1、苏州市昆山市、太仓市苏州市昆山市、太仓市 20202020- -20212021 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的请将选择題的答案用项是符合题目要求的请将选择題的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列各数：13,0,4,0.2020020002,12其中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3
2、C. 4 D. 5 3. 由四舍五入法得到的近似数 3.01104精确到（ ） A. 百位 B. 百分位 C. 万位 D. 万分位 4. 下列计算正确的是（ ） A. 1 2 33 3 B. 532 C. 2 2 3 26 2 D. 222 5. 如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADFCBE 的是 A. A=C B. AD=CB C. BE=DF D. ADBC 6. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12 或 15 D. 18 7. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的ABC三个顶点
3、 A，B，C处，现要建一个牛奶供应站 P，且该供奶站 P 到三小区 A，B，C的距离相等，则该供奶站 P 的位置应选在（ ） A. ABC 三边垂直平分线的交点 B. ABC 三个内角平分线的交点 C. ABC 三条中线的交点 D. ABC 三条高所在直线的交点 8. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（ABC） ，BC为折痕，若142，则2的度数为（ ） A. 48 B. 58 C. 60 D. 69 9. 如图，AOB60，点 P 在边 OA上，OP22，点 M、N 在边 OB 上（M 在 N 的左侧） ，且 PMPN，若 MN4，则 OM 的长为（ ） A
4、. 7 B. 8 C. 9 D. 11 10. 如图， 在ABC中， ACB90， 分别以点 A， B为圆心， 大于12AB长为半径作弧， 两弧交于点 M、 N，作直线 MN 分别交 AB，AC于点 D，E，连接 CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ） A. AE2CE B. BCE BDE C. BECBDC D. BE 平分CBD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分把答案直接填写在答题卡相应位置上分把答案直接填写在答题卡相应位置上 11. 14的平方根是_ 12. 若二次根式2x-3有意义，则 x的取值范围是_ 13. 若1
5、2与最简二次根式3 42a同类二次根式，则a _ 14. 计算：212_ 15. 如图，在VABC 中，C90 ，AB10，AD平分BAC 交边 BC于 D点若 CD3，则VABD的面积为_ 16. 如图，在ABC 中，ABAC，A120 ，BC12cm，AB 的垂直平分线交 BC于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN的长为_ 17. 如图，四边形 ABCD中，AC 与 BD 相交于点 P，ABCADC180，BD 平分ABC，ADCD，过 D 作 DEBC于 E，若 AB5，BC12，则 CE_ 18. 如图，ABC的外角ACD 的平
6、分线 CP 与内角ABC平分线 BP 交于点 P，若BPC=40 ，则CAP=_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明必要的计算过程、推演步骤或文字说明 19. 求下列各等式中 x的值 （1）21303x （2）321160 x 20. 计算 （1）239642 （2）12861823 （3）(23 1)2 (3 + 2)(3 2) 21. 已知22xy与( + 3)2互为相反数，求 xy的算术平方根 22. 已知32,32ab ，求下
7、列各式的值 （1）22ab （2）22aabb 23. 已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，试问：DE和 DF 相等吗？说明理由 24. 如图所示， 由每一个边长均为 1的小正方形构成的正方形网格中， ABC的顶点 A， B， C 均在格点上 （小正方形的顶点为格点)，利用网格画图， （保留必要的画图痕迹) （1）在直线 AC上找一点 P，使得点 P 到点 B，C 的距离相等; （2）在图中找一点 O，使得 OAOBOC； （3）在（1） 、 （2）小题的基础上，请在直线 AB 上确定一点 M，使 MPMO的值最小 25. 如图，在ABC 中，AB=AC，D
8、 是 BA 延长线上一点，E 是 AC 的中点 （1）利用尺规作出DAC 的平分线 AM，连接 BE 并延长交 AM 于点 F， （要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）试判断 AF 与 BC 有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由 26. 如图，在ABC 中，ABC2C，BAC 的平分线 AD 交 BC于点 D，过 B 作 BFAD，垂足为 F，延长 BF 交 AC 于点 E （1）求证：ABE为等腰三角形; （2）已知 AC14，BD5，求 AB 的长 27. 如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC6 3，BC6，CD 平分ACB 交斜边 AB 于点D，动
