1、2021 年四川省绵阳市安州区中考数学适应性试卷年四川省绵阳市安州区中考数学适应性试卷 一选择题（共一选择题（共 12 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）一个数的相反数是它本身，则这个数为（ ） A0 B1 C1 D1 2 （3 分）下列图形中仅有两条对称轴的是（ ） A等边三角形 B长方形 C圆 D正方形 3 （3 分）中国信息通信研究院测算，20202025 年，中国 5G 商用带动的信息消费规模将超过 8 万亿元，直接带动经济总产出达 10.6 万亿元其中数据 10.6 万亿用科学记数法表示为（ ） A10.6104 B1.061013 C10.610
2、13 D1.06108 4 （3 分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ） A三棱柱 B四棱柱 C三棱锥 5 （3 分）使二次根式12有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 6 （3 分） 算法统宗中有如下的类似问题： “哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉” ，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16 两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（ ） A10 两 B11 两 C12 两 D13 两 7 （3 分）如图，在平行
3、四边形 ABCD 中，过点 A 作 AGBC 于 G，作 AHCD 于 H，且GAH45，AG2，AH3，则平行四边形的面积是（ ） A62 B122 C6 D12 8 （3 分）一组数据 7，2，5，4，2 的方差为 a，若再增加一个数据 4，这 6 个数据的方差为 b，则 a 与 b的大小关系是（ ） Aab Bab Cab D以上都有可能 9 （3 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从 A 处向正东方向行驶 20海里到达 B 处， 测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上， 则轮船在 B 处时与灯塔 C 之间的距离 （即 BC 的长）为（ ） A403
4、海里 B （203 +10）海里 C40 海里 D （103 +10）海里 10 （3 分）一个容器盛满酒精，第一次倒出 10 升后，用水加满，第二次倒出 6 升后，再用水加满，这时容器内的酒精与水的体积之比为 7：13，则这个容器的容积为（ ） A18 升 B20 升 C24 升 D30 升 11 （3 分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为 3 和 4，则该三角形的重心与外心的距离为（ ） A12 B52 C53 D56 12 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（2，0） 、 （x1，0） ，且 1x12与 y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方下列结论：
5、 ab0；4a+2b+c0；2a+c0；2ab+10 其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）因式分解：x2y36y 14 （4 分）如图，ABCD，ABD 的平分线与BDC 的平分线交于点 E，则E 15 （4 分）若实数 a，b 满足 ab1，则代数式 a2b22b+5 的值为 16 （4 分）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共 15 支，所付金额大于 26 元，但小于 27 元已知签字笔每支 2 元，圆珠笔每支 1.5 元，则其中签字笔购买了 支 17
6、 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，8） ，点 B（8，0） ，点 C 在线段 AB 上，AC22，若以原点 O 为位似中心， 把线段 AB 缩小为原来的12， 得到线段 AB， 则点 C 的对应点 C坐标为 18 （4 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，连接 DC，点 M，P，F分别为 DE，DC，BC 的中点，ADE 可以绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，则PMF 的面积 S 的变化范围是 三解答题（共三解答题（共 7 小题，小题，19 题题 16 分，分，2024 题每题题每题 12 分，分，25 题题 14 分，共分，共 9
7、0 分）分） 19 （16 分） （1）计算：|3 2| (12);1+ ( 3.14)0+ 845 （2）化简求值：(52 2) 26+92+3，再从1x4 的范围内选取一个你喜欢的整数代入求值 20 （12 分） “校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分） ，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： （1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数； （3）成绩在 E 区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率 21 （12 分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元
