1、广东省韶关市南雄市广东省韶关市南雄市 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 如果方程（m3）27mxx+30是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 都不对 2. 下列图形中，中心对称图形有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 3. 把抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位，再向上平移
2、4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y2（x+3）2+4 B. y2（x+3）24 C. y2（x3）24 D. y2（x3）2+4 4. 下列一元二次方程两实数根和为4的是（ ） A. x2+2x4=0 B. x24x+4=0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x5=0 5. 将 4 个数a、b、c、d排成 2行、2 列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abadbccd例如898 59 340271335 则方程196xxx 的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 将二次函数 y3x26x
3、+1 化成顶点式是（ ） A. y3（x3）226 B. y3（x3）28 C. y3（x1）22 D. y3（x1）2 7. 如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y轴上，点 D（5，3）在边 AB上，以 C 为中心，把VCDB旋转 90 ，则旋转后点 D 的对应点D 的坐标是（ ） A. （2，10） B. （2，0） C. （2，10）或（2，0） D. （10，2）或（2，0） 8. 某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排 28 场比赛,设应邀请 x 个球队参加比赛,则可列方程为（ ） A. (x1)x=28 B. (x+1
4、)x=28 C. 12(x1)x=28 D. (1)2xx=28 9. 二次函数 yax2+bx+c与一次函数 yax+c 在同一坐标系内的图象可能是图所示的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，且 OAOC.则下列结论： abc0；2404baca；acb10；OA OBca.其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11. 关于 x 的一元二次方程22(1)340axxaa有
5、一个实数根是0 x，则 a的值为_ 12. 若点1 2 ,24Paa 关于原点对称点在第一象限内，则a的整数解有_个 13. 如图，在 64 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是_ 14. 计算：121 1 ，2213 ，3217 ，42115 ，52131 ，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测200621的个位数字是_ 15. 抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示，则当 y0时，x 的取值范围是_ 16. 如图， COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，AOD90，则D 的度数是_ 17. 已知抛物线223y
6、xx与x轴相交于 A,B 两点，其顶点为 M，将此抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图像，如图，当直线yxn 与此图像有且只有两个公共点时，则n的取值范围为_. 三、解答题（一） ：本大题共三、解答题（一） ：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 18. 解下列方程： （1）12x23x+60； （2）7x（3x）3（x3） （因式分解法） 19. 在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（0，1） ，请按要求画图与作答： （1）请画出ABC关于原点成中心对称的A
7、1B1C1； （2）请画出ABC绕着点 C 顺时针旋转 90后的A2B2C2； （3）求A2B2C2面积 20. 已知关于 x 的一元二次方程 x22mx+m2m0有两个实数根 a、b； （1）求实数 m的取值范围； （2）当 a2+b2ab0 时，求 m 的值 四、解答题（二） ：本大题共四、解答题（二） ：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分 21. 已知二次函数215222yxx配方成 ya(xk)2h的形式 （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值； （2）求出抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 22. 正方形 ABCD的边长为 3，E、F分别是 AB、
8、BC边上的点，且EDF45将DAE 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DCM （1）求证：F、C、M三点在一直线上， （2）求证：EFFM （3）当 AE1时，求 EF的长 23. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 60件，每件盈利 40 元为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价 1元时，平均每天可多卖出 2件试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？ 五、解答题（三） ：本大题共五、解答题（三） ：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分 24. 如图， 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮， 球运行的路
9、线是抛物线， 当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高 1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 25. 如图， 矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy中， 点 A在 x 轴正半轴上， 点 C在 y轴的正半轴上， OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，