9、点 P从点 C出发，沿折线 CAAD向终点 D运动 （1）点 P 在 CA上运动的过程中，当 CP 时，CPD 与CBD 的面积相等； （直接写出答案） （2）点 P 在折线 CAAD上运动过程中，若CPD是等腰三角形，求CPD的度数； （3）若点 E 是斜边 AB中点，当动点 P在 CA上运动时，线段 CD 所在直线上存在另一动点 M，使两线段MP、ME的长度之和，即 MPME的值最小，则此时 CP的长度 （直接写出答案） 28. 如图 1 所示，在边长为 6 cm的等边ABC 中，动点 P以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB向点 B运动设点 P的运动时间为 t（s） ，t0
10、（1）当 t 时，PAC是直角三角形； （2）如图 2，若另一动点 Q从点 C出发，沿线段 CA 向点 A运动，且动点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，那么当 t取何值时，PAQ 是直角三角形？请说明理由； （3） 如图 3， 若另一动点 Q从点 C出发， 沿射线 BC方向运动， 且动点 P， Q均以 1cm/s 的速度同时出发 当点 P 到达终点 B 时，点 Q也随之停止运动，连接 PQ交 AC于点 D，过点 P作 PEAC 于 E，试问线段 DE的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出 DE的长度 苏州市昆山市、太仓市苏州市昆山市、太仓市 20202020- -20
11、212021 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的请将选择題的答案用项是符合题目要求的请将选择題的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此
12、选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2. 下列各数：13,0,4,0.2020020002,12其中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可 【详解】 解：1, ,0, 42,0.2020020002, 1232 3， 其中10, 4 0.20200200023,，是有理数，,2 3是无理数，共计 2个， 故
13、选 A 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数 3. 由四舍五入法得到的近似数 3.01104精确到（ ） A. 百位 B. 百分位 C. 万位 D. 万分位 【答案】A 【解析】 【分析】由于43.301001 100，观察数字 1 所在的数位即可求得答案. 【详解】解：43.301001 100，数字 1在百位上， 近似数43.01 10精确到百位， 故选 A 【点睛】此题主要考查了近似数和有效数字，熟记概念是解题的关键. 4. 下列计算正确的是（ ） A. 1 2 33 3 B. 532 C. 2 2 3 26 2 D. 2
14、22 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，二次根式的乘除运算逐项判断即可 【详解】解：A. 1与2 3不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. 5与3不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 2 2 3 212，故该选项不正确，不符合题意； D. 222，故该选项正确，符合题意； 故选 D 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的乘除，掌握二次根式的运算法则是解题的关键 5. 如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADFCBE 的是 A. A=C B. AD=CB C. BE=DF D. ADBC 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A
15、E=CF，AE+EF=CF+EFAF=CE A在ADF 和CBE 中，ACAFCEAFDCEB，ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误 B根据 AD=CB，AF=CE，AFD=CEB 不能推出ADFCBE，错误，故本选项正确 C在ADF 和CBE 中，AFCE AFDCEBDFBE，ADFCBE（SAS） ，正确，故本选项错误 DADBC，A=C由 A 选项可知，ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误 故选 B 6. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12 或 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析
16、：根据题意，要分情况讨论：、3 是腰；、3 是底必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边 解：若 3 是腰，则另一腰也是 3，底是 6，但是 3+3=6，不构成三角形，舍去 若 3 是底，则腰是 6，6 3+66，符合条件成立 C=3+6+6=15 故选 B 考点：等腰三角形的性质 7. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的ABC三个顶点 A，B，C处，现要建一个牛奶供应站 P，且该供奶站 P 到三小区 A，B，C的距离相等，则该供奶站 P 的位置应选在（ ） A. ABC 三边垂直平分线的交点 B. ABC 三个内角平分线的交点 C. ABC 三条中线的交点 D. ABC 三条高所在
