1、2021-2022 学年江苏省盐城市滨海县九年级上学年江苏省盐城市滨海县九年级上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）函数 y（x+1）23 的最小值是（ ） A1 B1 C3 D3 2 （3 分）已知 3a4b（ab0） ，则下列各式正确的是（ ） A=43 B=34 C3=4 D3=4 3
2、（3 分）已知关于 x 的方程 x2kx60 的一个根为 x3，则实数 k 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 4 （3 分）若抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3） ，则 c2b 的值是（ ） A7 B1 C2 D3 5 （3 分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛有同学预测“小东夺冠的可能性是 80%” ，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A小东夺冠的可能性较大 B如果小东和他的对手比赛 10 局，他一定会赢 8 局 C小东夺冠的可能性较小 D小东肯定会赢 6 （3 分）由下表： x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2+bx+c 0.03 0.01 0.0
3、4 0.1 可知方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）一个根（精确到 0.01）的范围是（ ） A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.20 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，ABC30，AC4，则O 的半径为（ ） A4 B8 C23 D43 8 （3 分）如图，以点 O 为圆心作圆，所得的圆与直线 a 相切的是（ ） A以 OA 为半径的圆 B以 OB 为半径的圆 C以 OC 为半径的圆 D以 OD 为半径的圆 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写
4、出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）相应位置上） 9 （3 分）二次函数 y3x2+2x3 图象的开口方向是 10 （3 分）一元二次方程 x23x0 的解是 11 （3 分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10 次射击成绩的平均数都是 8 环，方差分别为 S甲21.4，S乙20.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 12 （3 分）实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，则多项式 mnmn 的值为 13（3分） 将抛物线y2x21向右平移3个单位， 再向上平移3个单位， 所得的抛物线的解析式为
5、 14 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，AOC120，则CDB 15 （3 分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部 5m 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退 1m 时，正好在镜中看见树的顶端小英估计自己的眼睛到地面的距离为 1.6m，则大树的高度是 m 16 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF 与DCF 的面积比为 17 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若AD，CD3，则图中阴影部分
6、的面积为 18 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，O 的半径为 1若O 在正方形 ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切） ，则点 A 到O 上的点的距离的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点坐标分别为 A（2，1） 、O（0，0） 、B（1，2） （1）AOB 向左平移 3 个单位，向上平移 1 个单位，请画出平移后的A1O1B1；
7、（2）以点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出AOB 的一个位似A2OB2，使它与AOB 的相似比为 2：1； （3）若A2OB2与A1O1B1是关于某一点 Q 为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心 Q，并写出点 Q 的 坐标 20 （10 分）如图，在 RtABC 和 RtACD 中，BACD90，AC 平分BAD （1）证明：ABCACD； （2）若 AB4，AC5，求 CD 的长 21 （10 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，
8、5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的 a ，b ； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ； （3）若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数 22 （10 分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A转移注意力，B合理宣泄，C自我暗示，D放松训练 （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ； （2）若小如和小意每人先后随
9、机抽取一个锦囊（取走后不放回） ，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率 23 （10 分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为 10m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开已知整个隔离区塑料膜总长为 24m，如果隔离区出入口的大小不计， 并且隔离区靠墙的面不能超过墙长， 设垂直于墙的一边为 xm， 隔离区面积为 Sm2 （1）求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）求隔离区面积的最大值 24 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D
10、，连接 BD，CD，过点 D 作O 的切线与 AC 的延长线交于点 P （1）求证：DPBC； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 25 （12 分）某游乐场的圆形喷水池中心 O 有一雕塑 OA，从 A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为 x 轴，点 O 为原点建立直角坐标系，点 A 在 y 轴上，x 轴上的点 C，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y= 16（x5）2+6 （1）求雕塑高 OA （2）求落水点 C，D 之间的距离 （3）若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，