10、点 N在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 广东省韶关市南雄市广东省韶关市南雄市 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 如果方程（m3）27mxx+30是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】利
11、用一元二次方程定义可得 m2-7=2，且 m-30，再解出 m 的值即可 【详解】解：由题意得：m2-7=2，且 m-30， 解得：m=-3， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程 2. 下列图形中，中心对称图形有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答 【详解】第一、二、三个图形是中心对称图形，第
12、四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形. 综上所述，是中心对称图形的有 3个. 故答案选 B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义. 3. 把抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y2（x+3）2+4 B. y2（x+3）24 C. y2（x3）24 D. y2（x3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：把抛物线 y=2x2先向左平移 3个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线的函数解析式为 y=2（x+3）2+4 故选 A 4. 下列一元二次方程两实数根和为4的是（ ） A. x2
13、+2x4=0 B. x24x+4=0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x5=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为4，必须方程根的判别式=b24ac0，且 x1+x2=ba=4据此逐一作出判断. 【详解】Ax2+2x4=0：=b24ac=200，x1+x2=ba=2，所以本选项不合题意； Bx24x+4=0：=b24ac=0，x1+x2=ba=4，所以本选项不合题意； Cx2+4x+10=0：=b24ac=280，方程无实数根，所以本选项不合题意； Dx2+4x5=0：b24ac=360， ，x1+x2=ba=4，所以本选
14、项符号题意. 故选 D. 5. 将 4 个数a、b、c、d排成 2行、2 列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abadbccd例如898 59 340271335 则方程196xxx 的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程196xxx 写成一元二次方程，然后再运用一元二次方程根的判别式解答即可 【详解】解：196xxx x2-6x=-9，即 x2-6x+9=0 =（-6）2-491=0 该方程有两个相等的实数根 故选：B 【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确列出一元二次方程并
15、会用根的判别式判断根的情况成为解答本题的关键 6. 将二次函数 y3x26x+1 化成顶点式是（ ） A. y3（x3）226 B. y3（x3）28 C. y3（x1）22 D. y3（x1）2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用配方法将一般式化为顶点式即可 【详解】y=3x2-6x+1 =3（x2-2x）+1 =3（x-1）2-2 故选 C 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键 7. 如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y轴上，点 D（5，3）在边 AB上，以 C 为中心，把VCDB旋转 90 ，则旋转后点 D 的对应点D 的坐标是
16、（ ） A. （2，10） B. （2，0） C. （2，10）或（2，0） D. （10，2）或（2，0） 【答案】C 【解析】 【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可 【详解】解：点 D（5，3）在边 AB上， BC5，BD532， 若顺时针旋转，则点D在 x 轴上，OD2， 所以，D（2，0） ， 若逆时针旋转，则点D到 x 轴的距离为 10，到 y轴的距离为 2， 所以，D（2，10） ， 综上所述，点D的坐标为（2，10）或（2，0） 故选：C 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论 8. 某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制单循环形式(
17、每两队之间都赛一场),计划安排 28 场比赛,设应邀请 x 个球队参加比赛,则可列方程为（ ） A. (x1)x=28 B. (x+1)x=28 C. 12(x1)x=28 D. (1)2xx=28 【答案】C 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，x 个球队比赛总场数12x x，由此可即可得出方程. 【详解】应邀请 x个球队参加比赛，每个队都要赛(x1)场，但两队之间只有一场比赛， 则有：12x x=28， 故选 C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 9. 二次函数 yax2+bx+c与一次函数 yax+c 在同一坐标
18、系内的图象可能是图所示的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由二次函数图象判断字母系数 a的正负，再与一次函数的图象比较看是否一致 【详解】解：A、由抛物线可知，0a，由直线可知，0a ，错误； B、由抛物线可知，0a ，由直线可知，0a错误； C、由抛物线可知，0a，由直线可知，0a ，0b，错误； D、由抛物线可知，0a ，过点(0, ) c，由直线可知，0a 过点(0, ) c，正确 故选 D 【点睛】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题 10. 如图，二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x轴交于 A，B 两点，与
