江苏省苏州市吴中区、吴江、相城区2021-2022学年八年级上期中数学试题（含答案解析）

1、苏州市吴中区、吴江、相城区苏州市吴中区、吴江、相城区 2021-2022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将选择题的答案用项是符合题目要求的请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上 1. 垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（

2、） A. B. C. D. 2. 4的平方根是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 9，12，15 B. 5，6，7 C. 1，5，5 D. 1，2，3 4. 如图，在ABC和DEF 中，AD，AFDC，添加下列条件中的一个仍无法证明ABCDEF 的是（ ） A. BCEF B. ABDE C. BE D. ACBDFE 5. 在实数29, 872中，无理数的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 等腰三角形的两条边长分别为 3和 7，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D.

3、 13 或 17 7. 到ABC 的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 8. 如图，在ABCV中，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆强，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心， 大于12EF同样长为半径作圆弧， 两弧交于点P， 作射线AP， 交CB于点D90C，9cmBC ，6cmBD，那么点D到边AB的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，6AB，8AD，点E是边AD上的一点，将AEB沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上

4、的点G处，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，ABCV中，90C，D为AC上，点E是AB上一点，且90BDE，DBDEAE，若5BC ，则AD的长是（ ） A. 7 B. 9.5 C. 5 3 D. 10 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，把答案直接填在答题卡相应位置上分，把答案直接填在答题卡相应位置上 11. 若二次根式3x有意义，则 x的取值范围是_ 12. 由四舍五入法得到近似数为38.5 10精确到_位 13. 如果24(6)0 xy，则xy_. 14. 比较大小：12_124 （用

5、“”、“”或“”填空） 15 计算：1623_ 16. 已知一个正数的两个平方根分别是x和6x，则这个正数等于_ 17. 如图，在ABCV中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点135ACB，则MCN_度 18. 如图，四边形 ABFE、AJKC、BCIH 分别是以 RtABC 的三边为一边的正方形，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB于点 D，交 FE 于点 G，连接 HA、CF欧几里得编纂的原本中收录了用该图形证明勾股定理的方法关于该图形的下面四个结论： ABHFBC； 正方形 BCIH面积=2ABH 的面积； 矩形 BFGD 的面积=2ABH 的面积； BD2+AD2+C

6、D2=BF2 正确的有 _ （填序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔 19. 求下列各式中的x： （1）219x （2）32116x 20. 计算： （1）23938 （2）232 55252 21. 已知 x+1的平方根是 2，2x+y2的立方根是 2，求 x2+y2的算术平方根 22. 如图，在ABC中，ACB=90 ，

7、AC=20，BC=15，CDAB于点 D求： （1）CD的长； （2）BD的长 23. 如图，已知 BECD，BE=DE，BC=AD （1）求证：BECDEA； （2）求DFC 的度数 24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在格点上 （1）在图中画出与ABC关于直线 l成轴对称的ABC； （2）在直线 l上找一点 P，使 PB+PC最小，则最小值为_； （3）若点 Q在格点上，使得ABQ的三边长分别为 4，5，13，则图中这样的格点Q共有_个 25. 九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题

8、意是：有一个池塘，其底面是边长是 10尺的正方形，一根芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好碰到岸边的 B（如图） 水深和芦苇长各多少尺？ 26. 如图，在四边形ABCD中，90ABDACD，E，F分别是BC、AD的中点 （1）若10AD，求BF长； （2）求证：EFBC 27. 如图，已知90MON，A 是射线OM上一点，10cmOA动点P从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿AO水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 1cm/s 的速度沿ON竖直向上运动，连接PQ，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形P

9、QC设运动时间为 st，其中0t10 （1）当OPQ与PCQ全等时，求t的值； （2）点C是否在MON的平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由； （3）四边形OPCQ的面积为_ 28. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”， 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形” （1） 【巩固新知】 如图

