1、2021-2022 学年广东省阳江市八年级学年广东省阳江市八年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 20221的倒数是（ ） A. 12022 B. 12022 C. 2022 D. 2022 2. 以下冬奥会图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某种感冒病毒的直径为 0.000000823米，将 0.00000
2、0823 用科学记数法表示为（ ） A. 8.23106 B. 8.23107 C. 8.23106 D. 8.23108 4. 若分式13x有意义，则x的取值范围是（ ） A. 3x B. 3x C. 3x D. 3x 5. 如图，ABC 中 AB 边上的高是（ ） A. 线段 AD B. 线段 AC C. 线段 CD D. 线段 BC 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A a2b2（ab） （ab） B. a（xy）axay C. x22x1x（x2）1 D. （x1） （x3）x24x3 7. 如图，若ABCDEF，B、E、C、F在同一直线上，BC7，EC4，则 CF
3、的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 8. 下列运算结果正确是（ ） A. a2a4a8 B. （3b2）23b4 C. （a4）2a8 D. a6a2a3 9. 如图，在 RtABC 中，C90 ，B30 ，CD是斜边 AB上的高，AD3cm，则 AB 的长度是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 10. 将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片ab，用剪刀沿图 1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图 2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ） A. 22ab B. 22ab C. 2()ab D. 2()ab 二、填空
4、题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写到答题卡相分）请将下列各题的正确答案填写到答题卡相应的位置上应的位置上. 11. 分解因式26mm_ 12. 计算555aaa结果是_ 13. 一个正多边形的每一个内角都是 108 ，则它是正 _边形 14. 已知有一个角为 60等腰三角形的腰长为 4，则这个等腰三角形的周长为 _ 15. 化简：211xx_ 16. 如图，已知 AEBE，DE 是 AB垂线，F为 DE上一点，BF11cm，CF3cm，则 AC_ 17. 如图， 在等腰 ABC 中， AB=AC=13， BC=10，
5、D是 BC边上的中点， M、 N分别是 AD 和 AB 上的动点 则BM+MN的最小值是_ 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分）分） 18. 解方程：231xx 19. 计算： （1+a） （1a）+（a2）2 20. 如图，点 C、E、B、F 在一条直线上，ABCF 于 B，DECF 于 E，AC=DF，AB=DE求证：CE=BF 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分）分） 21. 先化简，再求值： （11a 1）21aa ，其中 a4 22. 如
6、图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在边长为 1 的正方形方格的格点上 （1）写出点 A，B，C的坐标：A_，B_，C_ （2）画出ABC关于 y轴对称的A1B1C1 （3）A1B1C1的面积为_ 23. 如图，P是MON内一点，PAOM于点 A，PBON于点 B，连接AB，PABPBA 求证：OP平分MON 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费 2000元
7、N95口罩花费 10000 元 已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N95口罩的单价少 8 元 （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元? （2）该药店计划再次购进两种口罩共 1800只，预算购进的总费用不超过 1万元，问至少购进一次外科口罩多少只? 25. 如图，以等边OAB的边 OB 所在直线为 x轴，点 O 为坐标原点，使点 A在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB 边长为 6个单位，点 P 从 O点出发沿折线 OAB向 B 点以 3单位/秒的速度向 B 点运动点Q 从 O点出发以 2 单位/秒的速度沿折线 OBA向 A 点运动，两点同时出发运动时间为 t
8、（单位：秒） ，当两点相遇时运动停止 （1）点 A 坐标为 ； （2）当 t2 时，SOPQ ；当 t3 时，SOPQ ； （3）当 t2 时，试求在 y轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出 M点的坐标，若不能找到请简单说明理由 （4）设OPQ 的面积为 S，直接写出 S关于 t的函数关系式 2021-2022 学年广东省阳江市八年级上期末数学试卷学年广东省阳江市八年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个分）在每小题列出的四个选项中，只有
9、一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 20221的倒数是（ ） A. 12022 B. 12022 C. 2022 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则求出 20221的值，然后再求出它的倒数即可 【详解】解：2022112022， 20221的倒数是：2022， 故选：C 【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数 2. 以下冬奥会图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义
