1、江苏省南京市秦淮区江苏省南京市秦淮区 2020-2021 学年七年级下期末数学试题学年七年级下期末数学试题 （满分：（满分：100分分 考试时间：考试时间：100 分钟）分钟） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置答题卷相应位置上）上） 1. 下列计算正确的是( ) A. a2a3a5 B. a2 a3a6 C. (a2)3a6 D. a6 a2a3
2、 2. 新型冠状病毒感染肺炎疫情是人类史上的一个灾难据研究，这种病毒的直径约为 120 nm（1 nm109 m） ，用科学记数法表示 120 nm应为（ ） A 1.2109 m B. 12109 m C. 0.121010 m D. 1.2107 m 3. 如图，直线 l1l2，1136 ，则2的度数是（ ） A 44 B. 46 C. 54 D. 64 4. 若三角形的两边 a、b的长分别为 3和 4，则其第三边 c的取值范围是（ ） A. 3c4 B. 2c6 C. 1c7 D. 1c7 5. 分解因式 2a2（xy）2b2（yx）的结果是（ ） A. （2a22b2） （xy） B.
3、 （2a22b2） （xy） C. 2（a2b2） （xy） D. 2（ab） （ab） （xy） 6. 已知命题“若 a b，则 ac bc”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 7. 某文具店销售硬面抄和软面抄两种类型的本子，下表记录了某一星期四天的销售情况经过核算，其中有一天的两类本子销售总额记录有误，则记录有误的一天是（ ） 硬面抄（本） 软面抄（本） 两类本子销售总额（元） 星期一 10 15 160 星期二 12 18 192 星期三 14 21
4、224 星期四 16 24 260 A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 8. 如图，已知 D、E分别为ABC的边 BC、AC的中点，连接 AD、DE，AF为ADE的中线若四边形ABDF 的面积为 10，则ABC 的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.请把答案填写在请把答案填写在答题卷相应位置答题卷相应位置上）上） 9. 计算223xxy 的结果是_ 10. 已知关于 x、y的二元一次方程 2xay10 的一个解是61xy，则 a_ 11. 分解因
5、式 a210a25的结果是_ 12. 关于 x 的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是_ （写出一个符合要求的不等式即可） 13. 结合下图， 用符号语言表达定理“同旁内角互补， 两直线平行”的推理形式： _， ab 14. 如果一个多边形的内角和为 1440，则这个多边形的边数为_ 15. 已知：am2，an3，则 a2mn_ 16. 若（xa） （x2）x2bx6，则 ab_ 17. 若 ab2，a2b26，则 a2b2_ 18. 如图，EAD和DCF 是四边形 ABCD的外角，EAD 的平分线 AG和DCF 的平分线 CG 相交于点G若Bm ，Dn ，则G_ （
6、用含 m、n 的代数式表示） 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 9 小题， 共小题， 共 64 分分.请在请在答题卷指定区域内答题卷指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、作答， 解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）说理过程或演算步骤） 19. 计算：2021( )2021( 2)2 20. 解方程组34620 xyxy 21. 先化简，再求值： （3ab） （ b3a）（3ab）2，其中 a2，b1 22. 解不等式组12 13( 1) + 1，并写出不等式组的整数解 23. 如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，DEAC （1）求证ADEADF； （2）若BC98
7、，则EDF 24. 用两种方法证明“三角形的外角和等于 360 ”如图，BAE、FBC、DCA 是ABC的三个外角 求证BAEFBCDCA360 （1）第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： （2）根据第二种思路，完成证明 25. 美术小组准备到文具店购买铅笔和橡皮已知 1 支铅笔批发价比零售价低 0.2 元，1块橡皮的批发价比零售价低 0.3 元如果购买 60 支铅笔和 30 块橡皮，那么都需按零售价购买，共支付 105 元；如果购买 90支铅笔和 60块橡皮，那么都需按批发价购买，共支付 144 元；那么有以下两种购买方案可供选择： 方案一 铅笔和橡皮都按批发价购买； 方案二
8、铅笔和橡皮都按零售价购买，总费用打 m折 若根据方案一购买，共需支付 144元 （1）铅笔和橡皮的批发价各是多少？ （2）若根据方案二购买所需的费用不少于方案一所需的费用，求 m的最小值 26. 问题：当 ab时，判断 a2b2与 2ab的大小关系“形”的角度 （1）小明说，当 ab0时，可以构造如图所示的长方形 ABCD，它是由 1个正方形 ABFE和 1个长方形 EFCD拼成请你完成下面的推理过程 当 ba0时，请你类比小明的思路，完成构图和推理“数”的角度 （2）小红说，可以用“作差法”比较 a2b2与 2ab的大小请你尝试根据她的思路解决问题 27. 数学概念：如图，在ABC 中，D为