8、，销售价为 120 元时，每天可售出 20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售 件，每件盈利 元； （用 x 的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利 1200 元； （3）平均每天盈利 1200 元是最大日盈利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日盈利的最大值 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与双曲线 y=交于点 A（1，n）和点 B（2，1）
9、（1）求 m，n 的值及直线 l 的解析式； （2）点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是线段 AB 上两点且 x1x2，PQ22，若线段 PQ 与双曲线 y=无交点，求 x1的取值范围 23 （12 分） 如图，在 RtABC 中，C90， AD 平分BAC 交 BC 于点 D， O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的圆 O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF （1）求证：BC 是圆 O 的切线； （2）求证：AD2AFAB； （3）若 BE16，sinB=513，求 AD 的长 24 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上的一个动点（点 E 与点
10、A，B 不重合） ，连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）如图 1，若 BE1，则 AF ； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）如图 3，若 AB4，连接 AG，当点 E 在边 AB 上运动的过程中AG 是否存在最小值，若存在求出AG 最小值，并求出此时 AE 的值；若不存在，请说明理由 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图的顶点为点 D，与 y 轴交于点 C，与 x轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点 P 是 x 轴上一动
11、点，当PCD 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）如图，若点 G（2，m）是该抛物线上一点，E 是直线 AG 下方抛物线上的一动点，点 E 到直线 AG的距离为 d，求 d 的最大值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）一个数的相反数是它本身，则这个数为（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】利用相反数的定义判断即可得到结果 【解答】解：一个数的相反数是它本身，则这个数为 0 故选：A 2 （3 分）下列图形中仅有两条对称轴的是（ ） A等边三角形 B长方形 C圆 D正方形 【分析】分别
12、根据等边三角形、长方形、圆及正方形的对称性分析即可 【解答】解：A、等边三角形有 3 条对称轴，分别是三边上的高线所在的直线，故 A 不符合题意； B、长方形仅有两条对角线，分别为两组对边的垂直平分线，故 B 符合题意； C、圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线是圆的对称轴，故 C 不符合题意； D、正方形有 4 条对称轴，分别是两条对角线所在的直线及两组对边的垂直平分线，故 D 不符合题意 综上，只有 B 符合题意 故选：B 3 （3 分）中国信息通信研究院测算，20202025 年，中国 5G 商用带动的信息消费规模将超过 8 万亿元，直接带动经济总产出达 10.6 万亿元其中数据 10.
13、6 万亿用科学记数法表示为（ ） A10.6104 B1.061013 C10.61013 D1.06108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：10.6 万亿106000 0000 00001.061013 故选：B 4 （3 分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ） A三棱柱 B四棱柱 C三棱锥 【分析】展开图的底面是正三角形，侧面是
14、三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱 【解答】解：由底面是正三角形，侧面是三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱， 故选：A 5 （3 分）使二次根式12有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案 【解答】解：使二次根式12有意义的 x 的取值范围是：x20， 解得：x2 故选：B 6 （3 分） 算法统宗中有如下的类似问题： “哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉” ，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16 两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所
15、带的钱共能买到的肉为（ ） A10 两 B11 两 C12 两 D13 两 【分析】设肉价为 x 文/两，哑巴所带的钱数为 y 文，根据“买一斤（16 两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 x，y 的值，再将其代入中即可求出结论 【解答】解：设肉价为 x 文/两，哑巴所带的钱数为 y 文， 依题意，得：16 = + 258 = 15， 解得： = 5 = 55， =555=11 故选：B 7 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AGBC 于 G，作 AHCD 于 H，且GAH45，AG2，AH3，则平行四边形的面积