17、直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定 P点的位置 【详解】解：点 P到点 A，B，C的距离相等， 点 P为 AB、BC、AC 的垂直平分线的交点 故选：A 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 也考查了线段垂直平分线的性质掌握三角形的重心及线段垂直平分线的性质是解题关键 8. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（ABC） ，BC为折痕，若142，则2的度数为（ ） A. 48 B. 58 C. 60 D. 69 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可以得到14，45，
18、再根据142和折叠的性质，即可得到2的度数，本题得以解决 【详解】解：如图所示， 长方形的两条长边平行，142， 1442，45， 542， 由折叠的性质可知，23， 235180， 269， 故选：D 【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 9. 如图，AOB60，点 P 在边 OA 上，OP22，点 M、N 在边 OB 上（M 在 N左侧） ，且 PMPN，若 MN4，则 OM 的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】作 PCOB，则OPC=30，得 OC=11，由 PM=PN，则 MC=NC
19、=2，即可求出 OM 的长度. 【详解】解：作 PCOB，如图： 60AOB，PCO=90 ， OPC=30， 11221122OCOP， PMPN，PCOB， 114222MCNCMN， 11 29OMOCMC； 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，以及线段的和差关系，解题的关键是正确求出 OC和 MC的长度. 10. 如图， 在ABC中， ACB90， 分别以点 A， B为圆心， 大于12AB长为半径作弧， 两弧交于点 M、 N，作直线 MN 分别交 AB，AC于点 D，E，连接 CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ） A. AE2CE B. BCE
20、BDE C. BECBDC D. BE 平分CBD 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图可判断 DE 垂直平分 AB，则根据线段垂直平分线的性质得到 AE=BE，AD=BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明 BDC=2A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明 BEC=2A， 从而得到BEC=BDC， 于是可对 C选项进行判断； 由于只有当A=30时，AE=BE=2CE，BCEBDE，BE 平分CBD，进而对 A、B、D 选项进行判断 【详解】解：由作法得 DE 垂直平分 AB， QAE=BE，AD=BD， D点为 RtABC的斜边 AB 上的中点， DA=D
21、C， A=ACD， BDC=A+ACD=2A， EA=EB， A=ABE BEC=A+ABE=2A BEC=BDC，所以 C 选项的结论正确； 只有当A=30时，AE=BE=2CE，BCEBDE，BE 平分CBD，所以 A、B、D选项不一定成立 故选：C 【点睛】本题考查了作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分把答案直接填写在答题卡相应位置上分把答案直接填写在答
22、题卡相应位置上 11. 14的平方根是_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据平方根的意义求解即可. 【详解】（12）2=，14， 14的平方根是12，即11=42. 故答案为12. 【点睛】本题考查了平方根的意义，如果一个数 x的平方等于 a，即 x2=a,那么这个数 x 叫做 a的平方根，正数 a的平方根记作a.正数 a有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根. 12. 若二次根式2x-3有意义，则 x的取值范围是_ 【答案】x32 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值 【详解】二次根式2x-3有意义， 2x-30, x32. 故答案是：x32.
23、 【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数 13. 若12与最简二次根式3 42a是同类二次根式，则a _ 【答案】12 【解析】 【分析】现将12化为最简二次根式，再利用同类二次根式的概念得解 【详解】解：由题意，得122 3， 又2 3与最简二次根式3 42a为同类二次根式， 则4 2a3，解得12a 故答案为：12 【点睛】本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，属于基础题，熟练掌握最简二次根式与同类二次根式的概念是解题的关键 14. 计算：212_ 【答案】21 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可 【详解】2121221 故