10、， 若 AD=3， AD=DB=DC， BC=32， 则四边形 ABCD_ （填“是”或“否”）真等腰直角四边形 （2） 【深度理解】在图中，如果四边形 ABCD是真等腰直角四边形，且BDC=90 ，对角线 BD是这个四边形的真等腰直角线，当 AD=4，AB=3时，则边 BC的长是_ （3）如图，四边形 ABCD与四边形 ABDE都是等腰直角四边形，且BDC=90 ，ADE=90 ，BDADAB，对角线 BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线求证：AC=BE （4） 【拓展提高】在图 3中，已知：四边形 ABCD是等腰直角四边形，对角线 BD是这个四边形的等腰直角线若 BD正好是分得的等腰直

11、角三角形的一条直角边，且 AD=3，AB=4，BAD=45 ，求 AC的长 苏州市吴中区、吴江、相城区苏州市吴中区、吴江、相城区 2021-2022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将选择题的答案用项是符合题目要求的请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上 1. 垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源下面四个图形分别是可回收垃

12、圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的定义， 熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键 2. 4的平方根是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案

13、【详解】解：4平方根是：4= 2 故选：C 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 9，12，15 B. 5，6，7 C. 1，5，5 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数判定则可 【详解】解：A、92+122=152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B、52+6272，不能构成直角三角形，故不是勾股数； C、52+1252，不能构成直角三角形，故不是勾股数； D、12+2232，不能构成直角三角形，故不是勾股数 故选：A 【点睛】本题考查了勾

14、股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方 4. 如图，在ABC和DEF 中，AD，AFDC，添加下列条件中的一个仍无法证明ABCDEF 的是（ ） A. BCEF B. ABDE C. BE D. ACBDFE 【答案】A 【解析】 【分析】根据 AF=DC 求出 AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可 【详解】解：AF=DC， AF+FC=DC+FC， 即 AC=DF， A、BC=EF，AC=DF，A=D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABCDEF，故本选项符合题意； B、AB=DE，A=D，AC=DF，符合全等

15、三角形的判定定理 SAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意； CB=E，A=D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意； DACB=DFE，AC=DF，A=D，符合全等三角形的判定定理 ASA，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 5. 在实数29, 872中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】

16、根据无理数的定义，即无限不循环小数叫无理数判断即可； 【详解】93，82 2， 无理数有2，8， 无理数有 2个； 故选 B 【点睛】本题主要考查了无理数的判断，准确分析判断是解题的关键 6. 等腰三角形的两条边长分别为 3和 7，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13 或 17 【答案】C 【解析】 【分析】因为等腰三角形的两边为 3 和 7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考虑各情况能否构成三角形 【详解】解：当 3为底时，其它两边都为 7，3、7、7可以构成三角形，周长为 17； 当 3为腰时，其它

17、两边为 3 和 7， 3+3=67， 所以不能构成三角形，故舍去， 答案只有 17 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论 7. 到ABC 的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的的距离相等进行判断即可 【详解】解：垂直平分线上的点到线段两端的的距离相等 到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点 故选 D 【点睛】本题

18、考查了线段垂直平分线的性质解题的关键在于对垂直平分线性质的熟练掌握 8. 如图，在ABCV中，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆强，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心， 大于12EF的同样长为半径作圆弧， 两弧交于点P， 作射线AP， 交CB于点D90C，9cmBC ，6cmBD，那么点D到边AB的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过D作DKAB于,K 由角平分线性质定理可得：,DCDK=从而可得答案. 【详解】解：如图，过D作DKAB于,K 由作图可得：AD是BAC的角平分线，而90 ,C ,DCDK= Q

19、 9cmBC ，6cmBD， 3,CD= 3,DK= 所以点D到边AB的距离是3cm. 故选 A 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质定理的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键. 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，6AB，8AD，点E是边AD上的一点，将AEB沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上的点G处，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据折叠的性质可得6BGABAEEGBGEA， ， 再由矩形的性质可得10BD ，从而得到4DGBDBG ，然后设AEx ，则,8EGx DEx ，在RtD