11、OE10m，EF1.8m，EFOD问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通过计算说明 26 （12 分）在ABC 中，ACB90，AC8，BC6 （1）如图 1，点 D 为 AC 上一点，DEBC 交 AB 边于点 E，若=116，求 AD 及 DE 的长； （2） 如图 2， 折叠ABC， 使点 A 落在 BC 边上的点 H 处， 折痕分别交 AC、 AB 于点 G、 F， 且 FHAC 求证：四边形 AGHF 是菱形； 求菱形的边长； （3）在（1） （2）的条件下，线段 CD 上是否存在点 P，使得CPHDPE？若存在，求出 PD 的长；若不存在，请说明理由 27 （14 分）如图，二次函数
12、yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为 OC 的中点 （1）求二次函数的表达式； （2）若点 E 为直线 BC 上方抛物线上一点，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，EH 与 BC、BD 分别交于点F、G 两点，设点 E 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 EF 的长度； 若 EFFG，求此时点 E 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使CPB90，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年江苏省盐城市滨海县九年级上学年江苏省盐城市滨海县九年级上期末数学试卷期末数学
13、试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）函数 y（x+1）23 的最小值是（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】利用二次函数顶点式求函数的最小值即可 【解答】解：a10， 当 x1 时，y 的最小值是3， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解
14、题关键 2 （3 分）已知 3a4b（ab0） ，则下列各式正确的是（ ） A=43 B=34 C3=4 D3=4 【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解 【解答】解：A、由=43可得 3a4b，故选项正确； B、由=34可得 4a3b，故选项错误； C、由3=4可得 4a3b，故选项错误； D、由3=4可得 ab3412，故选项错误 故选：A 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 3 （3 分）已知关于 x 的方程 x2kx60 的一个根为 x3，则实数 k 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数
15、的值，利用方程解的定义就可以得到关于 k 的方程，从而求得 k 的值 【解答】解：把 x3 代入方程得：9+3k60， 解得 k1 故选：B 【点评】本题主要考查了方程的解的定义就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 4 （3 分）若抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3） ，则 c2b 的值是（ ） A7 B1 C2 D3 【分析】把（2，3）代入 yx2+bx+c 可得2b+c7，再将所求的式子变形，即可求出答案 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3） ， （2）22b+c3， 整理得，2b+c7， 即 c2b7 故选：A 【点评】本题
16、主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式 5 （3 分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛有同学预测“小东夺冠的可能性是 80%” ，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A小东夺冠的可能性较大 B如果小东和他的对手比赛 10 局，他一定会赢 8 局 C小东夺冠的可能性较小 D小东肯定会赢 【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案 【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是 80%，结合概率的意义， A、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确； B、李东和他的对手比赛 10 局时，他可能赢 8
17、局，故本选项错误； C、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误； D、李东可能会赢，故本选项错误 故选：A 【点评】本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小，难度较小 6 （3 分）由下表： x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2+bx+c 0.03 0.01 0.04 0.1 可知方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）一个根（精确到 0.01）的范围是（ ） A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.20 【分析】由表格可发现 y 的值0.01 和 0.04 最接近 0，再看对应的 x 的值即可得 【解答】解：由表
18、可以看出，当 x 取 6.18 与 6.19 之间的某个数时，y0，即这个数是 ax2+bx+c0 的一个根 ax2+bx+c0 的一个解 x 的取值范围为 6.18x6.19 故选：C 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，ABC30，AC4，则O 的半径为（ ） A4 B8 C23 D43 【分析】利用直角三角形 30 度角的性质解决问题即可 【解答】解：AB 是直径， C90， ABC30， AB2AC8， OAOB4， 故选：A 【点评】本题考查直角三角形
19、 30 度角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 8 （3 分）如图，以点 O 为圆心作圆，所得的圆与直线 a 相切的是（ ） A以 OA 为半径的圆 B以 OB 为半径的圆 C以 OC 为半径的圆 D以 OD 为半径的圆 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解：ODa 于 D， 以点 O 为圆心，OD 为半径的圆与直线 a 相切 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d若直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切dr；直线 l 和O 相离dr 二
