1、浙江省杭州市余杭区浙江省杭州市余杭区 2021-2022 学年八年级上期末数学试题学年八年级上期末数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分共分共 30 分）分） 1. 下列各组图形中是全等三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句中是命题有（ ） 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 作点 A 关于直线 l的对称点A 三边对应相等的两个三角形全等吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 已知xy下列式子中成立的是（ ） A. 11xy B. xycc C. 11xy D.
2、xcyc 4. 下列尺规作图分别表示： 作一个角的平分线； 作一个角等于已知角； 作一条线段的垂直平分线 其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数32yx 的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 6. 在平面直角坐标系中，点 P（-3，6）所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在Rt ABCV中，ACB是直角，点 D 是 AB 边上的中点，下列成立的有（ ） 90AB 222ACBCAB 2CDAB 30B A. B. C. D. 8. 检测游
3、泳池的水质，要求三次检验的 pH的平均值不小于 7.2，且不大于 7.8前两次检验，pH 的读数分别是 7.4，7.9，那么第三次检验的 pH应该为多少才能合格？设第 3 次的 pH值为 x，由题意可得（ ） A. 7.2 37.4 7.97.8 3x B. 7.2 37.4 7.97.8 3x C. 7.2 37.4 7.97.8 3x D. 7.2 37.4 7.97.8 3x 9. 如图， 在ABC中，ABBC，ADBC于点D， CE平分ACB交AB于点E， 交AD于点P 若Bx ，则APE的度数为（ ） A. 90 x B. 3454x C. 1452x D. 1454x 10. 已知
4、等边ABC的边长为 12，D是 AB 上的动点，过 D 作 DEBC于点 E，过 E作 EFAC 于点 F，过F作 FGAB 于点 G.当 G与 D 重合时，AD的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4分共分共 24 分）分） 11. 正比例函数3yx的比例系数是_ 12. 命题“等腰三角形底等边上的高线和中线互相重合”的逆命题是_，它是_命题（填“真”或“假”） 13. 不等式1531422xx 的最小负整数解_ 14. 如图，一次函数ykxb图象与 x轴交于点 A（3，0） ，与 y轴交于点 B（0，4） ，与正比
5、例函数yax的图象交于点 C，且点 C的横坐标为 2，则不等式axkx b的解集为_ 15. 已知 A，B 两地相距 80km，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出发到 B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车图中 DE，OC分别表示甲、乙离开 A 地的路程 s（km）与时间（h）的函数关系的图象，则甲与乙的速度之差为_，甲出发后经过_小时追上乙 16. 如图， 在ABCV中，AABCCB， D为 BC中点， 连接 AD， E 是 AB 上的一点， P是 AD上一点，连接 EP、BP，10AC ，12BC ，则EPBP的最小值是_ 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，小题，66 分）分） 17. 以下
6、是圆圆解不等式组2 1213xx 的解答过程： 解：由，得22x，所以4x 由，得13x，所以2x ， 所以2x所以原不等式组的解是2x 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 18. 在CF，AE ，DFCB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答 问题：如图，点 A、D、B、E同一条直线上，ADBE，ADFCBE，若_， 求证：FEAC （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 ） 19. 已知ABCV的三边211amm，2bm，21cm （1）求证：ABCV是直角三角形 （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长
7、均为正整数 20. 已知函数 y=（2m+1）x+m3 （1）若函数图象经过原点 ，求 m 的值； （2）若这个函数是一次函数，且 y 随着 x增大而减小，求 m 的取值范围； （3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求 m 的取值范围 21. 如图，在ABCV中，ABBC，BE 平分ABC，AD 为 BC 边上的高，且ADBD （1）求证：ABECAD （2）试判断线段 AB与 BD，DH 之间有何数量关系，并说明理由 22. 某校八年级举行英语演讲比赛，购买 A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是 12 元和 8元根据比赛设奖情况，需购买笔记本共 30 本 （1）设买
8、 A笔记本 n 本，买两种笔记本的总费为 w元，写出 w（元）关于 n（本）的函数关系式； （2）若所购买 A 笔记本的数量要不多于 B笔记本数量的45，但又不少于 B笔记本数量的15，购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？ （3）若学校根据实际除了 A，B 两种笔记本外，还需一种单价为 10元的 C 笔记本，若购买的总本数不变，C笔记本的数量是 B 笔记本的数量的 2倍，A笔记本的数量不少于 B笔记本的数量，试设计一种符合上述条件购买方案，且使所需费用最少 23. （1） 如图， 在ABCV中， D为ABCV外一点， 若AC平分BAD，CEAB于点E，180BADC，求证：