16、是（ ） A62 B122 C6 D12 【分析】依据平行四边形的性质依据垂线的定义，即可得出B 的度数，进而得出ABG 是等腰直角三角形，依据平行四边形 ABCD 的面积ABAH，即可得出结论 【解答】解：AGBC 于 G，AHCD 于 H 且GAH45， 四边形 AGCH 中，C135， ABCD， B18013545， 又AGB90， ABG 是等腰直角三角形， AB= 2AG22， 又AHCD，AH3， 平行四边形 ABCD 的面积ABAH62， 故选：A 8 （3 分）一组数据 7，2，5，4，2 的方差为 a，若再增加一个数据 4，这 6 个数据的方差为 b，则 a 与 b的大小关
17、系是（ ） Aab Bab Cab D以上都有可能 【分析】根据平均数的计算公式先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式求出各组数据的方差，然后进行比较即可 【解答】解：数据 7，2，5，4，2 的平均数是：15（7+2+5+4+2）4， 方差：a=15（74）2+（24）2+（54）2+（44）2+（24）23.6； 数据 7，2，5，4，2，4 的平均数是：16（7+2+5+4+2+4）4， 方差：b=16（74）2+（24）2+（54）2+（44）2+（24）2+（44）23， 则 ab； 故选：A 9 （3 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从
18、A 处向正东方向行驶 20海里到达 B 处， 测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上， 则轮船在 B 处时与灯塔 C 之间的距离 （即 BC 的长）为（ ） A403海里 B （203 +10）海里 C40 海里 D （103 +10）海里 【分析】过 A 作 ADBC 于 D，解直角三角形求出 CD 和 BD，即可解决问题 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D，如图所示： 在 RtABD 中，ABD906030，AB20 海里， AD=12AB10（海里） ，BD= 3AD=32AB103（海里） ， ABC906030，BAC90+15105， C1801053045， ACD 是等腰直
19、角三角形， CDAD10（海里） ， BCBD+CD（103 +10）海里， 故选：D 10 （3 分）一个容器盛满酒精，第一次倒出 10 升后，用水加满，第二次倒出 6 升后，再用水加满，这时容器内的酒精与水的体积之比为 7：13，则这个容器的容积为（ ） A18 升 B20 升 C24 升 D30 升 【分析】设这个容器的容积为 x 升，由题意列出分式方程为 x10610=77+13x，解分式方程，再检验即可 【解答】解：设这个容器的容积为 x 升， 由题意得：x10610=77+13x， 整理得：13x2320 x+12000， 解得：x20，或 x=6013（舍去） ， x20， 经检
20、验，x20 是原分式方程的解； 即这个容器的容积为 20 升； 故选：B 11 （3 分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为 3 和 4，则该三角形的重心与外心的距离为（ ） A12 B52 C53 D56 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，根据斜边上的中线为斜边长的一半求出斜边的中线 CD，由重心的性质即可得出 GD 的长 【解答】解：如图所示：连接 CD， ACB90， 斜边 AB= 32+ 42=5， 斜边 AB 的中线 CD=125=52， D 为 RtABC 的外心，G 是重心， 由重心的性质得：GD=13CD=56 故选：D 12 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的
21、图象与 x 轴交于点（2，0） 、 （x1，0） ，且 1x12与 y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方下列结论： ab0；4a+2b+c0；2a+c0；2ab+10 其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】本题依据二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解 【解答】解：由图象开口向下知 a0， 由 yax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点坐标为（x1，0 ） ，且 1x12， 则该抛物线的对称轴为 x= 2=(2)+1212，即1， 由 a0，两边都乘以 a 得：ba， a0，对称轴 x= 20， b0， ab0
22、，故正确； 根据题意画大致图象如图所示， 当 x2 时，y0，即 4a+2b+c0， 故错误； 由一元二次方程根与系数的关系知 x1x2=2，结合 a0，得 2a+c0，所以结论正确， 由 4a2b+c0 得 2ab= 2，而 0c2， 120， 12ab0， 2ab+10，所以结论正确 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）因式分解：x2y36y y（x+6） （x6） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：x2y36yy（x236）y（x+6） （x6） ， 故答案为：y（x+6） （x6
