1、2022 年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科）年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1. 已知集合 = *| 1 1+， = *|0 2+，则 = ( ) A. *|0 1+ B. *| 1 2+ C. *|1 2+ D. *|0 1+ 2. 若复数满足 = 3 + ，则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下面正确的是( ) A. 1 2 3 B. 2 3 1 C. 3 1 2 D. 3 2 ，若()的图象与轴恰好有2个交点，则实数的取值范围是( ) A. ,6,+) B. ,
2、1,2) (2,+) C. ,1,2) (6,+) D. ,1,2) ,6，+) 二、单空题（本大题共 4 小题，共 12 分） 13. 若 = 220，则( 12)的展开式中常数项为_ 14. 已知向量 ， ， 满足 = 0，| | = 1，| | = | | = 13，则| |的最大值是_ 15. 已知点是抛物线2= 2( 0)的焦点， 点(2,1),(12,2)分别是抛物线上位于第一、 四象限的点，若| = 10，则 的面积为_ 16. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如图方法剪裁(如图1)，扇面形状较为美观.从半径为20的圆面中剪下扇形， 使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为5
3、;12(5;12 0.618， 称为黄金分割比例)，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为5;12.则一个按上述方法制作的扇形装饰品(如图2)的面积为 2 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 17. 已知数列*+的前项和为，:1= 4， ，且1= 4 (1)证明：*:1 2+是等比数列，并求*+的通项公式； (2)在= :1 ；= log2；=+2+1这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答 已知数列*+满足_，求*+的前项和 18. 手机支付也称为移动支付， 是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式随着
4、信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查， 随机抽取了100人， 其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁) 年龄段 ,15,25) ,25,35) ,35,45) ,45,55) ,55,65) ,65,75- 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数 8 28 24 12 2 1 (1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？ 年龄低于45岁 年龄不低于4
5、5岁 使用手机支付 不使用手机支付 (2)若从年龄在,55,65)， ,65,75-的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望 参考数据： (2 0) 0.025 0.010 0.005 0.001 0 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：2=(;)2(:)(:)(:)(:) 19. 如图， 在四棱锥 中， 已知 底面， ， /， = = 2， ，异面直线与所成角等于60 (1)求证：平面 平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点
6、的位置，若不存在，请说明理由 20. 已知抛物线：2= 2经过点(1,2)，过点(0,1)的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于 ()求直线的斜率的取值范围； ()设为原点， = ， = ，求证：1+1为定值 21. 已知() = +1; ， (1)讨论()的单调区间； (2)当0 2 () + 1 22. 在平面直角坐标系中，曲线1过点(,1)，其参数方程为 = + 2 = 1 + 2(为参数， ).以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为2 + 4 = 0 ()求曲线1的普通方程和曲线2的直角坐标方程； ()已知曲线1与曲线2交于、两点，且| = 2
7、|，求实数的值 23. 已知函数() = | + 2| + | 4| 的定义域为 (1)求实数的范围； (2)若的最大值为，当正数，满足4:5+13:2= 时，求4 + 7的最小值 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解： = *| 1 1+， = *|0 2+， = *| 1 1+ *|0 2+ = *| 1 45 = 1，0 2 1，3 0 所以3 2 0)， 因为直线过原点，由椭圆的及直线的对称性可得| = |， 所以| = 2|， 设下焦点，连接，又因为2| = | = 2，可得四边形为矩形， 即| = |，且 = ， 在 中，| = |sin = 2 sin， | = |co
8、s = 2 cos， 由椭圆的定义可得| + | = 2， 所以2 = 2 (sin + cos) = 2 2sin(4+ )， 所以离心率 =12sin(4:)， 因为 =12，所以4+ =3， 所以 =63 故选： 由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出|，|用2表示的代数式，由椭圆的定义可得2与2的关系，由 =12，进而求出离心率 本题考查椭圆的对称性，椭圆的简单性质的应用，三角函数的化简求值，属于中档题 7.【答案】 【解析】 【分析】 设所需时间为1，则(:1)= 10，解方程即可求解 本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到解指数型方程，属于基础题 【
9、解答】 解：设所需时间为1，则(:1)= 10， 即0.381= 10，所以0.381= 10 2.30， 解得1=2.30.38 6， 故选： 8.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查排列、组合中的乘法原理，属于基础题 由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果 【解答】 解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法： 丁扶贫点最先去，有33种安排方法； 丁扶贫点安排在中间位置去，有212122种安排方法， 综合知共有33+ 212122= 14种安排方法 故选： 9.【答案】 【解析】解：因为22cos(4;)= 32， 所以2(:)(;)22(:)= 32， 可得2
10、( ) = 32，两边平方，可得4(1 2) = 322，即322 + 42 4 = 0， 则2 =23，或2(舍去) 故选： 利用二倍角公式，两角差的余弦公式化简已知等式可得2( ) = 32，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得322 + 42 4 = 0，解方程即可求解 本题主要考查了二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题 10.【答案】 【解析】解：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故 A不正确； 乙地：总体均值为1，说明乙地过去10天新增疑似病例10例， 总体方差大于0，有可能存在一天