9、BCCD； 琮琮同学： 我的思路是在 AB 上取一点 F， 使得ADAF， 连结 CF， 先证明ADCVAFC得到DCFC ，再证明CBCF，从而得出结论； 宸宸同学：我觉得也可以过点 C作边 AD的高线 CG，由角平分线的性质得出CGCE，再证明GDCVEBCV，从而得出结论请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程 （2）如图，D、E、F分别是等边ABCV的边 BC、AB，AC上的点，AD平分FDE，且120FDE 求证：BECF 浙江省杭州市余杭区浙江省杭州市余杭区 2021-2022 学年八年级上学期期末数学试题学年八年级上学期期末数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小
10、题小题，每小题 3 分共分共 30 分）分） 1. 下列各组图形中是全等三角形的一组是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可 【详解】解：A不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B符合全等三角形的判定定理 SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意； C只有一个角相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； D只有一条边相等，不符合全等三角形判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理
11、是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 等 2. 下列语句中是命题的有（ ） 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 作点 A 关于直线 l的对称点A 三边对应相等两个三角形全等吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可 【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题； 作点 A 关于直线 l的对称点 A，不是命题； 三边对应相等的两个三角形全等吗？不是命题； 角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题； 故
12、选：B 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 3. 已知xy下列式子中成立的是（ ） A. 11xy B. xycc C. 11xy D. xcyc 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可 【详解】解：Axy， x+1y+1，故本选项符合题意； B当 c=0时，由 xy 不能推出xycc，故本选项不符合题意； Cxy， x+1y+1，故本选项不符合题意； D当 c0时，由 xy 能推出 xcyc，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质，
13、能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质 1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变；不等式的性质 2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质 3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 4. 下列尺规作图分别表示： 作一个角的平分线； 作一个角等于已知角； 作一条线段的垂直平分线 其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案 【详解】解：作一个角的平分线的作法正确； 作一个角等于已知角的方法正确
14、； 作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键 5. 一次函数32yx 的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】画出一次函数的图象即可得到解答 【详解】解：令 x=0，则 y=2，令 x=1，则 y=-1，由此可画出一次函数的图象如下： 由图可知一次函数 y=3x+2 的图像经过第一、二、四象限， 故选 D 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练绘制一次函数图象是解题关键 6. 在平面直角坐标系中，点 P（-
15、3，6）所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可 【详解】解：点 M（-3，6）在第二象限， 故选：B 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（-，+） ；第三象限（-，-） ；第四象限（+，-） 7. 如图，在Rt ABCV中，ACB是直角，点 D 是 AB 边上的中点，下列成立的有（ ） 90AB 222ACBCAB 2CDAB 30B A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【
16、分析】利用直角三角形的性质直接进行判断即可 【详解】解：在 RtABC中，ACB 是直角， A+B=90 ，正确； 根据勾股定理得 AC2+BC2=AB2正确； 点 D是 AB边上的中点， 2CD=AB，故正确； 不能得到B=30 ，错误， 故选：D 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的两瑞角互余、斜边上的中线等于斜边的一半等性质，难度不大 8. 检测游泳池的水质，要求三次检验的 pH的平均值不小于 7.2，且不大于 7.8前两次检验，pH 的读数分别是 7.4，7.9，那么第三次检验的 pH应该为多少才能合格？设第 3 次的 pH值为 x，由题意可
