1、2021 年黑龙江省绥化市绥棱县中考数学联考试卷年黑龙江省绥化市绥棱县中考数学联考试卷 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 2 （3 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba2a22a2 C （a3）2a5 Da8a4a4 4 （3 分）如图所示的几何体是由 7 个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是（ ） A B
2、C D 5 （3 分）一组数据：5，7，10，5，7，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A10 和 7 B5 和 7 C6 和 7 D5 和 6 6 （3 分）一元一次不等式组2 1 + 21的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）不透明的袋子中装有红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A112 B16 C14 D12 8 （3 分）将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（
3、x+2）23 Dy（x2）23 9 （3 分）某车间有 27 名工人，每个工人每天生产 64 个螺母或者 22 个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配 x 个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（ ） A22x64（27x） B222x64（27x） C64x22（27x） D264x22（27x） 10 （3 分）如图，在ABC 中，EFBC，AB3AE，若 S四边形BCEF32，则 SABC（ ） A32 B36 C40 D48 11 （3 分）如图所示，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点
4、 C，对称轴为直线 x1直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论： 2a+b+c0； ab+c0； x（ax+b）a+b； a1 其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 12 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AEBD 于点 E，CF 平分BCD，交 EA 的延长线于点 F，且 BC4，CD2，给出下列结论：BAECAD；DBC30；AE=455；AF25，其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3
5、 分，共分，共 30 分）分） 13 （3 分）2021 年，绥化市人口约为 5210000 人，用科学记数法表示为 14 （3 分）函数 y=24中自变量 x 的取值范围是 15 （3 分）当 x2021 时，代数式（:11:1）1(+1)2的值是 16 （3 分）分解因式：5a320a 17（3分） 关于 x的一元二次方程 （m1） x2+ （m24） x+m+50的两个实数根互为相反数， 则 m等于 18 （3 分）在ABC 中，ABAC，BAC110，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若ABD 为直角三角形，则ADC 的度数为 19 （3 分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某
6、时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8分钟内既进水又出水， 接着关闭进水管直到容器内的水放完 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完 20 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，连接 AC，按以下步骤作图，分别以 A、C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 M、N，作直线 MN 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F若 AB6，BC4，则ADE 的周长为 21 （3 分）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品都购买） ，其
7、中甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去 150 元，请你设计一下，共有 种购买方案 22 （3 分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2014的坐标为 三、解答题（满分三、解答题（满分 54 分）分） 23 （6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（
8、1，1） （1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形 RtA1B1C1，并写出 A1的坐标； （2）将 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90后得到 RtA2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算 RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 24 （6 分）小亮一家到桃林口水库游玩在岸边码头 P 处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P 处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从 P 处出发，沿北偏东 60方向划行，划行速度是 20 米/分钟，划行 10 分钟后到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B
9、处，在 B 处小亮观测到妈妈所在的 P 处在北偏西 37的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到 1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，2 1.41，3 1.73） 25 （7 分）为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从 A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项） ，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中 A 部分的圆心角