24、答案为：2 1 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于基础题，注意2aa 15. 如图，在VABC 中，C90 ，AB10，AD平分BAC 交边 BC于 D点若 CD3，则VABD的面积为_ 【答案】15 【解析】 【分析】过点 D作 DEAB 于点 E，由角平分线的性质定理得 DE=CD=3，从而可求得ABD的面积 【详解】过点 D作 DEAB 于点 E，如图 C=90，AD平分BAC DE=CD=3 1110 31522ABDSABDE V 故答案为：15 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及图形的面积，作垂线是问题的关键 16. 如图，在ABC 中，ABAC，A120 ，BC12cm，
25、AB 的垂直平分线交 BC于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN的长为_ 【答案】4cm 【解析】 【分析】 根据题意先求得BC30， 进而根据垂直平分线的性质可得 AMBM， BAMB30，在Rt CAMV中，根据含 30 度角的直角三角形的性质求得22CMAMBM，结合已知条件可得4BM ,同理可得4CN ，进而即可求得MN的长 【详解】ABAC， BC， CAB120， BC30， 连接 AM，AN， ME 是 AB 的垂直平分线， AMBM，BAMB30， CAMBACBAM1203090， CM2AM2BM， 3BMBC12c
26、m， BM4cm， 同理可得，CN4， MNBCCNBM12444（cm） 故答案为：4cm 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含 30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键 17. 如图，四边形 ABCD中，AC 与 BD 相交于点 P，ABCADC180，BD 平分ABC，ADCD，过 D 作 DEBC于 E，若 AB5，BC12，则 CE_ 【答案】72#3.5 【解析】 【分析】过点D作DFAB交BA的延长线于点F，证明Rt DFARt DECVV，可得ECAF，证明Rt BFDVRt BEDV，可得BEBF，根据125ECEC 即可求得EC 【详解】解：过点D作D
27、FAB交BA的延长线于点F，如图， QDEBC 90DECF Q BD 平分ABC， DEDF 又 ADCD， Rt DFARt DECVVHL ECAF, 在Rt BFDV和Rt BEDV中 BDBDDFDE Rt BFDVRt BEDVHL BEBF 5,12ABBCQ 12,5BEBCECEC BFABAFAF 125ECEC 解得72EC 故答案为：72 【点睛】本题考查了角平分线的性质，HL证明三角形全等，以及全等的性质，正确的添加辅助线是解题的关键 18. 如图，ABC的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC平分线 BP 交于点 P，若BPC=40 ，则CAP=_ 【答案】50
28、【解析】 【详解】是利用角平分线的性质定理和判定定理证 AP 是BAC 外角的平分线！而BAC=2BPC 也是可证的！由BPC=40 和角平分线性质， 得ACD-2ABC=2 40 =80 即BAC=80 ， 则BAC 的外角为 100 ，CAP=12 100 =50 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明必要的计算过程、推演步骤或文字说明 19. 求下列各等式中 x的值 （1）21303x （2）321160 x 【答案】 （1）13x
29、 （2）3x 【解析】 【分析】 （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可 小问 1 详解】 21303x 219x 13x 【小问 2 详解】 321160 x 318x 12x 解得3x 【点睛】本题考查了平方根和立方根定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 20. 计算 （1）239642 （2）12861823 （3）(23 1)2 (3 + 2)(3 2) 【答案】 （1）3 （2）3 （3）12
30、4 3 【解析】 【分析】 （1）根据求一个数的算术平方根，立方根，以及二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的乘除运算和加减运算进行计算即可； （3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可 【小问 1 详解】 239642 3 4 2 3 【小问 2 详解】 12861823 34 323 = 3 【小问 3 详解】 (23 1)2 (3 + 2)(3 2) 124 3132 124 3 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，正确的计算是解题的关键 21. 已知22xy与( + 3)2互为相反数，求 xy的算术平方根 【答案】2 23 【