10、（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得 【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意； B、不是轴对称图形，此项不符题意； C、是轴对称图形，此项符合题意； D、不是轴对称图形，此项不符题意； 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键 3. 已知某种感冒病毒的直径为 0.000000823米，将 0.000000823 用科学记数法表示为（ ） A. 8.23106 B. 8.23107 C. 8.23106 D. 8.23108 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式
11、为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【详解】解：0.0000008238.23107 故选：B 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4. 若分式13x有意义，则x的取值范围是（ ） A. 3x B. 3x C. 3x D. 3x 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为 0 【详解】解：分式13x有意义， x-30， x3； 故选：D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当
12、分母不为 0 时，分式有意义 5. 如图，ABC 中 AB 边上高是（ ） A 线段 AD B. 线段 AC C. 线段 CD D. 线段 BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断 【详解】解：ABC 中 AB 边上的高是线段 CD 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a2b2（ab） （ab） B. a（xy）axay C. x22x1x（x2）1 D. （x1） （x3）x24
13、x3 【答案】A 【解析】 【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做分解因式 根据因式分解的定义逐一判断即可得答案 【详解】A、a2b2（ab） （ab） ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意； B、a（xy）axay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、x22x1x（x2）1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、 （x1） （x3）x24x3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成
14、几个整式的积的形式，叫因式分解；熟练掌握定义是解题关键 7. 如图，若ABCDEF，B、E、C、F在同一直线上，BC7，EC4，则 CF的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出 EF，结合图形计算，得到答案 【详解】解：ABCDEF，BC7， EFBC7， CFEFEC3， 故选：B 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键 8. 下列运算结果正确的是（ ） A. a2a4a8 B. （3b2）23b4 C. （a4）2a8 D. a6a2a3 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除
15、法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解 【详解】解：A、a2a4a6，故本选项错误； B、 （3b2）29b4，故本选项错误； C、 （a4）2a8，故本选项正确； D、a6a2a4，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题 9. 如图，在 RtABC 中，C90 ，B30 ，CD是斜边 AB上的高，AD3cm，则 AB 的长度是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出ACD30 ，然
16、后根据 30 所对的直角边等于斜边的一半解答 【详解】解：在 RtABC中， CD是斜边 AB上的高， ADC90 ， ACDB30 （同角的余角相等） ， AD3cm， 在 RtACD 中，AC2AD6cm， 在 RtABC 中，AB2AC12cm AB 的长度是 12cm 故选：D 【点睛】本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，同角的余角相等，熟知含 30度角的直角三角形的性质是解题的关键 10. 将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片ab，用剪刀沿图 1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图 2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ） A. 22ab
17、 B. 22ab C. 2()ab D. 2()ab 【答案】D 【解析】 【分析】由图 1 得，一个小长方形的长为 a，宽为 b，由图 2 得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4 个小长方形的面积，代入计算 【详解】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4 个小长方形的面积， =（a+b）2-4ab， =a2+2ab+b2-4ab， =（a-b）2 故选：D 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写到答题卡相分）请将下
18、列各题的正确答案填写到答题卡相应的位置上应的位置上. 11. 分解因式26mm_ 【答案】(6)m m 【解析】 【分析】直接提取公因式 m，进而分解因式得出答案 【详解】解：26mm =m（m+6） 故答案为：m（m+6） 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 12. 计算555aaa的结果是_ 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【详解】解：原式5=51aa 故答案为 1 【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 13. 一个正多边形的每一个内角都是 108 ，则它是正 _边形 【答案】