10、是 度C 所占的百分比为 % （2）请补全条形统计图 （3）根据本次调查，该校七年级 720 名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ 26 （8 分）已知反比例函数 y1=的图象与一次函数 y2ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点 B（m，2） ， （1）求这两个函数的关系式； （2）观察图象，写出使得 y1y2成立的自变量 x 的取值范围； （3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求ABC 的面积 27 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F 两点，P 是O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，P
11、C，AF，且满足PCAABC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）证明：EF24ODOP； （3）若 BC8，tanAFP=23，求 DE 的长 28 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F，设 PAx （1）求证：PFAABE； （2）当点 P 在线段 AD 上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）探究：当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x 满
12、足的条件： 29 （10 分）如图，抛物线 y= 12x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？请求出CBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 参考答案与详解参考答案与详解 一、单项选择题（本题共一、单项选
13、择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 【分析】直接根据倒数的概念即可得到答案 【解答】解：2021 的倒数为：12021 故选：C 2 （3 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心
14、对称图形，故此选项正确 故选：D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba2a22a2 C （a3）2a5 Da8a4a4 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可 【解答】解：A、a2+a22a2，故本选项不合题意； B、a2a2a4，故本选项不合题意； C、 （a3）2a6，故本选项不合题意； D、a8a4a4，故本选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）如图所示的几何体是由 7 个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可 【解答
15、】解：该几何体的主视图是 故选：A 5 （3 分）一组数据：5，7，10，5，7，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A10 和 7 B5 和 7 C6 和 7 D5 和 6 【分析】将这组数据排序后处于中间位置的数就是这组数据的中位数，出现次数最多的数为这组数据的众数 【解答】解：将这组数据重新排列为 5、5、5、6、7、7、10， 所以这组数据的众数为 5、中位数为 6， 故选：D 6 （3 分）一元一次不等式组2 1 + 21的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可 【解答】解：2 1 + 21， 由得：x2， 由得：x1，
16、则不等式组的解集为1x2， 表示在数轴上，如图所示： 故选：C 7 （3 分）不透明的袋子中装有红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A112 B16 C14 D12 【分析】先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有 2 种， 所以两次都摸到白球的概率是212=16， 故选：B 8 （3 分）将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，
17、抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式 【解答】解：将抛物线 yx2向上平移 3 个单位再向右平移 2 个单位， 平移后的抛物线的解析式为：y（x2）2+3 故选：B 9 （3 分）某车间有 27 名工人，每个工人每天生产 64 个螺母或者 22 个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配 x 个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（ ） A22x64（27x） B222x64（27x） C64x
18、22（27x） D264x22（27x） 【分析】设分配 x 名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，可得出方程 【解答】解：设分配 x 名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母， 一个螺栓配套两个螺母，每人每天生产螺母 64 个或螺栓 22 个， 可得 222x64（27x） 故选：B 10 （3 分）如图，在ABC 中，EFBC，AB3AE，若 S四边形BCEF32，则 SABC（ ） A32 B36 C40 D48 【分析】由 EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出 SABC的值 【解答】解：EFBC， AEFABC， AB3A
19、E， AE：AB1：3， SAEF：SABC1：9， 设 SAEFx， S四边形BCFE32， :32=19， 解得：x4， SABC36， 故选：B 11 （3 分）如图所示，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论： 2a+b+c0； ab+c0； x（ax+b）a+b； a1 其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，利用对称轴方程得到 b
20、2a，则 2a+b+cc0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当 x1 时， y0， 于是可对进行判断； 根据二次函数的性质得到 x1 时， 二次函数有最大值， 则 ax2+bx+ca+b+c，于是可对进行判断；由于直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x轴下方且横坐标小于 3，利用函数图象得 x3 时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c3+c，然后把 b2a 代入解 a 的不等式，则可对进行判断 【解答】解：抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， 抛物线的对称轴为直线 x= 2=1
