1、2021 年河南省中考数学极品仿真试卷（年河南省中考数学极品仿真试卷（A） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 2（3 分） 如图， 将四个 “米” 字格的正方形内涂上阴影， 其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 3 （3 分）将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A B C D 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3a+4b7ab Bm6m2m3 C2m4m28m2
2、D （a3）2a6 5 （3 分）下列说法错误的是（ ） A在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查 C方差可以刻画数据的波动程度，方差越大波动越小；方差越小，波动越大 D为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择全面调查 6 （3 分）如图，在ABCD 中，以 A 为圆心，以 AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F，连接 BF，再分别以 B，F 为圆心， 以大于12BF 的长为半径作弧， 两弧交于点 G， 连接 AG 并延长， 交 BC 于点 E， 交 BF 于点 M，则AMB 的度数为（ ） A80 B90 C100 D120 7 （3
3、分）下列方程中，没有实数根的是（ ） Ax2x20 Bx24 Cx22x+10 Dx2x+10 8 （3 分） 将一个含 30角的直角三角板 ABC 与一个直尺如图放置， ACB90， 点 A 在直尺边 MN 上，点 B 在直尺边 PQ 上，BC 交 MN 于点 D若ABP15，AC6，则 AD 的长为（ ） A1322 B8 C62 D63 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，4） ，将AOB 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到COD，点 A，B 的对应点分别为点 C，D，若 OD 恰好经过 AB 的中点 E，则点 D 的坐标为（ ） A （125，185） B （
4、165，125） C （125，165） D （185，125） 10 （3 分）如图，扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为弧 AB 上一个动点若 OA2，则阴影部分的最小面积为（ ） A22 2 B22 C2 D2 2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）273（13）2 12 （3 分）如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线 l4、l5相交于点 E，已知 AEEF1，FB3，则= 13 （3 分）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有质地大小完全一样的 4 个、3 个小球，甲袋中的 4 个小球上分别标有数字1、2
5、、1、2，乙袋中的 3 个小球上分别标有数字1、0、1若随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，则两球所标数字之和是正数的概率是 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=3（x0）经过菱形 ABCD 的边 CD 的中点 P，A，C 在 x 轴上， B （0， 2） ， D （0， 2） ， 过点 D 作 DMAB， 垂足为 M， 交 x 轴于点 N， 则 AN 的长为 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，点 M 为斜边 AB 上一个动点，点 N 为直角边 AC 上一个动点，已知 BC6，AC8，BMMN，当AMN 为直角三角形时，BM 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（
6、本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （2+1）212+2+1，其中 x 是不等式组2 3 + 12 14的整数解 17 （9 分）建党百年，滚滚历史长河，稠稠峥嵘岁月2021 年是中国共产党成立 100 周年，为迎接党的百年华诞，生动鲜活讲好中国共产党的故事，引导广大师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，从百年党史中感悟真理力量，某中学发起“百年瞬间，薪火相传”主题活动为检验学习成果，该校团委在七八年级学生中展开了 “你我学党史， 薪火永相传” 知识竞赛 （满分 100 分） 竞赛结束后， 团委在七、八年级各随机抽取 10 名学生的竞
7、赛成绩进行整理、描述和分析（成绩均在 79 分以上） ，成绩分四组：A.80 x85，B.85x90，C.90 x95，D.95x100 七年级 10 名学生的竞赛成绩：90，100，89，82，98，80，98，86，98，96 八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据：94，90，94 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 a ，b ，c ； （2）请判断哪个年级学生对党史知识掌握较好，请说明理由； （一条理由即可） （3）该校七、八年级各有 1200 名学生，
8、且全部参加知识竞赛，请估计该校此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数 18 （9 分）如图，O 中，AB 为直径，过点 B 作O 的切线 BC，连接 AC 交O 于点 D，过点 D 作O的切线交 BA 的延长线于点 E，交 BC 于点 F，连接 CE （1）证明：BFCF； （2）若 BE4，BC6，求 AB 的长 19（9 分） 如图， 某小坡前有一幢楼房 CD， 坡脚 A 处离楼房底部 D 的距离为 306m， 斜坡 AB 的长度为 195m，坡度 i1：2.4，在坡顶 B 处观测到楼房顶部 C 的俯角为 20，则楼房 CD 的高度是多少？（参考数据：sin200.342，cos200.