20、EG 中，由勾股定理，即可求解 【详解】解：根据题意得： 6BGABAEEGBGEA， ， 在矩形纸片ABCD中，90BGEA ， 22226810BDABAD ， 4DGBDBG ， 设AEx ，则,8EGx DEx ， 在RtDEG 中，222DGEGDE ， 22248xx ，解得：3x ， 即3AE 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键 10. 如图，ABCV中，90C，D为AC上，点E是AB上一点，且90BDE，DBDEAE，若5BC ，则AD的长是（ ） A. 7 B. 9.5 C. 5 3 D. 10 【答案】D 【

21、解析】 【分析】过点 E作 EFAC于点 F，可证得BDCDEF，从而得到 DF=BC=5，再根据等腰三角形的性质，可得 AD=2DF，即可求解 【详解】解：如图，过点 E作 EFAC 于点 F， BDE=90 ， EDF=90 -BDC=DBC， BDC 和DEF中， C=EFD=90，DBC=EDF，DB=DE， BDCDEF（AAS） ， DF=BC=5， DE=AE，EFAC， AD=2DF=10 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8

22、小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，把答案直接填在答题卡相应位置上分，把答案直接填在答题卡相应位置上 11. 若二次根式3x有意义，则 x的取值范围是_ 【答案】3x 【解析】 【分析】根据被开数30 x 即可求解. 【详解】解：依题意得：30 x ， 3x； 故答案为：3x. 【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键 12. 由四舍五入法得到的近似数为38.5 10精确到_位 【答案】百 【解析】 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位 【详解】解：近似数 8.5 103=8500，5 位于百位，则该数精确到百位，

23、 故答案为：百 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错 13. 如果24(6)0 xy，则xy_. 【答案】-2 【解析】 【详解】24(6)0 ?xy ，且40 x，2(6)0y， 4060 xy ，解得：46xy ， 4( 6)2xy . 点睛： （1）一个代数式的算术平方根、一个代数式的平方都是非负数； （2）两个非负数的和为 0，则这两个非负数都为 0. 14. 比较大小：12_124 （用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】先计算2 1121,424+-=利用210,-可得210,

24、4-从而可得答案. 【详解】解：2 112 1 221,4244+ -=Q 而210,- 210,4- 12+1,24 故答案为： 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“作差法比较两个数的大小”是解本题的关键. 15. 计算：1623_ 【答案】4 33#433 【解析】 【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的除法运算，再合并同类项即可. 【详解】解：134 362+ 3=.333 故答案为：4 33 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法运算与加法运算是解本题的关键. 16. 已知一个正数两个平方根分别是x和6x，则这个正数等于_ 【答案】9 【解析】 【分析】一

25、个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解, x 从而可得答案. 【详解】解：Q 一个正数的两个平方根分别是x和6x， 60,xx+ -= 3,x 这个正数等于23 =9, 故答案为：9. 【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“利用平方根的含义列方程”是解本题的关键. 17. 如图，在ABCV中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点135ACB，则MCN_度 【答案】90 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出AB ，根据等腰三角形性质得ACMBCN的度数，然后求解 【详解】解：135ACBQ 45AB ,AMCM BNCNQ ,AACMBBCN 45A

26、CMBCN 1354590MCNACBACMBCN 故答案为：90 【点睛】此题考查了三角形的角度问题，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理 18. 如图，四边形 ABFE、AJKC、BCIH 分别是以 RtABC 的三边为一边的正方形，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB于点 D，交 FE 于点 G，连接 HA、CF欧几里得编纂的原本中收录了用该图形证明勾股定理的方法关于该图形的下面四个结论： ABHFBC； 正方形 BCIH的面积=2ABH 的面积； 矩形 BFGD 的面积=2ABH 的面积； BD2+AD2+CD2=BF2 正确的有 _ （填序号） 【答案】 【解析】