21、， b2a， 2a+b+c2a2a+cc0，所以正确； 抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）右侧， 当 x1 时，y0， ab+c0，所以正确； x1 时，二次函数有最大值， ax2+bx+ca+b+c， ax2+bxa+b，所以正确； 直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3， x3 时，一次函数值比二次函数值大， 即 9a+3b+c3+c， 而 b2a， 9a6a3，解得 a1，所以正确 故选：A 12 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AE
22、BD 于点 E，CF 平分BCD，交 EA 的延长线于点 F，且 BC4，CD2，给出下列结论：BAECAD；DBC30；AE=455；AF25，其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据余角的性质得到BAEADB，等量代换得到BAECAD，故正确；根据三角函数的 定 义 得 到 tan DBC =12， 于 是 得 到 DBC 30 ， 故 错 误 ； 由 勾 股 定 理 得 到BD= 2+ 2=25，根据相似三角形的性质得到 AE=455；故正确；根据角平分线的定义得到BCF45， 求得ACF45ACB， 推出EAC2ACF， 根据外角的性质得到EAC
23、ACF+F，得到ACFF，根据等腰三角形的判定得到 AFAC，于是得到 AF25，故正确 【解答】解：在矩形 ABCD 中，BAD90， AEBD， AED90， ADE+DAEDAE+BAE90， BAEADB， CADADB， BAECAD，故正确； BC4，CD2， tanDBC=12， DBC30，故错误； BD= 2+ 2=25， ABCD2，ADBC4， ABEDBA， =， 即4=225， AE=455；故正确； CF 平分BCD， BCF45， ACF45ACB， ADBC， DACBAEACB， EAC902ACB， EAC2ACF， EACACF+F， ACFF， AFAC
24、， ACBD25， AF25，故正确； 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 （3 分）2021 年，绥化市人口约为 5210000 人，用科学记数法表示为 5.21106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：52100005.21106 故答案是：5.21106 14 （3 分）函数 y=2
25、4中自变量 x 的取值范围是 x4 【分析】根据分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得：4x0， 解得：x4， 故答案为：x4 15 （3 分）当 x2021 时，代数式（:11:1）1(+1)2的值是 2022 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子计算即可 【解答】解： （:11:1）1(+1)2 =1+1(:1)2;1 x+1， 当 x2021 时，原式2021+12022， 故答案为：2022 16 （3 分）分解因式：5a320a 5a（a+2） （a2） 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的
26、多项式进行观察，有 2 项，可采用平方差公式继续分解 【解答】解：5a320a 5a（a24） 5a（a+2） （a2） 故答案为：5a（a+2） （a2） 17（3 分） 关于 x 的一元二次方程 （m1） x2+ （m24） x+m+50 的两个实数根互为相反数， 则 m 等于 2 【分析】设方程的两根是 a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到 a+b= 241=0，求出 m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可 【解答】解：设方程的两根是 a，b， 一元二次方程（m1）x2+（m24）x+m+50 的两个实数根互为相反数， 由根与系数的关系得：a+b= 241=0，且 m1
27、0， m2， 由题意，（m24）24（m1） （m+5）0， 当 m2 时，0，舍去， 当 m2 时，0，符合题意， 即 m 等于2 故答案为：2 18 （3 分）在ABC 中，ABAC，BAC110，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若ABD 为直角三角形，则ADC 的度数为 125或 90 【分析】根据题意可以求得B 和C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC 的度数 【解答】解：在ABC 中，ABAC，BAC110， BC35， 点 D 在 BC 边上，ABD 为直角三角形， 当BAD90时，则ADB55， ADC125， 当ADB90时，则 ADC90， 故答案为：125
28、或 90 19 （3 分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8分钟内既进水又出水， 接着关闭进水管直到容器内的水放完 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完 【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论 【解答】解：由函数图象得： 进水管每分钟的进水量为：2045 升 设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得 20+8（5a）30， 解得：a=154， 故关闭进水管后出水管放
29、完水的时间为：30154=8 分钟 故答案为：8 20 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，连接 AC，按以下步骤作图，分别以 A、C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 M、N，作直线 MN 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F若 AB6，BC4，则ADE 的周长为 10 【分析】先根据平行四边形的性质得出 ABCD，ADBC，再由作法可知直线 MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出 AECE，即 AE+DECD，据此可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC4，CDAB6， 由作法可知，直线 MN 是线段 AC 的垂直平分线， AECE
30、， AE+DECD6， ADE 的周长AD+（DE+AE）4+610 故答案为：10 21 （3 分）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品都购买） ，其中甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去 150 元，请你设计一下，共有 两 种购买方案 【分析】设购买甲种体育用品 x 件，购买乙种体育用品 y 件，根据“甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去 150 元”列出方程，并解答 【解答】解：设购买甲种体育用品 x 件，购买乙种体育用品 y 件， 依题意得：20 x+30y150， 即 2x+3y15， 当 x3 时
