.cba 8.关于函数| )22cos()32sin(|)(xxxf，下列判断正确的是（ ） A.)(xf的值域为2, 0 B.)(xf是以 为最小正周期的周期函数 C.)(xf在, 0上有两个零点
4、D.)(xf在区间32,3上单调递减 9.元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动，某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在 3 个不同的地方悬挂 5 盏不同的花灯，其中 2 盏是人物灯，现要求这 3 个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别） ，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（ ） A. 114 B. 92 C. 72 D. 42 10.已知函数12)(4xxeexxf，若不等式)2()1 (2xfaxf对任意Rx恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. )232(， B. )32, 32( C. )322(， D.)22(， 11.已知三棱锥
5、P-ABC 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA底面 ABC，ABAC，AB=6，AC=8，D 是线段 AB上一点，且 AD=5DB.过点 D 作球 0 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为 28，则球 O 的表面积为（ ） A. 128 B. 132 C. 144 D. 156 12.已知梯形 ABCD 中，以 AB 中点 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 。|AB|=2|CD|，点 E 在线段 AC上，且ECAE32,若以 A、B 为焦点的双曲线过 C、D、E 三点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 10 B. 7 C. 6 D. 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题
6、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.函数xexxxf2) 1ln()(的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程为 . 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 60，|a|=3，|b|=6，则 2a-b 在 b 方向上的投影为 . 15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=90，ABC 的平分线交 AC 于点 D.若 a+4c 的最小值为 9，则 BD= . 16.已知 a0，不等式0) 1ln() 1(11xaexxa对任意的), 0( x恒成立，则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必题为必考题，每个试题考生都必须作答，第须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17.（本小题满分 12 分） 已知数列na满足2) 1(, 11nnanSa （1）求数列na的通项公式； （）若1112) 1(nnnnnaaab，数列nb的前 n 项和为nT， ，求2021T. 18.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，AP=PD=DC=CB=1，AB=2，APD=DCB=CBA
8、=90，平面 PAD平面 ABCD. （1）求证：PB=PC； （1）求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆)0( 1:2222babyaxC的左右焦点分别为21,FF，左顶点为 A，点 D（1，23）是椭圆 C 上一点，离心率为21 （1）求椭圆 C 的方程； （11）若直线 l 过椭圆右焦点2F且与椭圆交于 P、Q 两点，直线 AP，AQ 与直线 x=4 分别交于点 M，N. （i）求证：M，N 两点的纵坐标之积为定值； （ii）求AMN 面积的最小值. 20.（本小题满分 12 分） 已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下， 生产的零件
9、尺寸 X （单位： mm） 服从正态分布 N （280， 25） . （1）从该生产线生产的零件中随机抽取 10 个，求至少有一个尺寸小于 265mm 的概率； （）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为 5000 元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费，已知故障维修费第一次为 2000 元，此后每增加一次则故障维修费增加 2000 元，假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为41， 求该生产
10、设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望。 参考数据：若),(2NZ，则,9545. 0)22(,6827. 0)(ZPZP 9871. 09987. 0 ,9974. 0)33(10ZP 21.（本小题满分 12 分） 已知函数exaxexfxln)( （）当 a=2e 时，不等式 f（x）mx-m 在, 1 上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）若 a0，f（x）最小值为 g（a） ，求 g（a）的最大值以及此时 a 的值. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，题中任选一题作答
11、，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C的参数方程是,sin5,costytx（t 是参数，)2, 0）. 以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线2C的极坐标方程是cos2)4sin(24 （）写出曲线2C的直角坐标方程； （）若曲线1C与2C有且仅有一个公共点，求cossinsin2的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数).0( |42|)(aaxxxf （）若 a=1，求不等式5)(xf的解集； （