27、【分析】由“SAS”可证ABHFBC，故正确；由平行线间的距离处处相等，可得 SABH=SBCH=12S正 方 形BCIH，故正确；同理可证矩形 BFGD 的面积=2ABH 的面积，故正确；由勾股定理可得BD2+AD2+2CD2=BF2，故错误，即可求解 【详解】解：四边形 ABFE 和四边形 CBHI 是正方形， AB=FB，HB=CB，ABF=CBH=90 ， CBF=HBA， ABHFBC（SAS） ，故正确； 如图，连接 HC， AIBH， SABH=SBCH=12S正方形BCIH， 正方形 BCIH的面积=2ABH 的面积，故正确； CGBF， SCBF=12 BF BD=12S矩形

28、BDGF， 矩形 BFGD 的面积=2ABH 的面积，故正确； BC2=CD2+DB2，AC2=CD2+AD2，BC2+AC2=AB2， BD2+CD2+CD2+AD2=AB2=BF2， BD2+AD2+2CD2=BF2，故错误， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用必要的计算过程、推演步

29、骤或文字说明，作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔 19. 求下列各式中的x： （1）219x （2）32116x 【答案】 （1）x=2或 x=-4； （2）x=-3 【解析】 【分析】 （1）利用平方根的定义求得 x+1的值，然后再解关于 x的方程即可； （2）先求得（x+1）3的值，然后依据立方根的定义列方程求解即可 【小问 1 详解】 解：（x+1）2=9； x+1= 3， 解得：x=2或 x=-4； 【小问 2 详解】 解：2（x+1）3=-16， （x+1）3=-8 x+1=-2， 解得 x=-3 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根，熟记立方根及平方根的定义

30、是解题的关键 20. 计算： （1）23938 （2）232 55252 【答案】 （1）-2； （2）26-125 【解析】 【分析】 （1）直接根据实数的运算法则计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可 【小问 1 详解】 解：23938 =3-3+（-2） =-2； 【小问 2 详解】 解：232 55252 =9-125+20-（5-2） =29-125-3 =26-125 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算及实数的运算，掌握它们的运算法则是解决此题关键 21. 已知 x+1的平方根是 2，2x+y2的立方根是 2，求 x2+y2的算术平方根

31、 【答案】5 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到 x、y 的值，最后代入代数式求解即可 【详解】解：x+1 的平方根是 2， x+14， x3， 2x+y2 的立方根是 2， 2x+y28， 把 x的值代入解得： y4， x2+y225， x2+y2的算术平方根为 5 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找 22. 如图，在ABC中，ACB=90 ，AC=20，BC=15，CDAB于点 D求： （1）CD的长； （2）BD的长 【答案】 （1）CD 的长是 12； （2

32、）BD 的长为 9 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出 CD 的长； （2）在 RtBCD中，直接根据勾股定理可求出 BD的长 【小问 1 详解】 解：在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=15，AC=20， 由勾股定理可得，AB=2+ 2= 202+ 152=25， SABC=12ACBC=12ABCD， ACBC=ABCD， AC=20，BC=15，AB=25， 20 15=25CD， CD=12， CD的长是 12； 【小问 2 详解】 解：CDAB 于点 D， CDB=90 ， 在 RtBCD 中，CDB=90 ，BC=15

33、，CD=12， 由勾股定理可得，BD=22221512BCCD=9， BD的长为 9 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键 23. 如图，已知 BECD，BE=DE，BC=AD （1）求证：BECDEA； （2）求DFC 的度数 【答案】 （1）见解析 （2）DFC=90 【解析】 【分析】 （1）由“HL”可证 RtBECRtDEA； （2）由全等三角形的性质可得B=D，由三角形内角和定理可求DFC=90 【小问 1 详解】 证明：BECD， BEC=DEA=90 ， 在 RtBEC和 RtDEA中： BEDEBCDA