31、，y3 当 x6 时，y1 即有两种购买方案 故答案是：两 22 （3 分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2014的坐标为 （21007，21007） 【分析】首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点 B2014的坐标 【解答】解：正方形 OABC 边长为 1， OB= 2， 正方形 OBB1C1是正方形 OABC 的
32、对角线 OB 为边， OB12， B1点坐标为（0，2） ， 同理可知 OB222，B2点坐标为（2，2） ， 同理可知 OB34，B3点坐标为（4，0） ， B4点坐标为（4，4） ，B5点坐标为（0，8） ， B6（8，8） ，B7（16，0） B8（16，16） ，B9（0，32） ， 由规律可以发现，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的2倍， 201482516， B2014的纵横坐标符号与点 B6的相同，横坐标为正值，纵坐标是负值， B2014的坐标为（21007，21007） 故答案为： （21007，21007） 三、解答题（满分三、
33、解答题（满分 54 分）分） 23 （6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（1，1） （1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形 RtA1B1C1，并写出 A1的坐标； （2）将 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90后得到 RtA2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算 RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A、B、C 平移后的对应点 A
34、1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标即可； （2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1绕点 A1顺时针旋转 90后的对应点 A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出 A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形， 点 A1的坐标为（1，0） ； （2）如图所示，A2B2C2即为所求作的三角形， 根据勾股定理，A1C1= 22+32= 13， 所以，旋转过程中 C1所经过的路程为9013180=132 24 （6 分）小亮一家到桃林口水库游玩在岸边码头 P 处，小亮和爸
35、爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P 处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从 P 处出发，沿北偏东 60方向划行，划行速度是 20 米/分钟，划行 10 分钟后到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处，在 B 处小亮观测到妈妈所在的 P 处在北偏西 37的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到 1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，2 1.41，3 1.73） 【分析】作 PQAB 于 Q，根据已知，APQ30解直角三角形求出 PB 即可； 【解答】解：作 PQAB 于 Q，根据已知，APQ30 则 AQ=12AP AP2010200 AQ100 P
36、Q= 2 2=1003， 在 RtBPQ 中，sinB=， PB1003 0.60288 米 此时，小亮与妈妈相距 288 米 25 （7 分）为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从 A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项） ，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 160 人，扇形统计图中 A 部分的圆心角是 54 度C 所占的百分比为 20 % （2）请补全条形统计图 （3）
37、根据本次调查，该校七年级 720 名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ 【分析】 （1）用“D”的人数除以对应的比例 30%，即可算出调查的总人数，然后再算出 A 的圆心角，用“C”的人数除以总人数即可得出 C 所占的百分比； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图； （3）根据：喜欢某项人数总人数该项所占的百分比，计算即得 【解答】解： （1）由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有 48 人，占调查总人数的 30%， 所以调查总人数：4830%160（人） ， 图中 A 部分的圆心角为：36024160=54， C 所占的百分比为：321
38、60= 20%， 故答案为：160，54，20； （2）喜欢“科学探究”的人数：16024324856（人） ， 补全如图所示： （3）72056160=252（名） ， 答：该校七年级 720 名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为 252 名 26 （8 分）已知反比例函数 y1=的图象与一次函数 y2ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点 B（m，2） ， （1）求这两个函数的关系式； （2）观察图象，写出使得 y1y2成立的自变量 x 的取值范围； （3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求ABC 的面积 【分析】 （1）先根据点 A 的坐标求出反比例函数的解析式为 y1
39、=4，再求出 B 的坐标是（2，2） ，利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值 x 的取值范围 x2 或 0 x1 （3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案 【解答】解： （1）函数 y1=的图象过点 A（1，4） ，即 4=1， k4，即 y1=4， 又点 B（m，2）在 y1=4上， m2， B（2，2） ， 又一次函数 y2ax+b 过 A、B 两点， 即 2 + = 2 + = 4， 解之得 = 2 = 2 y22x+2 综上可得 y