31、解析】 【分析】 根据相反数的性质以及非负数的性质， 可得220,30 xyxy， 解方程组求得, x y的值，进而求得xy的算术平方根并根据二次根式的性质化简 【详解】解：22xy与( + 3)2互为相反数， 22xy+( + 3)20 22030 xyxy 解得1383xy 89xy 则89的算术平方根为2 23 【点睛】本题考查了相反数的性质，非负数的性质，算术平方根的非负性，二次根式的性质，解二元一次方程组，求得, x y的值是解题的关键 22. 已知32,32ab ，求下列各式的值 （1）22ab （2）22aabb 【答案】 （1）12 2 （2）29 【解析】 【分析】 （1）先
32、计算,ab ab的值，再根据平方差公式因式分解，进而代入求解即可； （2）先计算,ab ab的值，再将式子变形，进而求解即可 【小问 1 详解】 解：Q32,32ab 32322 2ab ，32326ab 222 2612 2ababab 【小问 2 详解】 Q32,32ab 3232297ab ，32326ab 22aabb2222aabbababab36729 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，将代数式变形化简是解题的关键 23. 已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，试问：DE和 DF 相等吗？说明理由 【答案】相等，理由见解析 【解析】 【分析】连
33、接 AD，证明 ACDABD，可得DAEDAF ，进而根据角平分线的性质即可证明 DE和DF 相等 【详解】连接 AD，如图， ACD 和ABD中， ABACADADBDCD， ACDABD（SSS） ， DABDAC 即DAEDAF DEAE，DFAF， DEDF 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键 24. 如图所示， 由每一个边长均为 1的小正方形构成的正方形网格中， ABC的顶点 A， B， C 均在格点上 （小正方形的顶点为格点)，利用网格画图， （保留必要的画图痕迹) （1）在直线 AC上找一点 P，使得点 P 到点 B，C 的距
34、离相等; （2）在图中找一点 O，使得 OAOBOC； （3）在（1） 、 （2）小题的基础上，请在直线 AB 上确定一点 M，使 MPMO的值最小 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）取格点 O，J，作直线 OJ交 AVC 于点 P，点 P 即为所求 （2）ABC 三边垂直平分线的交点 O，即为所求 （3）作点 P关于直线 AB的对称点 P，连接 OP交 AB于点 M，点 M 即为所求 【详解】解： （1）如图，点 P，即为所求 （2）如图，点 O即为所求 （3）如图，点 M 即为所求 【点睛】本题考查作图应用与设计，线段的垂直平分线的性质，轴对
35、称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 25. 如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 AC 的中点 （1）利用尺规作出DAC 的平分线 AM，连接 BE 并延长交 AM 于点 F， （要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）试判断 AF 与 BC 有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由 【答案】 （1）作图见解析； （2）AFBC 且 AF=BC，理由见解析. 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据题意画出图形即可； （2）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据三角形的外角的性质，可得DAC=ABC+C，根据内错
36、角相等，可得两直线平行，根据 ASA，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论 试题解析： （1）如图： （2）AFBC 且 AF=BC，理由如下： AB=AC，ABC=C， DAC=ABC+C，DAC=2C， 由作图可知DAC=2FAC，C=FAC，AFBC； E 是 AC 的中点，AE=CE， 在AEF 和CEB 中，FAECAECEAEFCEB ,AEFCEB （ASA） ， AF=BC 26. 如图，在ABC 中，ABC2C，BAC 的平分线 AD 交 BC于点 D，过 B 作 BFAD，垂足为 F，延长 BF 交 AC 于点 E （1）求证：ABE为等腰三角形; （2）
37、已知 AC14，BD5，求 AB 的长 【答案】 （1）见解析； （2）9 【解析】 【分析】 （1）由垂直的定义得到AFEAFB90，由角平分线的定义得到EAFBAF，根据三角形的内角和得到AEFABF，得到 AEAB，于是得到结论； （2） 连接 DE， 根据等腰三角形的性质得到 AD垂直平分 BE， 得到 BDED， 由等腰三角形的性质得到DEFDBF，等量代换得到AEDABD，于是得到结论 【详解】 （1）证明：BEAD， AFEAFB90， 又AD 平分BAC， EAFBAF， 又在AEF和ABF中 AFEEAFAEF180，AFBBAFABF180 AEFABF， AEAB， AB
38、E为等腰三角形； （2）解：连接 DE， AEAB，AD平分BAC， AD垂直平分 BE， BDED， DEFDBF， AEFABF， AEDABD， 又ABC2C， AED2C， 又CED 中，AEDCEDC， CEDC， ECED， CEBD ABAEACCEACBD1459 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键 27. 如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC6 3，BC6，CD 平分ACB 交斜边 AB 于点D，动点 P从点 C出发，沿折线 CAAD向终点 D运动 （1）点 P 在 CA上