17、得（ ） A. 7.2 37.4 7.97.8 3x B. 7.2 37.4 7.97.8 3x C. 7.2 37.4 7.97.8 3x D. 7.2 37.4 7.97.8 3x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数的定义， 并结合三次检验的 pH的平均值不小于 7.2， 且不大于 7.8 可得 7.27.47.93x7.8，从而得出答案 【详解】解：根据题意知 7.27.47.93x7.8， 7.237.4+7.9+x7.83， 故选：A 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义 9. 如图， 在ABC中，ABBC，ADBC于点D， CE
18、平分ACB交AB于点E， 交AD于点P 若Bx ，则APE的度数为（ ） A. 90 x B. 3454x C. 1452x D. 1454x 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得ACB=12（180 -x）=90 -12x，由角平分线的定义得到ACE=BCE=45 -14x，再根据三角形高的定义得到ADC=90 ，则可根据三角形内角和计算出DPC=45 +x，然后利用对顶角相等APE的度数 【详解】解：AB=BC， ACB=12（180 -x）=90 -12x， CE平分ACB 交 AB 于点 E， ACE=BCE=45 -14x， ADBC 于点 D， ADC=90 ，
19、DPC=45 +14x， APE=45 +14x 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键 10. 已知等边ABC的边长为 12，D是 AB 上的动点，过 D 作 DEBC于点 E，过 E作 EFAC 于点 F，过F作 FGAB 于点 G.当 G与 D 重合时，AD的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【 分 析 】 设 BD=x ， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 A=B=C=60， 由 垂 直 的 定 义 得 到BDF=DEA=EFC=90，解直角三角形即可得到
20、结论. 【详解】设 AD=x， ABC是等边三角形， A=B=C=60， DEBC于点 E，EFAC于点 F，FGAB于点 G， BDF=DEB=EFC=90， AF=2x， CF=12-2x， CE=2CF=24-4x， BE=12-CE=4x-12， BD=2BE=8x-24， AD+BD=AB， 8x-24+x=12， x=4， AD=4. 故选：C. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，此题中设 AD=x 是关键的步骤，由此可以将 BD 用含 x 的代数式表示后得到关于 AB长度的方程，求得 x 的值. 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每
21、小题 4分共分共 24 分）分） 11. 正比例函数3yx的比例系数是_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0）的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数判断即可 【详解】解：正比例函数 y=3x的比例系数是：3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键 12. 命题“等腰三角形底等边上的高线和中线互相重合”的逆命题是_，它是_命题（填“真”或“假”） 【答案】 . 一边上的高线和中线互相重合的三角形是等腰三角形 . 真 【解析】 【详解】 命题“等腰三角形底等边上的高线和中线互相重合”的
22、逆命题是一边上的高线和中线互相重合的三角形是等腰三角形，它是真命题. 故答案为：一边上的高线和中线互相重合的三角形是等腰三角形；真 13. 不等式1531422xx 的最小负整数解_ 【答案】-3 【解析】 【分析】移项，合并同类项，系数化成 1，再求出不等式的最小负整数解即可 【详解】解：1531422xx ， 移项，得1514322xx ， 合并同类项，得 3x-11， 系数化成 1，得 x113， 所以不等式的最小负整数解是-3， 故答案为：-3 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键 14. 如图，一次函数ykxb的图象与
23、x轴交于点 A（3，0） ，与 y轴交于点 B（0，4） ，与正比例函数yax的图象交于点 C，且点 C的横坐标为 2，则不等式axkx b的解集为_ 【答案】x2 【解析】 【分析】观察图象即可求解 【详解】解：由图象可得：当 x2时，axkx+b， 所以不等式 axkx+b的解集为 x2， 故答案为：x2 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键 15. 已知 A，B 两地相距 80km，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出发到 B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车图中 DE，OC分别表示甲、乙离开 A 地的路程 s（km）与时间（h）的函数关系的图象，则甲与乙的速度
24、之差为_，甲出发后经过_小时追上乙 【答案】 . 1003km/h . 1.8 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出甲乙的速度，从而可以解答本题 【详解】解：由题意和图象可得，乙到达 B 地时甲距 A 地 120km， 甲的速度是：120 （3-1）=60km/h， 乙的速度是：80 3=803km/h， 甲与乙的速度之差为 60-803=1003km/h， 设乙出发后被甲追上的时间为 x h， 60（x-1）=803x，解得 x=1.8， 故答案为：1003km/h，1.8 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