9、940，tan200.364结果精确到 0.1m） 20 （9 分）某商场购进一批 A 型和 B 型音箱进行销售，其进价与标价如表： A 型 B 型 进价/元 45 25 标价/元 60 30 （1）该商场购进这两种音箱共 300 个，A 型音箱按标价进行销售，B 型音箱打九折销售，当销售完这批音箱后可获利 3200 元，求该商场购进这两种音箱的数量 （2）两种音箱销售完后，若该商场计划再次购进这两种音箱 120 个，在不打折的情况下，如何进货，销售完这批音箱时获利最多且不超过进货价的 30%？并求出此时这批音箱的总利润 21 （10 分）抛物线 yax2+bx+4 的图象经过（2，4） ，
10、（3，1）两点 （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）点（m，n）是该抛物线上一点，若 mx4 时，n 的最小值为4，最大值为 5，请求出 m 的取值范围 22 （10 分） 问题情境：如图，等腰三角形 ABC 中，AB8cm，ACBC，点 P 为 AB 上一个动点，连接 PC，过点 B 作 BMPC 于点 M 小华同学根据学习函数的经验， 设线段 AP 的长为 xcm， 线段 PM 的长为 y1cm， 线段 BM 的长为 y2cm 分别对函数 y1，y2，随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量
11、，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y1/cm 6.39 4.95 3.30 1.59 0 0.95 1.11 0.71 0 y2/cm 4.79 4.95 4.99 4.79 a 2.83 1.65 0.71 0 其中 a ； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，小华同学已经画出函数 y1的图象，请你画出 y2的图象 （3） 结合画出的函数图象， 解决问题： 当PBM30时， AP 的长度约为 cm （精确到 0.1cm） 23 （11 分）等腰直角三角形 ABC
12、 中，ABAC，BAC90，点 P 为平面内不与ABC 顶点重合的一个动点，连接 BP，以 BP，BC 为边作平行四边形 BCDP，以点 C 为旋转中心将 CD 逆时针旋转 90得到CE，连接 AE （1）如图 1，当点 P 落在 AC 上时，AE 与 AP 的数量关系为 ；位置关系为 （2）如图 2，当点 P 为ABC 内一点时，判断APE 的形状，并说明理由 （3）若 AB= 17，BP3，当 B，P，E 在一条直线上时，直接写出 AP 的长 2021 年河南省中考数学极品仿真试卷（年河南省中考数学极品仿真试卷（A） （教师版参考答案与详解）（教师版参考答案与详解） 一、选择题（每小题一、
13、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可 【解答】解：2021 的相反数是 2021 故选：A 2（3 分） 如图， 将四个 “米” 字格的正方形内涂上阴影， 其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别结合选项判断即可得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误
14、； B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 3 （3 分）将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A B C D 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可 【解答】解：由题意知，该几何体的俯视图如下： 故选：B 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3a+4b7ab Bm6m2m3 C2m4m28m2 D （a3）2a6 【分析】根据合并同类项的运算法则判断 A，根据同底数幂的除法运算法则判断 B，根据单
15、项式乘单项式的运算法则判断 C，根据幂的乘方运算法则判断 D 【解答】解：A、3a 与 4b 不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、原式m4，故此选项不符合题意； C、原式8m3，故此选项不符合题意； D、原式a6，故此选项符合题意； 故选：D 5 （3 分）下列说法错误的是（ ） A在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查 C方差可以刻画数据的波动程度，方差越大波动越小；方差越小，波动越大 D为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择全面调查 【分析】分别根据随机事件的定义、方差的意义以及调查方式判断即可 【解答】解：A在一定
16、条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，原说法正确，故此选项不符合题意； B为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，原说法正确，故此选项不符合题意； C方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，原说法错误，故此选项符合题意； D为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择全面调查，原说法正确，故此选项不符合题意 故选：C 6 （3 分）如图，在ABCD 中，以 A 为圆心，以 AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F，连接 BF，再分别以 B，F 为圆心， 以大于12BF 的长为半径作弧， 两弧交于点 G， 连接 AG 并延长， 交 BC 于点 E， 交 BF 于点