23、） 14 （4 分）如图，ABCD，ABD 的平分线与BDC 的平分线交于点 E，则E 90 【分析】 根据角平分线的定义， EBD 等于ABD 的一半， BDE 等于BDC 的一半， 又ABD+CDB180，所以EBD+BDE90，所以BED90 【解答】解：BE、DE 分别是ABD 和BDC 的平分线， EBD=12ABD，EDB=12BDC， ABCD， ABD+BDC180， EBD+EDB=12（ABD+BDC）90， BED1809090 故答案为：90 15 （4 分）若实数 a，b 满足 ab1，则代数式 a2b22b+5 的值为 6 【分析】运用平方差公式，化简代入求值， 【
24、解答】解：a2b22b+5 （a+b） （ab）2b+5， ab1， 原式a+b2b+5 ab+5 1+5 6 故答案为：6 16 （4 分）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共 15 支，所付金额大于 26 元，但小于 27 元已知签字笔每支 2 元，圆珠笔每支 1.5 元，则其中签字笔购买了 8 支 【分析】根据“所付金额大于 26 元，但小于 27 元”作为不等关系列不等式组求其整数解即可求解 【解答】解：设签字笔购买了 x 支，则圆珠笔购买了 15x 支，根据题意得 2 + 1.5(15 )272 + 1.5(15 )26 解不等式组得 7x9 x 是整数 x8 17 （4 分）
25、如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，8） ，点 B（8，0） ，点 C 在线段 AB 上，AC22，若以原点 O 为位似中心，把线段 AB 缩小为原来的12，得到线段 AB，则点 C 的对应点 C坐标为 （1，3）或（1，3） 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C点坐标 【解答】解：点 A（0，8） ，点 B（8，0） ，点 C 在线段 AB 上，AC22， AB82， 点 C 坐标为（2，6） ， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的12后得到线段 AB， 点 C的横坐标和纵坐标都变为 C 点的横坐标和纵坐标的一半， 点 C的坐标为（1，3）
26、 在第三象限时，点 C的坐标为（1，3） ， 故答案为： （1，3）或（1，3） 18 （4 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，连接 DC，点 M，P，F分别为 DE，DC，BC 的中点，ADE 可以绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，则PMF 的面积 S 的变化范围是 92S492 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的判定解答，然后根据点 D 在 AB 上时，BD 最小和点 D在 BA 延长线上时，BD 最大矩形分析解答即可 【解答】解：连接 BD，CE， 点 P，M 分别是 CD，DE 的中点， PM=12CE，PMCE， 点 F，M 分
27、别是 BC，DE 的中点， PF=12BD，PFBD， ABC，ADE 均为等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90， BADCAE， ABDACE（SAS） ， BDCE， PMPF， PMF 是等腰三角形， PMCE， DPMDCE， PFBD， PFCDBC， DPFDCB+PFCDCB+DBC， MPFDPM+DPFDCE+DCB+DBCBCE+DBCACB+ACE+DBCACB+ABD+DBCACB+ABC， BAC90， ACB+ABC90， MPF90， PMF 是等腰直角三角形， PMPF=12BD， MF=22BD， 点 D 在 AB 上时，BD 最小， BDA
28、BAD6，MF 的最小值 32， PMF 的面积 S=12 32 12 32 =92； 点 D 在 BA 延长线上时，BD 最大， BDAB+AD14，MF 的最大值为 72， PMF 的面积 S=12 72 1272 =492， 92S492， 故答案为：92S492， 三解答题（共三解答题（共 7 小题，小题，19 题题 16 分，分，2024 题每题题每题 12 分，分，25 题题 14 分，共分，共 90 分）分） 19 （16 分） （1）计算：|3 2| (12);1+ ( 3.14)0+ 845 （2）化简求值：(52 2) 26+92+3，再从1x4 的范围内选取一个你喜欢的整
29、数代入求值 【分析】 （1）先去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算即可 【解答】解： （1）原式23 2+1+22 22 23 2+1+2 33； （2）原式（5;22;4;2）(3)22+3 =(+3)(3)2;2(;3)2+;3 = +33+3 = 33， x3 且 x2， 取 x1， 则原式= 313=32 20 （12 分） “校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分） ，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： （1）求
30、本次比赛参赛选手总人数，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数； （3）成绩在 E 区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率 【分析】 （1）由 D 组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去 A、B、C、D 组人数求出 E 的人数即可补全图形； （2）用 360乘以 E 组人数所占比例即可得； （3）画树状图得出所有等可能结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）本次比赛参赛选手总人数为 925%36（人） ， 则 E 组人数为 36（4+7+11+9）5（人） ， 补全直方图如下： （2）扇形统计图中扇形 E 的圆心角