19、y轴交于点 C，且 OAOC.则下列结论：abc0；2404baca；acb10；OA OBca.其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得 a0，由抛物线的对称轴位置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c0，则可对进行判断； 根据抛物线与 x 轴的交点个数得到 b24ac0，加上 a0，则可对进行判断； 利用 OA=OC可得到 A（c，0） ，再把 A（c，0）代入 y=ax2+bx+c得 ac2bc+c=0，两边除以 c 则可对进行判断； 设 A （x1， 0） ， B （x2， 0） ， 则 OA=x1，
20、 OB=x2， 根据抛物线与 x 轴的交点问题得到 x1和 x2是方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根，利用根与系数的关系得到 x1x2=ca，于是 OAOB=ca，则可对进行判断 【详解】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴在 y轴的右侧， b0， 抛物线与 y轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 抛物线与 x轴有 2个交点， =b24ac0， 而 a0， 2404baca，所以错误； C（0，c） ，OA=OC， A（c，0） ， 把 A（c，0）代入 y=ax2+bx+c得 ac2bc+c=0， acb+1=0，所以正确； 设 A（x1，0） ，B（x2，0
21、） ， 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， x1和 x2是方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根， x1x2=ca， OAOB=ca，所以正确 故选 B 考点：二次函数图象与系数的关系 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11. 关于 x 的一元二次方程22(1)340axxaa有一个实数根是0 x，则 a的值为_ 【答案】-4 【解析】 【详解】 试题分析： x=0 是方程的根， 由一元二次方程的根的定义， 可得2a+3a-4=0， 解此方程得到14a ，21a ；原方程是一元二次方程，二
22、次项系数 a-10，即 a1；综合上述两个条件，a=-4故答案为-4 考点：一元二次方程的解 12. 若点1 2 ,24Paa 关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有_个 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：点 P（-1-2a，2a-4）关于原点对称的点在第一象限内，1 20240aa ，由得，a-12，由得，a2，a=1 或 0故答案为 2 考点：关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的整数解 13. 如图，在 64 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是_ 【答案】点 N 【解析】 【详解】试题分析：如图，连接 N 和两个三角形的对应点； 发现两个三角
23、形的对应点到点 N的距离相等，因此格点 N就是所求的旋转中心； 故答案为：点 N 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在 14. 计算：121 1 ，2213 ，3217 ，42115 ，52131 ，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测200621的个位数字是_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得 22006-1 的个位数字 【详解】解：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1
24、=31， 结果中的个位数字依次以 1，3，7，5 循环出现， 2006 4=5012， 22006-1 的个位数字是 3， 故答案为：3 【点睛】本题考查数字变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字 15. 抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示，则当 y0时，x 的取值范围是_ 【答案】1x3 【解析】 【分析】 首先根据对称轴和与 x 轴的一个交点确定另一个交点的坐标， 然后根据其图象确定自变量的取值范围即可 【详解】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 与 x 轴的
25、另一个交点坐标为（3，0） ， y0 时，x的取值范围为：1x3， 故答案是：1x3 【点睛】 本题考查了抛物线与 x轴的交点及二次函数的性质， 解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标 16. 如图，COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，AOD90，则D 的度数是_ 【答案】60 【解析】 【详解】本题考查了旋转性质的运用.由旋转角AOC=40 ，AOD=90 ，可推出COD 的度数，再根据点C 恰好在 AB 上，OA=OC，AOC=40 ，计算A，利用内角和定理求B，根据对应关系可知D=B 解：由旋转的性质可知，AOC=40 ，而AOD=9
26、0 ， COD=90 -AOC=50 又点 C 恰好在 AB 上，OA=OC，AOC=40 ， A=1802AOCo=70 ， 由旋转的性质可知，OCD=A=70 在OCD 中，D=180 -OCD-COD=60 17. 已知抛物线223yxx与x轴相交于 A,B 两点，其顶点为 M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图像，如图，当直线yxn 与此图像有且只有两个公共点时，则n的取值范围为_. 【答案】214n 或-1n3 【解析】 【分析】首先根据解析式求与 x 轴交点 A、B 的坐标，确定二次函数的顶点 M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4） ，得出
27、新抛物线的解析式；求直线 y=-x+n过两个边界点时对应的 n的值，并求直线与新抛物线相切时的 n值，继而得出 n的取值范围 【详解】解：当 y=0时，y=x2-2x-3=0， （x-3） （x+1）=0， x= -1 或 3， A（-1，0） ，B（3，0） ， y=x2-2x-3=(x-1)2-4， M（1，-4） ， 如图，作直线 y= -x， 分别过 A、B 作直线 y=-x的平行线， 当直线 y=-x+n 经过 A（-1，0）时，1+n=0，n=-1， 当直线 y=-x+n 经过 B（3，0）时，-3+n=0，n=3， n的取值范围为：-1n3， 根据题意得：翻折后顶点坐标为（1，4