17、 M，则AMB 的度数为（ ） A80 B90 C100 D120 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可 【解答】解：由作图可知，AFAB，AM 平分BAD， AMBF， AMB90， 故选：B 7 （3 分）下列方程中，没有实数根的是（ ） Ax2x20 Bx24 Cx22x+10 Dx2x+10 【分析】分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案 【解答】解：A方程 x2x20 中（1）241（2）90，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B方程 x24，即 x240 中0241（4）160，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C方程 x22x+10 中（2）2
18、4110，此方程有两个相等的实数根，不符合题意； D方程 x2x+10 中（1）241130，此方程没有实数根，符合题意； 故选：D 8 （3 分） 将一个含 30角的直角三角板 ABC 与一个直尺如图放置， ACB90， 点 A 在直尺边 MN 上，点 B 在直尺边 PQ 上，BC 交 MN 于点 D若ABP15，AC6，则 AD 的长为（ ） A1322 B8 C62 D63 【分析】先由平行线的性质可得DABABP15，根据三角形内角和定理得到CAB60，CADCABDAB45，那么ACD 是等腰直角三角形，从而求出 AD 的长 【解答】解：由题意可得，MNPQ， DABABP15， C
19、AB180CABC180903060， CADCABDAB601545， ACD90， ADC45， ACD 是等腰直角三角形， AD= 2AC= 62 故选：C 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，4） ，将AOB 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到COD，点 A，B 的对应点分别为点 C，D，若 OD 恰好经过 AB 的中点 E，则点 D 的坐标为（ ） A （125，185） B （165，125） C （125，165） D （185，125） 【分析】求直线 OD 的解析式：y=43x，设 D（m，43m） ，再根据 ODOB4，构建方程求出 m 即可 【解
20、答】解：A（3，0） ，B（0，4） ，AEEB， E（32，2） ， 直线 OD 的解析式为 y=43x， 设 D（m，43m） ， ODOB4， m2+（43m）216， m=125或125（125舍弃） ， D（125，165） ， 故选：C 10 （3 分）如图，扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为弧 AB 上一个动点若 OA2，则阴影部分的最小面积为（ ） A22 2 B22 C2 D2 2 【分析】当点 C 处于弧 AB 的中点时，SABC最大，即阴影部分的面积最小，求出扇形 AOB、直角三角形 AOB，三角形 ABC 的面积即可 【解答】 解： 点 C 在弧 AB 上运动，
21、当点 C处于弧 AB 的中点时， SABC最大， 即阴影部分的面积最小， AOBO，OAOB2， AB= 2OA22， ODADBD=12AB= 2， CDOCOD22， 阴影部分的最小面积为：S扇形AOBSAOBSABC =902236012221222 （22） 222 +2 22， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）273（13）2 12 【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式3912 故答案为：12 12 （3 分）如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线
22、 l4、l5相交于点 E，已知 AEEF1，FB3，则= 14 【分析】由 l1l2，根据平行线分线段成比例定理可得 FGAC；由 l2l3，根据平行线分线段成比例定理可得=14 【解答】解：l1l2，AEEF1， =1， FGAC； l2l3， =14， =14， 故答案为14 13 （3 分）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有质地大小完全一样的 4 个、3 个小球，甲袋中的 4 个小球上分别标有数字1、2、1、2，乙袋中的 3 个小球上分别标有数字1、0、1若随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，则两球所标数字之和是正数的概率是 512 【分析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两球所标数字