20、、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）相应位置上） 9 （3 分）二次函数 y3x2+2x3 图象的开口方向是 向下 【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数 a30，可知抛物线开口向下 【解答】解：二次函数 y3x2+2x3 的二次项系数 a30， 抛物线开口向下 故答案为：向下 【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系当 a0 时，抛物线开口向上，当 a0 时，抛物线开口向下 10 （3 分）一元二次方程 x23x0 的
21、解是 x10，x23 【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解 【解答】解：x23x0， x（x3）0， x10，x23 故答案为：x10，x23 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解 11 （3 分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10 次射击成绩的平均数都是 8 环，方差分别为 S甲21.4，S乙20.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ） 【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案 【解答】解：S甲21.4，S乙20.6， S甲2S乙2， 两
22、人射击成绩比较稳定的是乙 故答案为：乙 【点评】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定 12 （3 分）实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，则多项式 mnmn 的值为 1 【分析】由实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，利用根与系数的关系可得出（m+n） ，mn的值，再将其代入 mnmnmn（m+n）中即可求出结论 【解答】解：实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，a1，b3，c2， m+n
23、= =3，mn=2， mnmnmn（m+n）231 故答案为：1 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键 13 （3 分）将抛物线 y2x21 向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的解析式为 y2（x3）2+2 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可 【解答】解：抛物线 y2x21 的顶点坐标为（0，1） ， 先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，2） ， 所以，平移后的抛物线的解析式为 y2（x3）2+2 故答案为：y2（x3）2+2 【点评】本题考查了二次函
24、数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并根据规律利用点的变化确定函数解析式 14 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，AOC120，则CDB 30 【分析】先利用邻补角计算出BOC，然后根据圆周角定理得到CDB 的度数 【解答】解：BOC180AOC18012060， CDB=12BOC30 故答案为 30 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 15 （3 分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部 5m 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，
25、当她后退 1m 时，正好在镜中看见树的顶端小英估计自己的眼睛到地面的距离为 1.6m，则大树的高度是 8 m 【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高 【解答】解：ABCDBE，ACBDEB90， ABCDBE， BC：BEAC：DE， 即 1：51.6：DE， DE8（m） ， 故答案为：8 【点评】本题考查相似三角形性质的应用解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题 16 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF 与DCF 的面积比
26、为 1：4 【分析】先根据平行四边形的性质得 ABCD，ABCD，而 E 是 AB 的中点，BE=12AB=12CD，再证明BEFDCF，然后根据相似三角形的性质可计算BEF 与DCF 的面积比 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ABCD， E 是 AB 的中点， BE=12AB=12CD； BECD， BEFDCF， BEF 与DCF 的面积比= ()2=14， 故答案为：1：4 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形
27、；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长 17 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若AD，CD3，则图中阴影部分的面积为 33;2 【分析】连接 OC，可求得OCD 和扇形 OCB 的面积，进而可求出图中阴影部分的面积 【解答】解：连接 OC， 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D， OCCD， OCD90， 即D+COD90， AOCO， AACO， COD2A， AD， COD2D， 3D90， D30， COD60 CD3， OC333= 3， 阴影部分的面积=123 3 603360=332， 故答案
28、为：33;2 【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键求出D30是解题的突破口 18 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，O 的半径为 1若O 在正方形 ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切） ，则点 A 到O 上的点的距离的最大值为 52 +1 【分析】当O 与 CB、CD 相切于点 E，F 时，点 A 到O 上的点 Q 的距离最大，如图，连接 OE，OF，根据切线的性质得到 OEOF1，利用正方形的性质得到点 O 在 AC 上，然后计算出 AQ 的长即可 【解答】解：当O 与 CB、CD 相切于点 E，F 时，点 A 到O
29、上的点 Q 的距离最大，如图，连接 OE，OF， OEBC，OFCD，OEOF1， OC 平分BCD， 四边形 ABCD 为正方形， 点 O 在 AC 上， AC= 2BC62，OC= 2OE= 2， AQOA+OQ62 2 +152 +1， 即点 A 到O 上的点的距离的最大值为 52 +1， 故答案为：52 +1 【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，利用切线的性质得到 OEBC，OFCD 是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