39、运动的过程中，当 CP 时，CPD 与CBD 的面积相等； （直接写出答案） （2）点 P 在折线 CAAD上运动的过程中，若CPD 是等腰三角形，求CPD的度数； （3）若点 E是斜边 AB的中点，当动点 P在 CA上运动时，线段 CD 所在直线上存在另一动点 M，使两线段 MP、ME 的长度之和，即 MPME 的值最小，则此时 CP 的长度 （直接写出答案） 【答案】 （1）6 （2）45或90或67.5或37.5 （3）3 【解析】 【分析】 （1）当CPCB时，证明PCDBCD，即可求解； （2）由（1）可得45PCD，分情况讨论当点P在AC上，当PCPD，DPDC，CPCD，根据三角
40、形内角和定理求得CPD；当P在AD上，存在DPDC，同理求得CPD； （3）当M在CD上时，MPAC时，MP最小，作P关于CD的对称点P，证明PCMPCMVV，可得,MPMP CPCP，当,E M P三点共线时，MPME 的值最小，进而根据含 30 度角的直角三角形的性质以及中点的性质求解即可 【小问 1 详解】 |解：当 CP=6 时，CPD与CBD 的面积相等，理由如下： 若 BC=6，则 CP=BC QCD 平分ACB， PCD=BCD=ACB=45， 在PCD和BCD 中， = = = ， PCDBCD (SAS)， CPD 与CBD 的面积相等， 故答案为：6； 【小问 2 详解】
41、由（l）得：PCD=45，分两种情况：点 P 在 AC 上，如图 1所示： 若 PC=PD,则PDC=PCD=45， CPD=180-45-45=90， 若 DP=DC时，则CPD=PCD=45， 若 CP=CD， CPD=CDP= 12(180-45)=67.5 点 P在 AD上时，如图 2 所示： 存在 DP=DC CPD=PCD， ACB=90 ，A=30 ， B=60 ， CDP=BCD+B=45 +60 =105 ， CPD=12（180 -105 ）=37.5 综上所述，CPD 的度数为 45 或 90 或 67.5 或 37.5 ； 【小问 3 详解】 当 M在 CD上，且 MP
42、AC时，MP最小，作P关于CD的对称点P， 如图 3 所示： MPBC 则MPAC， CD平分ACB， PCM=PCM， 又MPC=MPC=90 ，CM=CM PCMPCM（AAS） ， MP=MP，CP=CP， MPMEMPMEEPQ 当点 E、M、P三点共线时，MP+ME的值最小， 则EPAC， BEP=A=30 ， ACB=90 ，A=30 ，BC=6， AB=2BC=12， 点 E是斜边 AB的中点， BE=12AB=6， BP=12BE=3， CP=CP=BC-BP=3， 故答案为：3 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含 30 的直角三角
43、形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 28. 如图 1 所示，在边长为 6 cm的等边ABC 中，动点 P以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB向点 B运动设点 P的运动时间为 t（s） ，t0 （1）当 t 时，PAC是直角三角形； （2）如图 2，若另一动点 Q从点 C出发，沿线段 CA 向点 A运动，且动点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，那么当 t取何值时，PAQ 是直角三角形？请说明理由； （3） 如图 3， 若另一动点 Q从点 C出发， 沿射线 B
44、C方向运动， 且动点 P， Q均以 1cm/s 的速度同时出发 当点 P 到达终点 B 时，点 Q也随之停止运动，连接 PQ交 AC于点 D，过点 P作 PEAC 于 E，试问线段 DE的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出 DE的长度 【答案】 （1）3 （2）2 或 4，理由见解析 （3）不变化，3DE 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，当CPAB，即P为AB的中点时，PAC 是直角三角形，据此分析即可； （2）分当QPAB时，当QPAC时，根据含 30 度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程解方求解即可； （3）过P作PFBC，进而证明,AEEF CDDF
45、，可得132DEAC= 【小问 1 详解】 解：依题意，当PAC是直角三角形时，CPAB， ABCQV是等边三角形 则此时P为AB的中点时， 132APAB 3 13t 故答案为：3 【小问 2 详解】 解：当QPAB时，如图， ABCQV是等边三角形 60A APCQtQ，则6AQt 在Rt APQV中，60A , 30AQP 12APAQ 即162tt 解得2t 当QPAC时，如图， 同理可得12AQAP 即162tt 解得4t 综上所述，当 t为2或4时，PAQ是直角三角形 【小问 3 详解】 如图， 过点P作PFBC， ABCQV是等边三角形 60A 60B QPFBC 60APFB APF是等边三角形 PAPF PEAFQ AEEF QPFBC PFDQCD，FPDCQD Q,P Q的速度相等 APCQ PFCQ PFDQCDVV CDDF Q,AEEF CDDF， 11322DEAFFCAC 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键