23、之和是正数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等情况数，其中两球所标数字之和是正数的有 5 种， 则两球所标数字之和是正数的概率是512， 故答案为：512 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=3（x0）经过菱形 ABCD 的边 CD 的中点 P，A，C 在 x 轴上，B（0，2） ，D（0，2） ，过点 D 作 DMAB，垂足为 M，交 x 轴于点 N，则 AN 的长为 433 【分析】作 PQx 轴于 Q，则 PQy 轴，根据题意求得 PQ1，把 y1 代入 y=3（x0）得，求得x= 3，即可求得 OC23，根据菱形
24、的性质即可求得 OA23，解直角三角形求得DAO30，进而证得ABD 是等边三角形，由 AOBD，DMAB，即可得出 AN=23OA=433 【解答】解：作 PQx 轴于 Q，则 PQy 轴， P 是 CD 的中点， PQ=12OD， B（0，2） ，D（0，2） ， OBOD2， PQ1， 把 y1 代入 y=3（x0）得，1=3， x= 3， OQ= 3， OC23， 四边形 ABCD 是菱形， OAOC23， tanDAO=223=33， DAO30， BAD60， ABD 是等边三角形， AOBD，DMAB， AN=23OA=2323 =433， 故答案为：433 15 （3 分）如图
25、，在 RtABC 中，点 M 为斜边 AB 上一个动点，点 N 为直角边 AC 上一个动点，已知 BC6，AC8，BMMN，当AMN 为直角三角形时，BM 的长为 154或307 【分析】在 RtABC 中，AB= 2+ 2=10，分两种情况、，利用相似三角形的线段比例关系即可求解 【解答】解：在 RtABC 中，AB= 2+ 2=10， 当MNA90时， MNAC90，AA， ABCAMN， =， 6=1010， MN=154， BM=154， 当NMA90时， NMAC90，AA， ABCANM， =， 6=108， MN=307， BM=307 综上 BM=154或307 故答案为：15
26、4或307 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （2+1）212+2+1，其中 x 是不等式组2 3 + 12 14的整数解 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子， 然后根据 x 是不等式组2 3 + 12 14的整数解，可以求得整数 x 的值，然后将使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （2+1）212+2+1 (+1) 1(+1)2(+1)(1) （1+1+1+1）(+1)2(+1)(1) = +1(+1)2(+1)(1) = 1， 由2 3 + 12 14得，1
27、x2.5， x 是不等式组2 3 + 12 14的整数解，x（x+1） （x1）0， x2， 当 x2 时，原式= 221= 2 17 （9 分）建党百年，滚滚历史长河，稠稠峥嵘岁月2021 年是中国共产党成立 100 周年，为迎接党的百年华诞，生动鲜活讲好中国共产党的故事，引导广大师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，从百年党史中感悟真理力量，某中学发起“百年瞬间，薪火相传”主题活动为检验学习成果，该校团委在七八年级学生中展开了 “你我学党史， 薪火永相传” 知识竞赛 （满分 100 分） 竞赛结束后， 团委在七、八年级各随机抽取 10 名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩均在
28、79 分以上） ，成绩分四组：A.80 x85，B.85x90，C.90 x95，D.95x100 七年级 10 名学生的竞赛成绩：90，100，89，82，98，80，98，86，98，96 八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据：94，90，94 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 a 40 ，b 94 ，c 98 ； （2）请判断哪个年级学生对党史知识掌握较好，请说明理由； （一条理由即可） （3）该校七、八年级各有 1200 名学生，且全部参加知识竞赛，
29、请估计该校此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数 【分析】 （1）先求出 C 组所占的百分比，再根据各组所占百分比的和等于单位“1”求出 a 的值，然后根据中位数、众数的计算方法求出 b、c 的值即可； （2）平均数相同时，比较中位数和众数的大小得出答案； （3）利用样本估计总体，用总人数乘以七、八年级成绩优秀（x90）的学生所占百分比即可 【解答】解： （1）八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，94，90， C 组所占的百分比为 310100%30%， 110%20%30%40%， 即 a40， 八年级 A 组的有 2 人，B 组的有 1 人，C 组有 3 人，D 组