31、度数为 360536=50 （3）由题意知 E 组中男生有 3 人，女生有 2 人， 画图如下： 共有 20 种等可能结果，其中恰好选中两名女生的有 2 种， 所以恰好选中两名女生的概率为220=110 21 （12 分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售 （20+2x） 件，每件盈利 （40 x） 元； （用 x 的代数式表示）
32、 （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利 1200 元； （3）平均每天盈利 1200 元是最大日盈利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日盈利的最大值 【分析】 （1）根据：销售量原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可； （2）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润每件利润销售数量，列式表示出总利润，根据二次函数的性质即可得出平均日盈利的最大值 【解答】解
33、： （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40 x）元， 故答案为： （20+2x） ， （40 x） ； （2）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件， 根据题意得： （12080 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 为了扩大销售量，尽快减少库存， x20 答：每件童装降价 20 元时，平均每天盈利 1200 元； （3）1200 元不是最大日盈利 设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件， 根据题意得： （12080 x） （20+2x）（20+2x） （40 x）2x2+60 x
34、+8002（x15）2+1250， 所以平均日盈利的最大值为 1250 元 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与双曲线 y=交于点 A（1，n）和点 B（2，1） （1）求 m，n 的值及直线 l 的解析式； （2）点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是线段 AB 上两点且 x1x2，PQ22，若线段 PQ 与双曲线 y=无交点，求 x1的取值范围 【分析】 （1）将 B 代入反比例函数解析式求出 m，再求点 A 坐标，再通过 A，B 坐标求一次函数解析式 （2）当点 Q 与 A 重合时求 x1最大值，点 P 与 B 重合时求 x1最小值 【解答】解： （1）将 B
35、（2，1）代入 y=得 m2， 将 A（1，n）代入 y=2得 n2 点 A 坐标为（1，2） 设直线 l 解析式为：ykx+b， 将 A（1，2） ，B（2，1）代入 ykx+b 得： 2 = + 1 = 2 + ， 解得 = 1 = 1， yx+1 （2）作 ACy 轴，BC 平行于 x 轴交于点 C， ACBC3，ABC 为等腰直角三角形， 作 PEx 轴交 AC 于点 E， 当点 Q 与点 A 重合时， PQE 为等腰直角三角形，PQ22， AEPE2， 点 E 坐标为（1，0） ， 121， 点 P 坐标为（1，0） ， x11 当点 P 与 B 重合时，x12， 2x11 23 （
36、12 分） 如图，在 RtABC 中，C90， AD 平分BAC 交 BC 于点 D， O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的圆 O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF （1）求证：BC 是圆 O 的切线； （2）求证：AD2AFAB； （3）若 BE16，sinB=513，求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OD，证CADODA，则 PDAC，得ODBC90，即可解决问题； （2）连接 DF，先证 EFBC，得AEFB，再由圆周角定理得AEFADF，则BADF，然后证ABDADF，得 AB：ADAD：AF，即可得出结论； （3）先由锐角三角函数定义得 sinB=513，设圆 O
37、 的半径为 r，则:16=513，解得 r10，则 AE20，AB36，再由三角函数定义求出 AF=10013，即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示： AD 平分BAC， BADCAD， OAOD， BADODA， CADODA， PDAC， ODBC90， BCOD， 又OD 是圆 O 的半径， BC 是圆 O 的切线； （2）证明：连接 DF，如图 2 所示： AE 是圆 O 的直径， AFE90， AFEC90， EFBC， AEFB， AEFADF， BADF， 又BADCAD， ABDADF， AB：ADAD：AF， AD2AFAB； （3）解：在 RtBO
38、D 中，sinB=513， 设圆 O 的半径为 r，则:16=513， 解得：r10， AE2r20，ABAE+BE36， 在 RtAEF 中，AFE90，sinAEFsinB=20=513， AF=10013， 由（2）得：AD2AFAB， AD= =10013 36 =601313 24 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上的一个动点（点 E 与点 A，B 不重合） ，连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）如图 1，若 BE1，则 AF 1 ； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）