11、新增疑似病例超过7人，故 B 不正确； 中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，故 C不正确； 当总体平均数是3，若有一个数据超过7，则方差就超过3，故 D 正确， 故选： 利用平均数、中位数、方差、众数的性质直接求解 本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握，考查数据分析能力，是基础题 11.【答案】 【解析】 【分析】 本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体体积的计算知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于
12、中档题 利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合过一点有且仅有一条直线与一个平面垂直，即可判断选项 A，利用1/平面，即可判断选项 B，当截面为正六边形时，求出截面面积，即可判断选项 C，当截面位于平面1和和平面11之间时，截面为六边形，否则为三角形，即可判断选项 D 【解答】 解：在正方体中，1底面， 平面， 则1 ， 又 ，1 = ，1， 平面11， 所以 平面11， 又1 平面11， 则 1，同理可得1 1， 又/，/1， 所以1 ，1 ， 又 = ， 平面， 则1 平面， 由于1与1是异面直线，且 1， 则 1， 过一点有且仅有一条直线与一个平面垂直， 故不存在点，使得 平面， 故选项
13、A 正确； 因为1/1/，1平面， 平面， 则1/平面， 点到平面的距离为定值， 则三棱锥 的体积为定值， 故选项 B 正确； 当截面为正六边形时，其面积为(122264) 6 =33432， 故选项 C 错误； 当截面位于平面1和和平面11之间时，截面为六边形，否则为三角形， 故选项 D 正确 故选： 12.【答案】 【解析】 解： 函数() = 2 5 6, ln( 1), ， 令2 5 6 = 0，解得 = 1或 = 6， 令ln( 1) = 0，解得 = 2， 作出函数()的图象如图所示， 由图象可得，当1 10.828.(5分) 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用
14、手机支付”与年龄有关 (6分) (2)由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：( = 0) =32225232=110， ( = 1) =3121225232+32215232=25， ( = 2) =22225232+3121215232=1330， ( = 3) =22215232=115，(10分) 于是的分布列为： 0 1 2 3 110 25 1330 115 所以 = 0 110+ 1 25+ 2 1330+ 3 115=2215.(12分) 【解析】(1)利用已知条件，求解联列表中的数值，求出2，即可判断结果 (2)的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率
15、，得到分布列，然后求解期望即可 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力 19.【答案】证明：(1) 底面， ， 又 ， = ， 平面， 平面， 平面， 平面 平面 解：(2)如图，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 由(1)知 是等腰直角三角形， = 4， 设 = ( 0)，则(0,0,0)，(2,0,0)，(0,4,0)，(2,2,0)，(0,0,)， 则 = (2,0,)， = (2,2,0)， 异面直线、所成角为60， 60 =| | | |=44:222=12， 解得 = 2， = (0,2,0)， = (2,0,2)， 设平面的一
16、个法向量为 = (,)， 则 = 2 = 0 = 2 2 = 0，取 = 1，得 = (1,0,1)， 设直线和平面所成角为， 则 = |cos | =| | | |=228=12， 直线和平面所成角的正弦值为12 (3)假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为5， 设 = ，(0 1)，且(,)，则(, 2) = (2,0,2)， (2,0,2 2)，设平面的一个法向量为 = (,)， = (2,0,2 2)， = (2,2,0)， 则 = 2 + (2 2) = 0 = 2 + 2 = 0，取 = 1，得 = ( 1, 1,)， 平面的法向量 = (0,1,0)， 平面与平面
17、所成锐二面角的正切值为5， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为66， |cos | =| | | |=1;2(1;)2:2=66， 解得 =23或 = 2(舍)， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为5，为棱上靠近的三等分点 【解析】(1)推导出 ， ，从而 平面，由此能证明平面 平面 (2)以为原点， 、 、 所在直线分别为， ， 轴， 建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线和平面所成角的正弦值 (3)求出平面的一个法向量和平面的法向量， 利用向量法能求出在棱上存在一点， 使得平面与平面所成锐二面角的正切值为5，为棱上靠近的三等分点 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦
18、值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 20.【答案】解：() 抛物线：2= 2经过点(1,2)， 4 = 2，解得 = 2， 由题意，直线的斜率存在且不为0， 设过点(0,1)的直线的方程为 = + 1， 设(1,1)，(2,2) 联立方程组可得2= 4 = + 1， 消可得22+ (2 4) + 1 = 0， = (2 4)2 42 0，且 0， 解得 0) 2时， 1 1.则函数()在(0,1)，( 1,+)上单调递增，在(1, 1)上单调递
19、减 = 2时，() =(;1)22 0，函数()在(0,+)上单调递增； 1 2时，0 1 2 () + 1 0.0 0 函数()在 (0,+)上单调递增 () (0) = 0 0成立，即当0 2 () + 1 成立 【解析】(1)() = 1 +;12=(;1),;(;1)-2.( 0).对分类讨论即可得出单调性 (2) 2 () + 1 0， 0 0，即 0， 由韦达定理有1+ 2= 2212= 2 8， | = 2|，当 = 2 时， 根据直线参数方程的几何意义可知1= 22，1+ 2= 32= 2212= 222= 2 8， 解得 =136， =136 0，符合题意， 当 = 2 时根
20、据直线参数方程的几何意义可知1= 22， 1+ 2= 2= 2212= 222= 2 8解得 =94， =94 0，符合题意， 实数的值为136或94 【解析】()利用三种方程的转化方法，求曲线1的普通方程和曲线2的直角坐标方程； ()设、 两点所对应参数分别为1， 2， 联解 2= 4 = +22 = 1 +22， 得2 22 + 2 8 = 0， 由此能求出实数的值 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题 23.【答案】解：(1) 函数的定义域为， | + 2| + | 4| 0在上恒成立，即 (| + 2| + | 4|)， | + 2| + | 4| |( + 2) ( 4)| = 6， 6； (2)由(1)知 = 6，4 + 7 =16(4 + 7)(4:5+13:2) =16,( + 5) + (3 + 2)-(4:5+13:2) 32， 当且仅当 =126， =526时取等号， 4 + 7的最小值为32 【解析】(1)利用绝对值不等式的性质即可得出； (2)利用柯西不等式的性质即可得出 本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