30、的有 4 人，将这 10 人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是 94，因此中位数是 94，即 b94， 七年级 10 名学生成绩出现次数最多的是 98，因此众数是 98，即 c98， 故答案为：40，94，98； （2）八年级学生对党史知识掌握较好，理由： 虽然七、八年级的平均分均为 92 分，但是八年级中位数和众数均高于七年级，所以八年级学生对党史知识掌握较好； （3）24006+720=1560（人） ， 答：该校此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生约为 1560 人 18 （9 分）如图，O 中，AB 为直径，过点 B 作O 的切线 BC，连接 AC 交O 于点 D，过点 D
31、作O的切线交 BA 的延长线于点 E，交 BC 于点 F，连接 CE （1）证明：BFCF； （2）若 BE4，BC6，求 AB 的长 【分析】 （1）连接 OD、BD，根据切线长定理得到 FBFD，根据圆周角定理得到BDC90，证明FCFD，等量代换证明结论； （2）根据勾股定理求出 EF，进而求出 DE，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 【解答】 （1）证明：连接 OD、BD FB、FD 分别为O 的切线， FBFD， FBDFDB， AB 为O 的直径， BDC90， FBD+BCD90，FDB+FDC90， BCDFDC， FCFD， BFFC； （2）解：BC6， DFBFCF3
32、， 由勾股定理得：EF= 2+ 2= 42+ 32=5， EDEFDF532， EF 为O 的切线， ODE90， OE2OD2+DE2，即（4OD）2OD2+22， 解得：OD=32， AB2OD3 19（9 分） 如图， 某小坡前有一幢楼房 CD， 坡脚 A 处离楼房底部 D 的距离为 306m， 斜坡 AB 的长度为 195m，坡度 i1：2.4，在坡顶 B 处观测到楼房顶部 C 的俯角为 20，则楼房 CD 的高度是多少？（参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364结果精确到 0.1m） 【分析】 过 B 作 BMDA 于点 M， 作 DA 的平行线交
33、DC 的延长线于点 N， 所以四边形 NDMB 是矩形 根据 BM： AM1： 2.45： 12， 设 BM5xm， AM12xm， 再利用勾股定理和锐角三角函数即可解决问题 【解答】解：过 B 作 BMDA 于点 M，作 DA 的平行线交 DC 的延长线于点 N， 所以四边形 NDMB 是矩形 RtABM 中，i1：2.4， BM：AM1：2.45：12， 设 BM5xm，AM12xm， 由勾股定理，得 BM2+AM2AB2， （5x）2+（12x）21952， 解得 x15， BM51575m，AM1215180m， DMDAAM306180126m，BNDM126m，NDBM75m， R
34、tCBN 中，CNtanCBNBN0.36412645.864（m） ， CDDNCN7545.86429.1（m） 答：楼房 CD 的高度约 29.1m 20 （9 分）某商场购进一批 A 型和 B 型音箱进行销售，其进价与标价如表： A 型 B 型 进价/元 45 25 标价/元 60 30 （1）该商场购进这两种音箱共 300 个，A 型音箱按标价进行销售，B 型音箱打九折销售，当销售完这批音箱后可获利 3200 元，求该商场购进这两种音箱的数量 （2）两种音箱销售完后，若该商场计划再次购进这两种音箱 120 个，在不打折的情况下，如何进货，销售完这批音箱时获利最多且不超过进货价的 30
35、%？并求出此时这批音箱的总利润 【分析】 （1）设该商场购进 A 型音箱 x 个，B 型音箱的数量为 y 个，利用该商场购进这两种音箱共 300个和销售完这批音箱后可以获利 3200 元列方程组，然后解方程组即可； （2）设该商场购进 A 型音箱 a 个，这批灯泡的总利润为 w 元，则购进 B 型音箱（120a）个，利用利润的意义得到 w（6045）a+（3025） （120a）10a+600，再根据销售完这批音箱时获利最多且不超过进货价的 30%可确定 a 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题 【解答】解： （1）设该商场购进 A 型音箱 x 个，B 型音箱的数量为 y 个， 根据题意得：
36、 + = 300(60 45) + (0.9 30 25) = 3200，解得 = 200 = 100， 答：设该商场购进 A 型音箱 200 个，B 型音箱的数量为 100 个； （2）设该商场购进 A 型音箱 a 个，这音箱泡的总利润为 w 元，则购进 B 型音箱（120a）个， 根据题意得：w（6045）a+（3025） （120a）10a+600， 10a+60045a+25（120a）30%， 解得 a75， a75 时，w 最大，最大值为 1350，此时购进 B 音箱 1207545（个） ， 该商场再次购进 A 型音箱 75 个，购进 B 型音箱 45 个，这批灯泡的总利润为 1
37、350 元 21 （10 分）抛物线 yax2+bx+4 的图象经过（2，4） ， （3，1）两点 （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）点（m，n）是该抛物线上一点，若 mx4 时，n 的最小值为4，最大值为 5，请求出 m 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据（1）中求得的解析式可知抛物线开口向下，顶点为（1，5） ，即当 x1 时，函数有最大值 5，求得 y4 时的 x 的值，根据二次函数的性质即可求得 m 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+4 的图象经过（2，4） ， （3，1）两点，