39、如图 3，若 AB4，连接 AG，当点 E 在边 AB 上运动的过程中AG 是否存在最小值，若存在求出AG 最小值，并求出此时 AE 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由“ASA”可证ABFBCE，可得 BEAF1； （2）由“ASA”可证ABFBCE，可得 BEAF=12AB=12AD，可得 AFDF，由“AAS”可证ABFDHF，可得 ABDHCD，由直角三角形的性质可得结论； （3）以 BC 为直径作O，连接 AO，OG，由题意可得点 G 在以 BC 为直径的O 上，则当点 G 在 AO上时，AG 有最小值，由勾股定理可求 AO 的长，可得 AG25 2，由等腰三角形的性质和全
40、等三角形的性质可得 AFAGBE，即可求解 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，BADCBA90， CEB+BCE90， BFCE， ABF+CEB90， ABFBCE， 又ABBC，FABEBC90， ABFBCE（ASA） ， BEAF1， 故答案为 1； （2）如图 2，延长 CD，BF 交于点 H， 点 E 是 AB 的中点， BE=12AB， 四边形 ABCD 是正方形， CDAB，ADABBC，BADCBA90， CEB+BCE90， BFCE， ABF+CEB90， ABFBCE， 又ABBC，FABEBC90， ABFBCE（ASA） ， BEAF， B
41、EAF=12AB=12AD， AFDF， ABCD， ABFH， 在ABF 和DHF 中， = = = ， ABFDHF（AAS） ABDH， DHCD， 又BFCE， BGH90， DCDHDG （3）如图 3，以 BC 为直径作O，连接 AO，OG， BFCE， BGC90， 点 G 在以 BC 为直径的O 上， 在AGO 中，AGAOGO， 当点 G 在 AO 上时，AG 有最小值， 此时：如图 4， BCAB4，点 O 是 BC 中点， BO2CO， AO= 2+ 2= 4 + 16 =25， AG25 2， OGOB， OBGOGB， ADBC， AFGOBG， AFGOBGOGBA
42、GF， AGAF25 2， 由（2）可得 AFBE25 2， AEABBE4（25 2）625 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图的顶点为点 D，与 y 轴交于点 C，与 x轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点 P 是 x 轴上一动点，当PCD 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）如图，若点 G（2，m）是该抛物线上一点，E 是直线 AG 下方抛物线上的一动点，点 E 到直线 AG的距离为 d，求 d 的最大值 【分析】 （1）由二次函数 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）
43、两点，求得其对称轴，从而可得 b 的值，再将（1，0）代入即可求得 c 的值，则可得抛物线的解析式； （2）作点 C 关于 x 轴的对称点 F，则 F 的坐标为（0，3） ，连接 DF 交 x 轴于顶点 P，此时PCD 的周长最小，用待定系数法求得直线 DF 的解析式，令 y0，可得点 P 的横坐标，则问题得解； （3） 先求得点 G 的坐标， 再用待定系数法求得直线 AG 的解析式； 作 AG 的平行线 MN， 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，过点 A 作 AHMN 于点 H 当直线 MN 与抛物线相切时，点 E 到直线 AG 的距离 dEK最大，设直线 MN 的解析式为 yx+n，
44、将其与抛物线解析式联立，得出关于 x 的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得0，从而可得 n 的值，最后由三角函数求得 AH 的值，即为所求的d 的最大值 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 对称轴为直线 x1， 2=1， b2， yx22x+c， 将（1，0）代入得： 01+2+c， c3， 这个二次函数的解析式为 yx22x3； （2）抛物线 yx22x3 的对称轴为 x1， 顶点 D 的坐标为（1，4） ，点 C 的坐标为（0，3） 作点 C 关于 x 轴的对称点 F， 则 F 的坐标为 （0， 3） ， 连接
45、DF 交 x 轴于顶点 P， 此时PCD 的周长最小，如图： 设直线 DF 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 D（1，4） ，F（0，3）分别代入得： + = 4 = 3， y7x+3， 当 y0 时，x=37， 点 P 的坐标为（37，0） ； （3）抛物线 yx22x3，点 G（2，m）是该抛物线上一点， m222233， 点 G（2，3） ， 设直线 AG 的解析式为：ypx+q（p0） ， 将 A（1，0） ，G（2，3）分别代入得： + = 02 + = 3， 解得 = 1 = 1， 直线 AG 的解析式为：yx1， 作 AG 的平行线 MN，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，过点 A 作 AHMN 于点 H，如图： 当直线 MN 与抛物线相切时，点 E 到直线 AG 的距离 dEK 最大， AGMN， AHEKd 设直线 MN 的解析式为 yx+n，将其与抛物线解析式联立得： = 2 2 3 = + ， x22x3x+n， 整理得：x2x3n0， 当 MN 与抛物线相切时，0， （1）24（3n）0， 解得：n= 134， 直线 MN 的解析式为 yx134， 点 M 的坐标为（134，0） ，点 N 坐标为（0，134） ， AM1（134）=94， OMON=134， AMN45， AHAMsin45 =9422 =928， d 的最大值为928