9、ABC的对边 AC 上一点（点 D 不与点 A、C 重合） ，连接 BD若ADB 和CDB这两个角中至少存在 1个与ABC相等，则称 BD为ABC中ABC的等角分割线 （1）概念理解：如图，在 RtABC中，C90 ，B60 分别画出B 和C 的等角分割线 BD、CE （画图工具不限，并做出适当的标注） （2）知识运用：在ABC中，A50 ，ACB70 已知ABC、ACB的等角分割线 BD、CE 相交于点 O，求BOC 的度数 （3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论： 钝角三角形中的钝角有 2 条等角分割线； 三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线； 三角形的高、角平分线可能是
10、该三角形中的等角分割线； 任意一个三角形中最少有 1条等角分割线，最多有 3条等角分割线 其中所有正确结论序号是 江苏省南京市秦淮区江苏省南京市秦淮区 2020-2021 学年七年级下期末数学试题学年七年级下期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置答题卷相应位置上）上） 1. 下列计算正确的是( ) A. a2a3a5 B. a2 a3a6
11、 C. (a2)3a6 D. a6 a2a3 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一分析 【详解】解：A、由于 a2和 a3不是同类项，故不能合并，故本选项错误； B、a2 a3=a5，故本选项错误； C、 （a2）3=a6，故本选项正确； D、a6 a2a4，故本选项错误； 故选 C. 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键 2. 新型冠状病毒感染的肺炎疫情是人类史上的一个灾难据研究，这种病毒的直径约为 120 nm（1 nm109 m） ，用科学记数法表示 120 nm应为（ ）
12、 A. 1.2109 m B. 12109 m C. 0.121010 m D. 1.2107 m 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【详解】解：120 nm120 109 m1.2 107 m， 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3. 如图，直线 l1l2，1136 ，则2的度数是（ ）
13、 A. 44 B. 46 C. 54 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出1的同位角3 的度数，再根据邻补角进行求解 【详解】直线 l1l2，1136 ， 1=3=136 2=180 -3=180 -136 =44 故选：A 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质两直线平行，同位角相等是解题的关键 4. 若三角形的两边 a、b的长分别为 3和 4，则其第三边 c的取值范围是（ ） A. 3c4 B. 2c6 C. 1c7 D. 1c7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解 【详解】解：三角形的两边 a、
14、b 的长分别为 3 和 4， 其第三边 c的取值范围是4334c ， 即17c 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键 5. 分解因式 2a2（xy）2b2（yx）的结果是（ ） A. （2a22b2） （xy） B. （2a22b2） （xy） C. 2（a2b2） （xy） D. 2（ab） （ab） （xy） 【答案】D 【解析】 【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式 【详解】解：2a2（xy）2b2（yx） =2a2（xy）-2b2（xy） =（2a22b2） （xy） =2（a2b2） （xy） =2
15、（ab） （ab） （xy） 故选：D 【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键 6. 已知命题“若 a b，则 ac bc”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断该命题及其逆命题真假，即可求解 【详解】解：若 a b，当0c = 时，0acbc ， 原命题是假命题， 逆命题为若 ac bc，则 a b， 若 ac bc，当0c
16、时，ab ， 该命题的逆命题是假命题，故 A、B、C错误，D正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质是解题的关键 7. 某文具店销售硬面抄和软面抄两种类型的本子，下表记录了某一星期四天的销售情况经过核算，其中有一天的两类本子销售总额记录有误，则记录有误的一天是（ ） 硬面抄（本） 软面抄（本） 两类本子销售总额（元） 星期一 10 15 160 星期二 12 18 192 星期三 14 21 224 星期四 16 24 260 A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】D 【解析】 【分析】 根据每天的硬面本与软面本数量的变
17、化可知， 每相邻两天中硬面本与软面本数量的变化是相同的，再根据每相邻两天的销售总额可得答案 【详解】解：12-10=2，18-15=3，192-160=32， 14-12=2，21-18=3，224-192=32， 16-14=2，24-21=3，260-224=36， 星期四的记录是有误的， 故选：D 【点睛】此题考查了有理数减法，能正确理解表格中数据的变化关系并得到结论解决问题是解题的关键 8. 如图，已知 D、E分别为ABC的边 BC、AC的中点，连接 AD、DE，AF为ADE的中线若四边形ABDF 的面积为 10，则ABC 的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