34、， RtBECRtDEA（HL） ； 【小问 2 详解】 解：RtBECRtDEA， B=D， DAE=BAF， BFA=DEA=90 ， DFC=90 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键 24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在格点上 （1）在图中画出与ABC关于直线 l成轴对称的ABC； （2）在直线 l上找一点 P，使 PB+PC最小，则最小值为_； （3）若点 Q在格点上，使得ABQ的三边长分别为 4，5，13，则图中这样的格点Q共有_个 【答案】 （1）见解析 （2）2 10 （3）4 【解析】 【分析】 （1）利用轴对

35、称的性质分别作出 A，B，C的对应点 A，B，C即可； （2）连接 BC交直线 l于点 P，连接 CP，此时 PB+PC 的长最小，最小值为线段 BC的长； （3）利用数形结合思想画出图形即可 【小问 1 详解】 解：如图，ABC即为所求； 【小问 2 详解】 解：如图，点 P即为所求，最小值=BC的长22622 10， 故答案为：2 10； 【小问 3 详解】 解：22215，222313， 符合三边长分别为 4，5，13的ABQ 有ABQ1、ABQ2、ABQ3、ABQ4， 这样的格点 Q共有 4个，如图所示， 故答案为：4 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题，勾股定理等知识，解题的

36、关键是掌握利用轴对称解决最短问题，学会利用数形结合的思想思考问题 25. 九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是 10尺的正方形，一根芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好碰到岸边的 B（如图） 水深和芦苇长各多少尺？ 【答案】水深 12尺，芦苇长 13 尺 【解析】 【分析】依题意画出图形，设芦苇长 AB=AB=x 尺，则水深 AC=（x-1）尺，因为 BE=10 尺，所以 BC=5尺，利用勾股定理求出

37、x 的值即可得到答案 【详解】解：依题意画出图形，如下图， 设芦苇长 AB=AB=x 尺，则水深 AC=（x-1）尺， 因为 BE=10尺，所以 BC=5 尺， 在 RtACB中，52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， 即水深 12 尺，芦苇长 13尺 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键 26. 如图，在四边形ABCD中，90ABDACD，E，F分别是BC、AD的中点 （1）若10AD，求BF的长； （2）求证：EFBC 【答案】 （1）5 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

38、半可得答案； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明,BFCF 再利用等腰三角形的性质可得结论. 【小问 1 详解】 解：Q 90ABD， F为AD的中点，10,AD 15.2BFAD= 【小问 2 详解】 证明：如图，连接,CF Q 90ABDACD， F是AD的中点， 11,22CFAD BFAD= ,CFBF EQ是BC的中点， .EFBC 【点睛】 本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一的性质， 掌握“直角三角形斜边上的中线的性质”是解本题的关键. 27. 如图，已知90MON，A 是射线OM上一点，10cmOA动点P从点 A 出发，以 1c

39、m/s 的速度沿AO水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 1cm/s 的速度沿ON竖直向上运动，连接PQ，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形PQC设运动时间为 st，其中0t10 （1）当OPQ与PCQ全等时，求t的值； （2）点C是否在MON的平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由； （3）四边形OPCQ的面积为_ 【答案】 （1）5 （2）点C是在MON的平分线上，理由见解析 （3）225cm 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得当OPQ与PCQ全等时，OPQ为等腰直角三角形，从而得到 OQ=OP，再由cmOQt ，10cmOPt ，即可求解； （2）过点 C作 CDO

40、N于点 D，CEOA 于点 E，可证得DCQECP，从而得到 CD=CE，即可求解； （3） 过点 C作 CFPQ于点 F， 可得12CFPQ ， 根据题意可得cmAPOQt ，10cmOPt ，利用勾股定理可得22220100PQtt，从而得到2215cm2OPQStt V ，221525 cm2PQCSttV ，再由四边形OPCQ的面积为OPQPQCSSVV，即可求解 【小问 1 详解】 解：根据题意得：当OPQ与PCQ全等时，OPQ为等腰直角三角形，即 OQ=OP， 点P从点 A出发，以 1cm/s 的速度沿AO水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 1cm/s 的速度沿ON竖直