19、5 【解析】 【分析】首先设这个正多边形的边数为 n，根据多边形内角和公式：180 （n-2） ，列出方程进行计算即可 【详解】解：设这个正多边形的边数为 n，由题意得： （n-2） 180=108n 解得：n=5 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和公式 14. 已知有一个角为 60的等腰三角形的腰长为 4，则这个等腰三角形的周长为 _ 【答案】12 【解析】 【分析】先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可 【详解】解：有一个角为 60的等腰三角形的腰长为 4， 这个等腰三角形是等边三角形，边长为 4， 它的周长为 34=12， 故答案为：12 【
20、点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 15. 化简：211xx_ 【答案】x1 【解析】 【分析】将分子分母分解因式，然后约分即可 【详解】解：211111xxxxx x1 故答案为：x1 【点睛】本题考查了分式的约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分 16. 如图，已知 AEBE，DE 是 AB 的垂线，F 为 DE 上一点，BF11cm，CF3cm，则 AC_ 【答案】14cm 【解析】 【分析】由 AEBE，DE是 AB的垂线得出 DE是 AB 的中线，
21、进而可得 DE是 AB的垂直平分线，由此即可得到 AFBF，再根据线段的和差即可得解 【详解】解：AEBE，DE 是 AB 的垂线， DE是 AB的中线， DE是 AB的垂直平分线， F为 DE 上一点， AFBF， ACAF+CFBF+CF， BF11cm，CF3cm， AC14cm， 故答案为：14cm 【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质是解此题的关键 17. 如图， 在等腰ABC中， AB=AC=13， BC=10， D是 BC边上的中点， M、 N分别是 AD 和 AB 上的动点 则BM+MN的最小值是_ 【答案
22、】12013 【解析】 【分析】作 BHAC，垂足为 H，交 AD于 M点，过 M点作 MNAB，垂足为 N，然后根据轴对称的性质可知 BM+MN为所求的最小值 【详解】解：如图，作 BHAC，垂足为 H，交 AD于 M点，过 M点作 MNAB，垂足为 N，则 BM+MN为所求的最小值 AB=AC，D是 BC边上的中点， AD是BAC的平分线， MH=MN， BH是点 B到直线 AC的最短距离（垂线段最短） ， AB=AC=13，BC=10，D是 BC边上的中点， ADBC， AD=12， SABC=12AC BH=12BC AD， 13 BH=10 12， 解得：BH=12013； 故答案为
23、12013 【点睛】本题主要轴对称-最短路线问题及角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及角平分线的性质定理是解题的关键 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分）分） 18. 解方程：231xx 【答案】2x 【解析】 【分析】方程两边同时乘以(1)x x ，解得2x ，验根即可 【详解】解：231xx， 213xx， 2x ， 经检验：2x 为原方程根 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对根进行检验时解题的关键 19. 计算： （1+a） （1a）+（a2）2 【答案】54a 【解析】 【分析】根
24、据平方差公式以及完全平方公式计算即可 【详解】解：原式22144aaa 22144aaa 5 4a 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键 20. 如图，点 C、E、B、F 在一条直线上，ABCF 于 B，DECF 于 E，AC=DF，AB=DE求证：CE=BF 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得 RtABCRtDEF（HL） ，则 BC=EF，即 CE=BF 【详解】证明：ABCD，DECF， ABC=DEF=90 在 RtABC和 RtDEF中， ， RtABCRtDEF（HL） BC=EF BCBE=EFBE 即：
25、CE=BF 【点睛】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（直角三角形） 判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分）分） 21. 先化简，再求值： （11a 1）21aa ，其中 a4 【答案】a1，3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【详解】解： （11a 1）21aa 11 (1)(1
26、)1aaaaa 11a aa a1， 当 a4 时，原式413 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算 22. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在边长为 1 的正方形方格的格点上 （1）写出点 A，B，C的坐标：A_，B_，C_ （2）画出ABC关于 y轴对称A1B1C1 （3）A1B1C1的面积为_ 【答案】 （1） （1，3） ， （2，0） ， （3，1） ； （2）见解析； （3）9 【解析】 【分析】 （1）利用点的坐标的表示方法求解； （2）先根据关于 y轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点
27、即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算A1B1C1的面积 【详解】 （1）A（1，3） ，B（2，0） ，C（3，1） ； （2）如图，A1B1C1为所作； （3）A1B1C1的面积4 512 4 212 3 312 5 19 故答案为（1，3） ， （2，0） ， （3，1） ；9 【点睛】 本题考查了作图-轴对称变换： 几何图形都可看做是由点组成， 我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的 23. 如图，P是MON内一点，PAOM于点 A，PBON于点 B，连接AB，PABPBA 求证：OP平分MON 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根
28、据“等角对等边”得出 PA=PB，再结合角平分线的判定定理即可证明 【详解】解PABPBA ， PAPB PAOM于点 A，PBON于点 B， P在MON的角平分线上， OP平分MON 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，等腰三角形等角对等边掌握在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费 2000元 N95口罩花费 10