12、）若42)(2xaxf恒成立，求实数 a 的取值范围. 参考参考答案答案 一、选择题 BCDAA BDCAD BB 二、填空题 13. ;yx 14.-3; 15. 2; 16. (0, .e 三、解答题 17. 解： （1）由题意(1)2nnnaS，11(2),2nnnaSn两式相减得， 2 分 1(1)(2),22nnnnanaan 4 分 即1(1),nnnana111,11nnaaannL所以.nan 6 分 （2）112 +111=( 1)( 1)()(1)1nnnnbn nnn ，8 分 2021111111111(1)()+()()()223342020202120212022T
13、L 120231=.20222022 12 分 18. 解： （1） 设AD、BC的中点分别为 O、 E， 连接PO、OE、EP， 则为直角梯形的中位线，故 2 分 又平面平面，平面PADI平面ABCDAD， 所以平面， 又P O O E O I， 所以平面， 4 分 OEABCDBCOEPAD ABCDPOADPOABCDPOBCBCPEO又PE 平面，故，又 E 为中点，所以.5 分 （2）在上取一点 F，使得，则，两两垂直，以 O 为原点，射线，分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，2(0,0,)2P，11(,0)22A，1 3(,0)2 2C ，1 1(,0)2 2D
14、， 6 分 从而：1121 32( ,),(,),(0,1,0)2222 22PAPCDC uu u ruuu ruuu r， 8 分 设平面的法向量为， 由1320,2220 xyzy 10 分 可取( 2,0, 1)n r，6cos,.3| |PA nPA nPAnuu u r ruu u r ruu u rr 故直线与平面夹角的正弦值为63 12 分 19.解： （1）由题意知，222221,2191,4,ceaababc解得22=4=3ab， 4 分 椭圆 C 的方程为221.43xy5 分 （2）显然直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为1xmy，与22143xy联立得： 22(
15、34)690mymy， 7 分 设 P、Q 点坐标为1122( ,),(,),x yxy则12122269,3434myyy ymm， 直线 AP 的方程为11(2)2yyxx，令4x，得1162Myyx，同理2262Nyyx， PEOBCPEBCPBPCAB4ABAFOFOEOPOFOEOPPCD, ,nx y zrPBPCD121212212121212363636(2)(2)(3)(3)3 ()9MNy yy yy yy yxxmymym y ym yy 2222936349.96393434mmmmmm 9 分 （3）1996 | 3| 3 218.2AMNMNMMMMSyyyyyy
16、当且仅当=3,3MNyy 或=3,3MNyy时等号成立. 12 分 20. （1）X服从正态分布(280,25)N，所以1 0.99742650.00132P X，2 分 2651 0.00130.9987.P X 4 分 至少一个零件尺寸小于 265 的概率为101 (0.9987)1 0.98710.0129. 5 分 （2）四年内正常维护费为5000 420000 元， 6 分 故障维修费第一次 2000 元，第二次 4000 元，第三次 6000 元，第四次 8000 元， 所以四年内生产维护费用总和Y的可能取值为 20000、22000、26000、32000、40000， 则404
17、381200004256P YC，3141327220004464P YC， 222413272600044128P YC ，334133200043464P YC， 411400004256P Y， 9 分 则Y的分布列为： Y 20000 22000 26000 32000 40000 P 81256 2764 27128 364 1256 故 812727312000220002600032000400002566412864256E Y 22750. 12 分 21.（1）当2ae，不等式( )f xmxm即为2 lnxxeexemxm ， 2 分 令( )2 ln(1),1,)xF
18、xxeexem xx 2( )(1),xeF xxemx( )F x在1,)上单调递增，(1)=Fm， 4 分 当0m时，(1)0( )(1)0FF xF，( )F x在1,)上单调递增，( )(1)0.F xF 当0m时，(1)0F ，当,( )xF x ，所以存在*(1,)x ，*()0F x， 当*(1,)xx，( )0F x ，( )F x单调递减，( )(1)0.F xF不符合题意. 综上，0m. 6 分 （2）( )lnxf xxeaxe，( )(1)xafxxex，( )fx在(0,)上单调递增， 当0,( )xfx ，,( )xfx ，所以存在唯一的正数0(0,)x ，0()0
19、fx， 7分 当0(0,)xx，( )0fx ，( )f x单调递减，当0()xx，( )0fx ，( )f x单调递增， 000min0000000( )()ln(1)lnxxxf xf xx eaxex ex xexe， 8 分 令( )(1)ln,(0,)xxh xxex xexe x 22( )(1)(31)ln1(31)lnxxxh xxeexxxxe xxx ， 10 分 所以(1)0h，且当(0,1)x，( )0h x ，( )h x单调递增，当(1)x，( )0h x ，( )h x单调递减，max( )(1)0h xh，此时01,2 .xae 12 分 22. （）224 2
20、 sincos2cos4sin2cos22， 2 分 24 sin2 cos，2242xyyx， 4 分 圆2C的直角坐标方程是22240 xyxy.5 分 （）因为曲线1C与2C有且仅有一个公共点，说明直线tan5yx 与圆2C相切，2C圆心为（1，2） ，半径为5，则2| tan+3|51tan，解得tan2=或1tan2= -（舍去） ， 8 分 所以222222sinsincostantan2sinsincos.sincostan15 10 分 23.（）由题意得： 33,22415, 1233,1xxf xxxxxxx ， 2 分 当2x时，由335x 得：83x ，83x； 当12x 时，由55x 得：0 x，10 x ； 当1x时，由325x得：1x，1x ； 4 分 综上所述：不等式 5f x 的解集为8,0,3U. 5 分 （） 224f xaa恒成立等价于 2min24f xaa， 6 分 2422f xxxaxxxaQ 222xxaxaxa，等号成立条件是2x， 8 分 min2f xa，2224aaa ，解得：12a，实数a的取值范围为1,2 10 分