28、） ， 翻折后的抛物线的解析式为：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3， 当直线 y=-x+n 与抛物线 y=-x2+2x+3 只有一个公共点时， 则223yxnyxx ， -x2+2x+3=-x+n， -x2+3x+3-n=0， =9+4(3-n)=0， n=214， 综上所述：当直线 y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时，则 n的取值范围为214n 或-1n3 【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点和几何变换问题，明确抛物线在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，即翻折前后的点关于 x轴对称，先求特殊点，即顶点坐标，从而求出翻折后的抛物线的解析式，对于第二问中，同样先求直线过边界时对应的
29、 n 的值，利用数形结合的思想确定其结果 三、解答题（一） ：本大题共三、解答题（一） ：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 18. 解下列方程： （1）12x23x+60； （2）7x（3x）3（x3） （因式分解法） 【答案】 （1）1321x ，2321x （2）137x ，x23 【解析】 【分析】 （1）根据公式法可以解答此方程； （2）根据提公因式法可以解答此方程 【小问 1 详解】 解：12x23x+60， x2+6x120， a1，b6，c12， b24ac6241（12）840， x68462 213212 12 ， 1321x ，2321x
30、 ； 【小问 2 详解】 7x（3x）3（x3） 7x（3x）+3（3x）0 （7x+3） （3x）0， 7x+30或 3x0， 解得，137x ，x23 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用因式分解法解方程 19. 在建立平面直角坐标系方格纸中，每个小方格都是边长为 1的小正方形，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（0，1） ，请按要求画图与作答： （1）请画出ABC关于原点成中心对称的A1B1C1； （2）请画出ABC绕着点 C 顺时针旋转 90后的A2B2C2； （3）求A2B2C2的面积 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2.5 【解析】 【分析】
31、 （1）直接利用关于点对称的性质得出对应点的位置即可解答； （2）直接利用旋转的性质得出对应点的位置即可解答； （3）利用A2B2C2的面积等于所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可解答 【小问 1 详解】 解：如图所示：A1B1C1，即为所求； 【小问 2 详解】 解：如图所示：A2B2C2，即为所求； 【小问 3 详解】 解A2B2C2的面积为：231212121212132.5 【点睛】本题考查中心对称的性质、坐标与图形变化-旋转、网格中的三角形面积求法，正确得出对应点的位置是解答的关键 20. 已知关于 x 的一元二次方程 x22mx+m2m0有两个实数根 a、b； （1）求实数 m的
32、取值范围； （2）当 a2+b2ab0 时，求 m 的值 【答案】 （1）m0 （2）m0 【解析】 【分析】 （1）根据根的判别式解答 （2）根据一元二次方程根与系数的关系解答 【小问 1 详解】 解：关于 x的一元二次方程 x22mx+m2m0有两个实数根 a、b， 0， （2m）24（m2m）0， m0 【小问 2 详解】 解：a2+b2ab0， a2+b2+2ab3ab0， （a+b）23ab0， a+b=2m，ab=m2m （2m）23（m2m）0， m2+3m0， m（m+3）0， m0或 m3（舍去） 故 m0 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系，熟练记忆
33、是解题的关键 四、解答题（二） ：本大题共四、解答题（二） ：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分 21. 已知二次函数215222yxx配方成 ya(xk)2h的形式 （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值； （2）求出抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 【答案】 （1）顶点坐标（2，92） ，对称轴：直线 x2；函数有最小值92 （2）抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （1，0） ；抛物线与 y轴的交点坐标为（0，52） 【解析】 【分析】 （1）首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即可求解； （2）根据抛物线与 x
34、轴、y 轴交点坐标特点和函数解析式即可求解 【小问 1 详解】 解：221519222222yxxx， 顶点坐标（2，92） ，对称轴：直线 x2； 因为二次项系数大于 0，所以函数有最小值92； 【小问 2 详解】 令 y0，则2152022xx， 解得 x5，x1 所以抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （1，0） ； 令 x0，则 y52 所以抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，52） 【点睛】考查了抛物线与坐标轴的交点、函数图象的性质、最值、及二次函数的一般式化顶点式熟练掌握二次函数的基本概念和性质式本题解题的关键 22. 正方形 ABCD的边长为 3，E、F分别是 AB、BC边
35、上的点，且EDF45将DAE 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DCM （1）求证：F、C、M三点在一直线上， （2）求证：EFFM （3）当 AE1时，求 EF的长 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 （3）EF2.5 【解析】 【分析】 （1）因为DAE旋转得到DCM，图形旋转前后对应角大小相等，可知DCMDAE，又因为正方形每个角都是 90 ，进而推出 F、C、M三点在一直线上； （2）图形旋转前后对应角大小相等，可知CDMADE，DEDM，等量代换得出45FDMo，推出FDMEDF，EDF 和MDF 又有一个公共边，用边角边的判定方法证明EDFMDF全等三角形对应边相等，可证得所需结论
36、 （3）通过已知线段长度可直接求出 AE 的长度，设 EFMFx，可用含 x的式子表示 BF，在 RtEBF 中，就可以根据勾股定理列出方程，求得 x即 EF的长 【小问 1 详解】 证明：由旋转的性质可知， DCMDAE90 ， 四边形 ABCD是正方形， DCB90 ， 180FCMDCMDCB o F、C、M三点在一直线上； 【小问 2 详解】 证明：EDF45，ADE+FDC45， 由旋转的性质可知，CDMADE，DEDM， 45FDMFDCCDMFDCADE o FDMEDF， 在EDF和MDF中， DEDMEDFMDFDFDF ， EDFMDF（SAS） ， EFFM； 【小问 3