29、000 元 已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N95口罩的单价少 8 元 （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元? （2）该药店计划再次购进两种口罩共 1800只，预算购进的总费用不超过 1万元，问至少购进一次外科口罩多少只? 【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是 2元，N95 口罩的单价是 10 元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只 【解析】 【分析】(1)可设一次性医用外科口罩的单价是 x 元，则 N95 口罩的单价是(x+8)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解； (2)可设购进一次性医用外科口罩 y只，根据购进的总费用不
30、超过 1 万元，列出不等式即可求解 【详解】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是 x元，则 N95口罩的单价是(x+8)元， 由题意可知：2000100008xx=+， 解得：2x ， 经检验，2x 是原方程的解， x+8=2+8=10， 故一次性医用外科口罩的单价是 2元，N95口罩的单价是 10 元； (2)设购进一次性医用外科口罩 y 只，依题意有 2y+10(1800-y)10000， 解得 y1000， 故至少购进一次性医用外科口罩 1000只 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键 25. 如图，以等边
31、OAB的边 OB 所在直线为 x轴，点 O 为坐标原点，使点 A在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB 边长为 6个单位，点 P 从 O点出发沿折线 OAB向 B 点以 3单位/秒的速度向 B 点运动点Q 从 O点出发以 2 单位/秒的速度沿折线 OBA向 A 点运动，两点同时出发运动时间为 t（单位：秒） ，当两点相遇时运动停止 （1）点 A 坐标为 ； （2）当 t2 时，SOPQ ；当 t3 时，SOPQ ； （3）当 t2 时，试求在 y轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q为顶点三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出 M点的坐标，若不能找到请简单说明理由 （4）设OPQ 的面积为
32、S，直接写出 S关于 t的函数关系式 【答案】 （1） （3，33） （2）63；9 32 （3）点 M 的坐标为（0，3319）或（0，3319）或（0，10 39）或（0，23）或（0，23） （4）S223 30223 36 323215 31827 3 325ttttttt 【解析】 【分析】 （1）过点 A作 ADx 轴于点 D，过 P、Q的交点作 PCx轴于点 C，由AOB为等边三角形，OAB边长为 6 个单位，可求出 AD、OD 的长度，从而得出点 A的坐标； （2）当 t2时，点 P运动到了 A 点处，OQ4，结合三角形面积公式即可得出此时 SOPQ的值；当 t3时，点 Q 运
33、动到了 B 点处，AP33OA3，结合三角形的面积公式即可得出此时 SOPQ的值； （3）假设存在，找出此时 P、Q 点的坐标，设 M点的坐标为（0，m） ，结合两点间的距离公式列出关于 m的一元二次方程，解方程即可得出结论； （4）结合的运动情况，分两段来考虑 S，结合三角形的面积公式即可得出 S 关于 t 的函数关系式 【小问 1 详解】 解：过点 A作 ADx轴于点 D，如图 1 所示 AOB为等边三角形，OAB 边长为 6个单位， ADOAsin6033，AD12OB3， 点 A的坐标为（3，33） ； 故答案为： （3，33） ； 【小问 2 详解】 依照题意画出图形，如图 2 所示
34、 当 t2 时，点 P运动到了 A 点处，OQ4， SOPQ12OAOQsinAOQ12643263； 当 t3 时，点 Q运动到了 B 点处，AP33OA3， OAB为等边三角形，且 AB6， 此时 P 点为线段 AB的中点， OPAB，且POB12AOB30， OPOBsinABO33， SOPQ12OPOBsinPOB1233619 322 故答案为：63；9 32； 【小问 3 详解】 假设存在，当 t2 时，点 P 坐标为（3，33） ，点 Q的坐标为（4，0） ，设点 M的坐标为（0，m） 根据两点间的距离公式可知：PQ22(4 3)(0 3 3)27，PM22(0 3)(3 3)
35、m，QM22(04)m， 以 M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况： 当 PQPM 时，即 9+（m33）228， 解得：m3319，或 m3319；此时点 M 的坐标为（0，3319）或（0，3319） ； 当 PMQM时，即 16+m29+（m33）2， 解得：m10 39，此时点 M 的坐标为（0，10 39） ； 当 PQQM 时，即 2816+m2， 解得：m23，此时点 M的坐标为（0，23）或（0，23） ， 故当 t2 时， 在 y 轴上能找到一点 M， 使得以 M、P、 Q为顶点的三角形是等腰三角形， 点 M的坐标为 （0，3319）或（0，3319）或（0，10
36、39）或（0，23）或（0，23） ； 【小问 4 详解】 当 0t2 时，P 在线段 OA上，Q在线段 OB 上； S12OQOPsin60123t2t33 322t2； 当 2t3 时，P 在线段 AB上，Q在线段 OB 上； 设 OQ边上的高为 h，12363 3ht，解得 h63 332t， S12OQh122t（63 332t）3 32 t2+63t； 当 3t185时，P、Q 都在线段 AB上， PQ6（3t6）（2t6）185t， S1233（185t）1532 t+273； 故：S223 30223 36 323215 31827 3 325ttttttt 【点睛】本题考查了三角形的综合题，解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是：在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；套用面积公式求面积； 分段寻找 S关于 t的函数关系式； 由两点间的距离公式结合勾股定理列出关于 m 的一元二次方程本题属于难题