18、 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论 【详解】设AEFSx， AF 为ADE的中线 ,2AEFADFADESSx SxVVV E分别为ABC 的边 AC的中点， 2 ,4ADECDECDASSx SxVVV D 分别为ABC 的边 BC的中点， 4 ,8CDABDAABCSSx SxVVV 四边形 ABDF 的面积=510FDABDASSxVV 解得2x 816ABCSxV 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 2
19、0 分分.请把答案填写在请把答案填写在答题卷相应位置答题卷相应位置上）上） 9. 计算223xxy 的结果是_ 【答案】6x3y 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则，即可求解 【详解】解：23236xxyx y 故答案为：36x y 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键 10. 已知关于 x、y的二元一次方程 2xay10 的一个解是61xy，则 a_ 【答案】2 【解析】 【分析】将61xy代入二元一次方程可得一个关于a的方程，解方程即可得 【详解】解：由题意，将61xy代入方程210 xay得：2 610a ， 解得2a， 故答案为：2
20、【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的概念（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键 11. 分解因式 a210a25的结果是_ 【答案】 （a5）2 【解析】 【分析】直接用完全平方公式进行因式分解即可. 【详解】a210a25=（a5）2 故答案为： （a5）2. 【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式是解本题关键 12. 关于 x 的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是_ （写出一个符合要求的不等式即可） 【答案】x-4（答案不唯一） 【解析】 【分析】“”空心圆点向
21、右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线 【详解】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示 x-4； 故答案为：x 13( 1) + 1，并写出不等式组的整数解 【答案】不等式组的解集为12x ，不等式组的整数解为 0，1 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的整数解即可得 【详解】解：112311xxx ， 解不等式得：1x ， 解不等式得：2x， 则不等式组的解集为12x ， 不等式组的整数解为 0，1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解
22、法是解题关键 23. 如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，DEAC （1）求证ADEADF； （2）若BC98 ，则EDF 【答案】 （1）见解析； （2）82 【解析】 【分析】 （1） 由角平分线定义， 得BADCAD，由两直线平行内错角相等， 得到CADEDA， BADADF，等量代换即可得证； （2） 在ABC 中， 由三角形内角和定理得到BAC度数， 由两直线平行内错角相等， 得到ADFBAD，ADECAD，由此可得EDF=BAC=82 . 【小问 1 详解】 证明： AD平分BAC， BADCAD， DEAC， CADEDA， 同理，BADADF， ADEADF 【小问 2 详
23、解】 解：在ABC中，BC98 ， BAC=180 -(BC)=180 -98 =82 DFAB，DEAC ADFBAD，ADECAD， EDFADF+ADEBAD+CAD=BAC=82 故答案：82 【点睛】此题考查角平分线定义、三角形内角和定理、平行线的性质，掌握三角形内角和是 180 和两直线平行，内错角相等是解答此题的关键. 24. 用两种方法证明“三角形的外角和等于 360 ”如图，BAE、FBC、DCA 是ABC的三个外角 求证BAEFBCDCA360 （1）第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： （2）根据第二种思路，完成证明 【答案】 （1）180BACABCACB
24、；BAC；ACB；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可； （2）过 B 作 BMAC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角 360证明 【小问 1 详解】 根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为：180BACABCACB； 根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，FBCBAC +ACB， 故答案为：BAC；ACB，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【小问 2 详解】 过 B 作 BMAC， EABMBF ECDMBC 360FBCMBFMBC BAEFBCDCA360 【点睛】本题考