30、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点坐标分别为 A（2，1） 、O（0，0） 、B（1，2） （1）AOB 向左平移 3 个单位，向上平移 1 个单位，请画出平移后的A1O1B1； （2）以点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出AOB 的一个位似A2OB2，使它与AOB 的相似比为 2：1； （3）若A2OB2与A1O1B1是关于某一点 Q 为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心 Q，并写出点 Q 的 坐标 【分析】 （1）将三个顶点分别向左平移 3 个单位，向上平移 1 个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）延长 OA、O
31、B 到 A1、B1，使 OA22OA，OB22OB，与点 O 首尾顺次连接即可； （3）直线 A1A2、OO1、B1B2的交点即为所求 【解答】解： （1）如图所示，A1O1B1即为所求 （2）如图所示，A2OB2即为所求 （3）如图所示，点 Q 即为所求，其坐标为（6，2） 【点评】本题主要考查作图平移变换、位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质 20 （10 分）如图，在 RtABC 和 RtACD 中，BACD90，AC 平分BAD （1）证明：ABCACD； （2）若 AB4，AC5，求 CD 的长 【分析】 （1）根据 AC 平分BAD，可得BACDAC进而可以解决
32、问题； （2）根据勾股定理首先求出 BC3，再根据ABCACD，对应边成比例即可解决问题 【解答】 （1）证明：AC 平分BAD， BACDAC BACD90， ABCACD （2）解：在 RtABC 中，B90， AB4，AC5， = 2 2= 3， ABCACD， = 45=3， =154 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到ABCACD 21 （10 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以
33、上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的 a 4 ，b 5 ； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ； （3）若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数 【分析】 （1）由题中的数据即可求解； （2）根据中位数、众数的定义，即可解答； （3）根据样本估计总体，即可解答 【解答】解： （1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得：a4，b5， 故答案为：4，5； （2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
34、 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， 4 出现的最多，有 6 次， 众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数4:42=4， 故答案为：4，4； （3）300620=90（人） 答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人 【点评】此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，众数是一组数据中出现次数最多的数 22 （10 分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不
35、透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A转移注意力，B合理宣泄，C自我暗示，D放松训练 （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 14 ； （2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回） ，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有 6 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是14， 故答案为：14； （2）画树状图如图： 共有 12 种等
36、可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有 6 种， 小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为612=12 【点评】此题考查利用树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23 （10 分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为 10m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开已知整个隔离区塑料膜总长为 24m，如果隔离区出入口的大小不计， 并且隔离区靠墙的面不能超过墙长， 设垂直于墙的一边为 xm， 隔离区面积为 Sm2 （1）求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）求隔离区面积的最大值 【分析
37、】 （1）垂直于墙的一边为 xm，则隔离区的另一边为（243x）m，得 Sx（243x） ，化简得 S3x2+24x，根据题意，得不等式组24 3 1024 30，解不等式组即可； （2）S3x2+24x3（x4）2+48，根据开口，对称轴，取值范围确定增减性，即可求解 【解答】解： （1）垂直于墙的一边为 xm，则隔离区的另一边为（243x）m， Sx（243x） ，化简得 S3x2+24x， 根据题意，得不等式组24 3 1024 30， 解得：143x8， S 关于 x 的函数解析式 S3x2+24x，x 的取值范围：143x8； （2）S3x2+24x3（x4）2+48， 该抛物线开口
38、向下，对称轴为直线 x4， 当143x8 时，S 随 x 的增大而减小， 当 x=143时，S 的值最大，最大值3（143）2+24143=4623， 答：隔离区面积最大值为 4623m2 【点评】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 24 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD，CD，过点 D 作O 的切线与 AC 的延长线交于点 P （1）求证：DPBC； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 【分析】 （1）连接 OD，
39、由BAC 是直径所对的圆周角，可知BAC90，再由 AD 是BAC 的平分线，可得BAD45，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得BOD90，再由切线 DPOD，可证 DPBC； （2）由（1）DPBC，得ACBP，再由同弧所对圆周角相等，得ACBADB，进而得到PADB，又由ODC45，CDP45，即可证明ABDDCP； （3）由已知可求 BC13cm，在 RtCOD 中，CD=1322，在 RtBOD 中，BD=1322，再由ABDDCP，可得=，即可求 CP=16910 【解答】解： （1）连接 OD， DP 是O 的切线， DODP， AD 是BAC 的平分线， BADCAD， =