37、 详解】 设 EFMFx，AECM1，BC3， BMBC+CM3+14， BFBMMF4x， EBABAE312， 在 RtEBF中，由勾股定理得 EB2+BF2EF2， 即 22+（4x）2x2，解得：x2.5， 则 EF2.5 【点睛】本题主要考察了图形旋转的性质，全等三角形的性质和判定和勾股定理的运用，能熟知旋转的性质和全等三角形的判定方法是做出本题的关键 23. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 60件，每件盈利 40 元为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价 1元时，平均每天可多卖出 2件试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多
38、少元？ 【答案】商场每件衬衫降价 5元时，商场服装部每天盈利最多，最大盈利为 2450元 【解析】 【分析】假设商场每件衬衫降价 x 元，利润为 w 元；根据题意，找出等量关系：商场降价后每天的盈利（40-降低的价格） （60+增加的件数） ；利用等量关系把相关数值代入，即可得到二次函数解析式；最后利用二次函数最值求法得出即可 【详解】解：设商场每件衬衫降价 x 元，利润为 w元， w（40 x） （60+2x）2x2+20 x+24002（x5）2+2450， 当 x5时，w取得最大值，此时 w2450 答：商场每件衬衫降价 5元时，商场服装部每天盈利最多，最大盈利为 2450元 【点睛】本
39、题属于二次函数的应用中的销售问题，主要考查了二次函数的应用、二次函数的最值求法，找到销售利润的等量关系是解题的关键，难点是得到降价后增加的销售量 五、解答题（三） ：本大题共五、解答题（三） ：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分 24. 如图， 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮， 球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高 1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球
40、出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】 （1）20.23.5yx ； （2）球出手时，他跳离地面的高度为 0.2m 【解析】 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 ya2x+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得 a 的值 （2）设球出手时，他跳离地面的高度为 hm，则可得 h+2.050.22( 2.5)+3.5 【小问 1 详解】 当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5 米， 抛物线的顶点坐标为（0，3.5） ， 设抛物线的表达式为 ya2x+3.5， 由图知图象过以下点： （1.5，3.05） 2.25a+3.53.05， 解得：a0.2， 抛物线的表达式为20.2
41、3.5yx 【小问 2 详解】 设球出手时，他跳离地面的高度为 hm， 因为（1）中求得20.23.5yx ， 则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25（h+2.05）m， h+2.050.22( 2.5)+3.5， h0.2（m） 答：球出手时，他跳离地面的高度为 0.2m 【点睛】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键 25. 如图， 矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy中， 点 A在 x 轴的正半轴上， 点 C在 y轴的正半轴上， OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （
42、2）求点 D的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）23yx3x4 ； （2）点 D坐标为（1，94） ； （3）存在，N1（2，0） ，N2（6，0） ，N3（71，0） ，N4（71，0） 【解析】 【分析】 （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式2ya x23，将 A的坐标代入求出 a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线 AC解析式为 y=kx+b，将 A与 C 坐标代入求出 k与 b 的值，确
43、定出直线 AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标 （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到 M（3，94） ，即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN求出 ON的长，即可确定出 N的坐标；当四边形ADMN为平行四边形， 可得ADQNMP， MP=DQ=94， NP=AQ=3， 将 y=94代入得：293x3x44 ，求出 x 的值，确定出 OP 的长，由 OP+PN求出 ON的长即可确定出 N坐标 【详解】解： （1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E（2，3） 设抛物线解析式为2ya x
44、23， 将 A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即3a4 抛物线解析式为23yx234 即23yx3x4 （2）设直线 AC 解析式为ykxb（k0） ， 将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：4kb0b3，解得：3k4b3 直线 AC解析式为3yx34 与抛物线解析式联立得：23yx343yx3x4 ，解得：x19y4或x4y0 点 D坐标（1，94） （3）存在，分两种情况考虑： 当点 M在 x 轴上方时，如图 1 所示： 四边形 ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN， 由对称性得到 M（3，94） ，即 DM=2，故 AN=2， N1（2，0） ，N2（6，0） 当点 M在 x 轴下方时，如图 2 所示： 过点 D作 DQx 轴于点 Q，过点 M作 MPx 轴于点 P，可得ADQNMP， MP=DQ=94，NP=AQ=3 将 yM=94代入抛物线解析式得： 293344xx ， 解得：xM=71或 xM=71 xN=xM3=71或71， N3（71，0） ，N4（71，0） 综上所述，满足条件的点 N有四个： N1（2，0） ，N2（6，0） ，N3（71，0） ，N4（71，0）