41、向上运动， cm,cmAPtOQt ， 10cmOA 10cmOPt ， 10tt ，解得：5t ， 即当OPQ与PCQ全等时，t的值为 5； 【小问 2 详解】 解：点C是在MON的平分线上，理由如下： 如图，过点 C 作 CDON于点 D，CEOA 于点 E， CDON，CEOA，90MON， CDO=CEO=CEP=MON=90， DCE=90， PQC是等腰直角三角形， CQ=CP，PCQ=DCE=90， DCQ=PCE， DCQECP， CD=CE， CDON，CEOA， 点C是在MON的平分线上； 【小问 3 详解】 解：如图，过点 C 作 CFPQ 于点 F， 根据题意得：cmA

42、POQt ， 10cmOPt ， 22222210220100PQOQOPtttt ， CFPQ，PQC是等腰直角三角形， 12CFPQ ， 22111105cm222OPQSOQ OPtttt V ，22211111525 cm22242PQCSPQ CFPQPQPQttV ， 四边形OPCQ的面积为22211525525cm22OPQPQCSStttt VV 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，动点问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理是解题的关键 28. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边

43、形分成两个三角形若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”， 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形” （1） 【巩固新知】 如图， 若 AD=3， AD=DB=DC， BC=32， 则四边形 ABCD_ （填“是”或“否”）真等腰直角四边形 （2） 【深度理解】在图中，如果四边形 ABCD是真等腰直角四边形，且BDC=90 ，对角线 BD是这个四边形的真等腰直角线，当

44、 AD=4，AB=3时，则边 BC的长是_ （3）如图，四边形 ABCD与四边形 ABDE都是等腰直角四边形，且BDC=90 ，ADE=90 ，BDADAB，对角线 BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线求证：AC=BE （4） 【拓展提高】在图 3中，已知：四边形 ABCD是等腰直角四边形，对角线 BD是这个四边形的等腰直角线若 BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且 AD=3，AB=4，BAD=45 ，求 AC的长 【答案】 （1）是 （2）42或 32 （3）见解析 （4）AC=34或41 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理证明BDC=90 ，从而BDC 是等腰直角

45、三角形，又因为ABD 是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知ABD是等腰三角形，当 AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=42，当 BD=AB=3 时，由勾股定理得：BC=32； （3）利用 SAS 证明ADCEDB，得 AC=BE； （4）分BDC=90 和DBC=90 ，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题 【小问 1 详解】 解：AD=3，AD=DB=DC， BD=CD=3， BD2+CD2=18，BC2=（32）2=18， BD2+CD2=BC2， BDC是等腰直角三角形， ABD是等腰三角形， 四边形 ABCD是真等腰直角四边形， 故答案为：是； 【小

46、问 2 详解】 解：对角线 BD 是这个四边形的真等腰直角线， ABD是等腰三角形， 当 AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=2244=42， 当 BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=2233=32， 综上：BC=42或 32， 故答案为：42或 32； 【小问 3 详解】 解：由题意知：BDC和ADE 都是等腰直角三角形， BD=CD，AD=DE，BDC=ADE=90 ， ADC=EDB， ADCEDB（SAS） ， AC=BE； 【小问 4 详解】 解：由题意知：BDC是等腰直角三角形， 当BDC=90 时，如图，作 DEAD，取 DE=AD，连接 AE，BE， 由（3）同理得ADCEDB（SAS） ， AC=BE， AD=3，ADE是等腰直角三角形， AE=32，EAD=45 ， DAB=45 ， EAB=90 ， 由勾股定理得 BE=22223 2434AEAB， AC=34； 当DBC=90 时，如图，同理可得 AE=42， DE=AC=41， 综上：AC=34或41 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性