40、 ， BC 是圆的直径， BAC90， BAD45， BOD90， ODBC， DPBC； （2）DPBC， ACBP， = ， ACBADB， PADB， ODOC， ODC45， CDP45， ABDDCP； （3）AB5cm，AC12cm，BAC90， BC13cm， 在 RtCOD 中，CD=1322， 在 RtBOD 中，BD=1322， ABDDCP， =， 51322=1322， CP=16910 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键 25 （12 分）某游乐场的圆形喷水池中心 O 有一
41、雕塑 OA，从 A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为 x 轴，点 O 为原点建立直角坐标系，点 A 在 y 轴上，x 轴上的点 C，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y= 16（x5）2+6 （1）求雕塑高 OA （2）求落水点 C，D 之间的距离 （3）若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，OE10m，EF1.8m，EFOD问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通过计算说明 【分析】 （1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标，进而可得出雕塑高 OA 的值； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标
42、，进而可得出 OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出 OC 的长，结合 CDOC+OD 即可求出落水点 C，D 之间的距离； （3）代入 x10 求出 y 值，进而可得出点（10，116）在抛物线 y= 16（x5）2+6 上，将116与 1.8 比较后即可得出顶部 F 不会碰到水柱 【解答】解： （1）当 x0 时，y= 16（05）2+6=116， 点 A 的坐标为（0，116） ， 雕塑高116m （2）当 y0 时，16（x5）2+60， 解得：x11（舍去） ，x211， 点 D 的坐标为（11，0） ， OD11m 从 A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同
43、， OCOD11m， CDOC+OD22m （3）当 x10 时，y= 16（105）2+6=116， 点（10，116）在抛物线 y= 16（x5）2+6 上 又1161.831.8， 顶部 F 不会碰到水柱 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点 D 的坐标； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为 10 的点的坐标 26 （12 分）在ABC 中，ACB90，AC8，BC6 （1）如图 1，点 D 为 AC 上一点，DEBC 交 AB 边于点 E，若=11
44、6，求 AD 及 DE 的长； （2） 如图 2， 折叠ABC， 使点 A 落在 BC 边上的点 H 处， 折痕分别交 AC、 AB 于点 G、 F， 且 FHAC 求证：四边形 AGHF 是菱形； 求菱形的边长； （3）在（1） （2）的条件下，线段 CD 上是否存在点 P，使得CPHDPE？若存在，求出 PD 的长；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由ADEABC，可求相似比为14，即可求 AD，DE 的长； （2）根据折叠的性质和平行线的性质，证明 AGAFFHHG，即可求解； 由FBHABC， 可得BH： FH： BF3： 4： 5， 设BH3a， 则FHAF4a， BF5a， 求
45、得 =109， 在求FH即可； （3）由CPHDPE，可求 BH，CH，再由=，即可求 =5425 【解答】解： （1）DEBC， ADEABC， = ()2= ()2=116， 8=6=14， AD2， =32； （2）由翻折不变性可知： AFFH，AGGH， AFGGFH， FHAC， AGFGFH， AGFAFG， AGAF， AGAFFHHG， 四边形 AGHF 是菱形； FHAC， FBHABC， =， 又BC6，AC8，AB10， BH：FH：BF3：4：5， 设 BH3a，则 FHAF4a，BF5a， 4 a+5a10， =109， FH= 4 109=409， 即菱形的边长为4
46、09； （3）在点 P 使得CPHDPE，理由如下： CPHDPE， =， BH= 3 = 3 109=103， CH= 6 103=83， 6;83=32， =5425 【点评】本题是相似的综合题，熟练掌握三角形相似的判定与性质，菱形的判定及性质是解题的关键 27 （14 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为 OC 的中点 （1）求二次函数的表达式； （2）若点 E 为直线 BC 上方抛物线上一点，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，EH 与 BC、BD 分别交于点F、G 两点，设点 E 的横坐标为
47、 m 用含 m 的代数式表示线段 EF 的长度； 若 EFFG，求此时点 E 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使CPB90，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用交点式可直接求得二次函数解析式； （2）先求出直线 BC 的表达式，设点 E 的坐标为（m，m2+2m+3） ，可表达点 F 的坐标，上减下可表达 EF 的长； 先求出直线 BD 的表达式，可表达点 G 的坐标，进而表达线段 FG 的长，利用等式建立方程，求解即可； （3）先得出抛物线的对称轴为直线 x1，取 BC 的中点为 M，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，MBMP，由
48、此建立方程，求解即可 【解答】解： （1）yx2+bx+c 与 x 轴交于点（1，0） ， （3，0）两点， 抛物线的表达式为：y（x+1） （x3） ， 即 yx2+2x+3 （2）由题意知：C（0，3） ，B（3，0） ， 直线 BC 的表达式为：yx+3， E（m，m2+2m+3） ， F（m，m+3） ， EFm2+3m D 为 OC 的中点， C（0，3） ， D（0，32)， 又B（3，0） ， 设 BD 的表达式为：ykx+b， 23= 0 = 3 + ， = 12 =32， = 12 +32， G（m，12 +32)， FG= + 3 +12 32= 12 +32， EFFG， 2+ 3 = 12 +32， m13（舍去） ，2=12， E（12，154） （3）A（1，0） ，B（3，0） ， 对称轴为：直线 x1， 设 P（1，a） ， CPB90， B（3，0） ，C（0，3） ， BC 的中点 M（32，32） ， 则 MBMP， (3 32)2+ (0 32)2= (1 32)2+ ( 32)2， a23a20， 1=3+172，2=3172， 1(1，3+172)，2(1，3172) 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，得出 MBMP 是解决（3）的关键