25、查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 25. 美术小组准备到文具店购买铅笔和橡皮已知 1 支铅笔的批发价比零售价低 0.2元，1 块橡皮的批发价比零售价低 0.3 元如果购买 60 支铅笔和 30 块橡皮，那么都需按零售价购买，共支付 105 元；如果购买 90支铅笔和 60块橡皮，那么都需按批发价购买，共支付 144 元；那么有以下两种购买方案可供选择： 方案一 铅笔和橡皮都按批发价购买； 方案二 铅笔和橡皮都按零售价购买，总费用打 m折 若根据方案一购买，共需支付 144元 （1）铅笔和橡皮的批发价各是多少？
26、（2）若根据方案二购买所需费用不少于方案一所需的费用，求 m 的最小值 【答案】 （1）铅笔的批发价为每支 0.8元，橡皮的批发价为每块 1.2元； （2）所以 m的最小值是 8 【解析】 【分析】（1） 设铅笔的批发价为每支 x 元， 橡皮的批发价为每块 y 元， 根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可 【小问 1 详解】 解：设铅笔的批发价为每支 x元，橡皮的批发价为每块 y 元 根据题意，得方程组60(0.2)30(0.3)1059060144xyxy， 解方程组，得0.81.2xy， 答：铅笔的批发价为每支 0.8元，橡皮的批发价为每块 1.2 元； 【小问
27、 2 详解】 解：根据题意，得不等式（901601.5）10m 144 解不等式，得 m8 所以 m的最小值是 8 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准关系，正确列出一元一次不等式 26. 问题：当 ab时，判断 a2b2与 2ab的大小关系“形”的角度 （1）小明说，当 ab0时，可以构造如图所示的长方形 ABCD，它是由 1个正方形 ABFE和 1个长方形 EFCD拼成请你完成下面的推理过程 当 ba0时，请你类比小明的思路，完成构图和推理“数”的角度 （2）小红说，可以用“作差法”比较 a
28、2b2与 2ab的大小请你尝试根据她的思路解决问题 【答案】 （1）见解析；见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】 （1）根据图形表示面积即可；把 b、a位置互换即可证明； （2）通过作差结合完全平方公式计算即可 【小问 1 详解】 2()EFCDSb abab b长方形 由图形得ABCDEFCDSS长方形长方形 22aababb 222abab 当 ba0时，2()ABCDSb babab长方形 由图形得ABCDEFCDSS长方形长方形 22bababa 222abab 【小问 2 详解】 作差可得 a2b22ab（ab）2 ab， （ab）20 a2b22ab0 a2b22ab 【点
29、睛】主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子 27. 数学概念：如图，在ABC 中，D为ABC的对边 AC 上一点（点 D 不与点 A、C 重合） ，连接 BD若ADB 和CDB这两个角中至少存在 1个与ABC相等，则称 BD为ABC中ABC的等角分割线 （1）概念理解：如图，在 RtABC中，C90 ，B60 分别画出B 和C 的等角分割线 BD、CE （画图工具不限，并做出适当的标注） （2）知识运用：在ABC中，A50 ，ACB70 已知ABC、ACB的等角分割线
30、 BD、CE 相交于点 O，求BOC 的度数 （3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论： 钝角三角形中的钝角有 2 条等角分割线； 三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线； 三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线； 任意一个三角形中最少有 1条等角分割线，最多有 3条等角分割线 其中所有正确结论的序号是 【答案】 （1）见解析 （2）80BOC （3） 【解析】 【分析】 （1）根据定义作图即可； （2）由定义得到BDC60 根据BDC 是ABD的一个外角，求出ABD10 分两种情况：AEC70 或BEC70 根据三角形外角性质求出BOC的度数； （3）根据等角分割线的
31、定义依次分析判断即可 【小问 1 详解】 解：如图所示，BDC=B，CEB=C； 【小问 2 详解】 在ABC 中，A50 ，ACB70 ， ABC180 ACBA60 BD是ABC的等角分割线， BDC60 BDC是ABD的一个外角， AABDBDC ABDBDCA10 由 CE是ACB的等角分割线可知，AEC70 或BEC70 当AEC70 时，如图，BEC110 BOC是BEO的一个外角， BOCABDBEO120 当BEC70 时，如图 BOC是BEO的一个外角， BOCABDBEO80 【小问 3 详解】 解：钝角三角形中的钝角有 2 条等角分割线； 三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线； 三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线； 等腰直角三角形的 45 没有等角分割线，等边三角形的内角也没有等角分割线，故该项不正确； 故答案为 【点睛】此题考查了新定义：等角分割线，三角形内角和定理，三角形的外角性质定理，解题的关键是正确掌握新的定义及作图方法，以及各知识点的应用