38、 4 + 2 + 4 = 4，9 + 3 + 4 = 1.解得 = 1， = 2. 抛物线的解析式为 yx2+2x+4 y（x1）2+5， 顶点坐标为（1，5） （2）y（x1）2+5， 抛物线开口向下，顶点为（1，5） ， 当 x1 时，函数有最大值 5， 当 y4 时，则（x1）2+54， 解得 x2 或 4， 点（m，n）是该抛物线上一点，mx4 时，n 的最小值为4，最大值为 5， m 的取值范围是2m1 22 （10 分） 问题情境：如图，等腰三角形 ABC 中，AB8cm，ACBC，点 P 为 AB 上一个动点，连接 PC，过点 B 作 BMPC 于点 M 小华同学根据学习函数的经
39、验， 设线段 AP 的长为 xcm， 线段 PM 的长为 y1cm， 线段 BM 的长为 y2cm 分别对函数 y1，y2，随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y1/cm 6.39 4.95 3.30 1.59 0 0.95 1.11 0.71 0 y2/cm 4.79 4.95 4.99 4.79 a 2.83 1.65 0.71 0 其中 a 4 ； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的
40、表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，小华同学已经画出函数 y1的图象，请你画出 y2的图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题：当PBM30时，AP 的长度约为 2.3 或 5.7 cm （精确到0.1cm） 【分析】 （1）当 x4，y10 时，点 P 在 AB 的中点，此时 CMAB，此时 BMPB4，由此可得结果； （2）描点、连线，可得出 y2的图象 （3）由PBM30，可得 y412x，在图中画出函数图象，找该图象与 y1交点的横坐标即可 【解答】解： （1）AB8cm，AP4cm， 点 P 是 AB 的中点， ACBC， CPAB，此时点 M 和点 P 重合，
41、BMBP4，即 a4， 故答案为：4； （2）通过描点，连线，可得出 y2的图象，如下图所示： （3）当PBM30时，BP2BM， APx， BP8x， MP=12BP=12（8x）412x， 作 y412x 的图象，如下图所示，该函数与 y1交点的横坐标即为所求 由图象可知，AP 的长度约为 2.3 或 5.7 23 （11 分）等腰直角三角形 ABC 中，ABAC，BAC90，点 P 为平面内不与ABC 顶点重合的一个动点，连接 BP，以 BP，BC 为边作平行四边形 BCDP，以点 C 为旋转中心将 CD 逆时针旋转 90得到CE，连接 AE （1）如图 1，当点 P 落在 AC 上时，
42、AE 与 AP 的数量关系为 AEAP ；位置关系为 AEAP （2）如图 2，当点 P 为ABC 内一点时，判断APE 的形状，并说明理由 （3）若 AB= 17，BP3，当 B，P，E 在一条直线上时，直接写出 AP 的长 【分析】 （1）根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出BPCACD，BPCE，由三角形外角的性质得出ABPACE，利用 SAS 证明ABPACE（SAS） ，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2） 延长 BC， 根据等腰直角三角形以及平行四边形的性质得出24， 利用 SAS 证明ABPACE（SAS） ，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分点 P 在线段 E
43、B 上，点 P 在线段 EB 的延长线上时，两种情形分别求解即可 【解答】解： （1）以点 C 为旋转中心将 CD 逆时针旋转 90得到 CE， ECD90，CDCE， 四边形 BCDP 是平行四边形， BPCD，BPCD， BPCACD，BPCE， BAC90， ABPBPCBACBPC90， ACEACDECDACD90， ABPACE， ABAC， ABPACE（SAS） ， AEAP，CAEBAP90， AEAP， 故答案为：AEAP，AEAP； （2）APE 是等腰直角三角形，理由如下： 延长 BC， ABC 为等腰直角三角形，ABAC， ABCACB45，2451， 以点 C 为旋
44、转中心将 CD 逆时针旋转 90得到 CE， ECD90，CDCE， 418045903453， 四边形 BCDP 是平行四边形， BPCD，BPCDCE， 13， 24， ABPACE（SAS） ， AEAP，CAEBAP， PAECAE+PACBAP+PACBAC90， APE 是等腰直角三角形； （3）点 P 在线段 EB 的延长线上时，过点 B 作 BMPA 于 M， 在 RtPBM 中，PB3， 由（2）得ABPACE（SAS） ， BPMCEA45， PBM45， PMBM=322， 在 RtABM 中，AB= 17，BM=322， AM= 2 2=522， APAM+PM=522+322=42， 点 P 在线段 EB 上时，过点 A 作 AMBE 于 M， 由（2）得EPA45， 设 AMPMx，则 AP= 2x， （x+3）2+x2（17）2，解得：x1 或4（不合题意，舍去） ， AP= 2， 点 P 不可能在线段 BE 的延长线上， AP 的长为2或 42