40、1=4，y22x+2 （2）要使 y1y2，即函数 y1的图象总在函数 y2的图象上方， 如图所示：当 x2 或 0 x1 时 y1y2 （3） 由图形及题意可得：AC8，BD3， ABC 的面积 SABC=12ACBD=128312 27 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F 两点，P 是O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，且满足PCAABC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）证明：EF24ODOP； （3）若 BC8，tanAFP=23，求 DE 的长 【分析】（1） 先判断出 PAPC， 得
41、出PACPCA， 再判断出ACB90， 得出CAB+CBA90，再判断出PCA+CAB90，得出CAB+PAC90，即可得出结论； （2）先判断出 RtAODRtPOA，得出 OA2OPOD，进而得出14EF2OPOD，即可得出结论； （3）在 RtADF 中，设 AD2a，得出 DF3aOD=12BC4，AOOF3a4，最后用勾股定理得出 OD2+AD2AO2，即可得出结论 【解答】 （1）证明D 是弦 AC 中点， ODAC， PD 是 AC 的中垂线， PAPC， PACPCA AB 是O 的直径， ACB90， CAB+CBA90 又PCAABC， PCA+CAB90， CAB+PAC
42、90，即 ABPA， PA 是O 的切线； （2）证明：由（1）知ODAOAP90， RtAODRtPOA， =， OA2OPOD 又 OA=12EF， 14EF2OPOD，即 EF24OPOD （3）解：在 RtADF 中，设 AD2a，则 DF3a OD=12BC4，OEAOOF3a4 OD2+AD2AO2，即 42+4a2（3a4）2，解得 a=245， DEOEOD3a8=325 28 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F，设 PAx （1）求证：PFAABE； （2）当点 P 在线段 AD
43、上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3） 探究： 当以 D 为圆心， DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时， 请直接写出 x 满足的条件： x=65或 0 x1 【分析】 （1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEFEAB 时，则得到四边形 ABEP 为矩形， 从而求得 x 的值； 当PEFAEB 时， 再结合 （1） 中的结论， 得到等腰APE 再根据等腰三角形的三
44、线合一得到 F 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解 （3）首先计算圆 D 与线段相切时，x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定 x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定 x 的取值范围 【解答】 （1）证明：矩形 ABCD， ABE90，ADBC， PAFAEB， 又PFAE， PFA90ABE， PFAABE （4 分） （2）解：分二种情况： 若EFPABE，如图 1，则PEFEAB， PEAB， 四边形 ABEP 为矩形， PAEB3，即 x3 （6 分） 若PFEABE，则PEFAEB， ADBC PAFAEB， PEFPAF PEPA P
45、FAE， 点 F 为 AE 的中点， RtABE 中，AB4，BE3， AE5， EF=12AE=52， PFEABE， =， 5=523， PE=256，即 x=256 满足条件的 x 的值为 3 或256 （9 分） （3）如图 3，当D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG， APx， PDDG6x， DAGAEB，AGDB90， AGDEBA， =， 65=6;4， x=65， 当D 过点 E 时，如图 4，D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PDDE5， APx651， 当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：x=65或 0 x
46、1； 故答案为：x=65或 0 x1（12 分） 29 （10 分）如图，抛物线 y= 12x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？请求出CBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 【分析】 （1）由 A、
47、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出 P 点坐标，则可表示出 PC、PD 和 CD 的长，分 PDCD、PCCD 两种情况分别得到关于P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标； （3）由 B、C 的坐标可求得直线 BC 的解析式，可设出 E 点坐标，则可表示出 F 点的坐标，从而可表示出 EF 的长，可表示出CBF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点 E 的坐标 【解答】解： （1）A（1，0） ，C（0，2）在抛物线 y=12x2+bx+c 上， 12 + = 0 = 2，解得 =32 = 2， 抛物线解析式为 y= 12x2+32x+2； （2）y=
48、12x2+32x+2= 12（x32）2+258， 抛物线对称轴为直线 x=32， D（32，0） ，且 C（0，2） ， CD=(32)2+ 22=52， 点 P 在对称轴上， 可设 P（32，t） ， PD|t|，PC=(32)2+ ( 2)2， 当 PDCD 时，则有|t|=52，解得 t52，此时 P 点坐标为（32，52）或（32，52） ； 当 PCCD 时， 则有(32)2+ ( 2)2=52， 解得 t0 （与 D 重合， 舍去） 或 t4， 此时 P 点坐标为 （32， 4） ； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（32，52）或（32，52）或（32，4） ； （3）当
49、 y0 时，即12x2+32x+20，解得 x1 或 x4， A（1，0） ，B（4，0） ， 设直线 BC 解析式为 ykx+s，由题意可得 = 24 + = 0，解得 = 2 = 12， 直线 BC 解析式为 y= 12x+2， 点 E 是线段 BC 上的一个动点， 可设 E（m，12m+2） ，则 F（m，12m2+32m+2） ， EF= 12m2+32m+2（12m+2）= 12m2+2m= 12（m2）2+2， SCBF=124EF2= 12（m2）2+2（m2）2+4， 10， 当 m2 时，SCBF有最大值，最大值为 4， 此时12x+21， E（2，1） ，即 E 为 BC 的中点， 当 E 运动到 BC 的中点时，CBF 的面积最大，最大面积为 4，此时 E 点坐标为（2，1）