25、 16. 如图，在ABCV中，AABCCB，D 为 BC的中点，连接 AD，E是 AB 上的一点，P是 AD上一点，连接 EP、BP，10AC ，12BC ，则EPBP的最小值是_ 【答案】485 【解析】 【分析】要求 BP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化 EP，BP 的值，从而找出其最小值求解 【详解】解：ABC是等腰三角形，AD 是 BC 边的中线， AD垂直平分 BC， 点 D与点 C关于 AD对称， 连接 CE 交 AD于 P，则此时，BP+EP的值最小，且等于 CE 的长， D 为 BC 的中点，BC=12， CD=12 126， AD=22ACCD=8， ABC=ACB，
26、AB=AC=10， CE=12 848105BC ADAB， BP+EP 的最小值为485， 故答案为：485 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题， 等腰三角形性质， 利用等面积法建立等量关系是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，小题，66 分）分） 17. 以下是圆圆解不等式组2 1213xx 的解答过程： 解：由，得22x，所以4x 由，得13x，所以2x ， 所以2x所以原不等式组的解是2x 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【答案】有错误，过程见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
27、找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】解：以上解答过程有错误， 正确解答如下： 由，得：2+2x-2， x-2， 由，得：-1+x3， x4， 所以原不等式组的解集为 x4 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18. 在CF，AE ，DFCB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答 问题：如图，点 A、D、B、E在同一条直线上，ADBE，ADFCBE，若_， 求证：FEAC （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 ） 【答案】A=E（答案
28、不唯一） 【解析】 【分析】由“ASA”可证ABCEDF，可得 EF=AC 【详解】解：若A=E， AD=BE， AB=DE， ADF=CBE， FDE=CBA， 在ABC和EDF中， AEABDECBAFDE ， ABCEDF（ASA） ， EF=AC 故答案为：A=E（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键 19. 已知ABCV的三边211amm，2bm，21cm （1）求证：ABCV是直角三角形 （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数 【答案】 （1）见解析 （2）3，4，5；8，6，10（答案不唯一）
29、【解析】 【分析】 （1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形； （2）依据 m1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长 【19 题详解】 解：ABC的三边 a=m2-1（m1） ，b=2m，c=m2+1， 而当 m1时，m2-1m2+1，2mm2+1， （m2-1）2+（2m）2=m4+1-2m2+4m2=（m2+1）2， 即 a2+b2=c2， ABC是直角三角形； 【20 题详解】 当 m=2 时，直角三角形的边长为 3，4，5； 当 m=3 时，直角三角形的边长为 8，6，10（答案不唯一） 【点睛】本题考查了勾股定理的
30、逆定理的应用，在应用时必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断 20 已知函数 y=（2m+1）x+m3 （1）若函数图象经过原点 ，求 m 的值； （2）若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求 m 的取值范围 【答案】 （1）m=3； （2）m-12； （3）m3 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线 y=kx+b 中，y 随 x 的增大而减小说明 k0； （3）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限要分情况讨论
31、 （1）把（0，0）代入，得 m-3=0，m=3； （2）根据 y 随 x 的增大而减小说明 k0，即 2m+10，m-； （3）若图象经过第一、三象限，得 m=3 若图象经过第一、二、三象限，则 2m+10，m-30，解得 m3， 综上所述：m3 考点：本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质 点评：能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线 y=kx+b 中，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，y 随 x 的增大而减小能够根据 k，b 的符号正确判断直线所经过的象限 21. 如图，在ABCV中，ABBC，BE 平分ABC，AD 为 BC 边上的
32、高，且ADBD （1）求证：ABECAD （2）试判断线段 AB与 BD，DH 之间有何数量关系，并说明理由 【答案】 （1）见解析 （2）AB=BD+CD，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得ABE=CBE，AE=EC，BEAC，由余角的性质可得结论； （2）由“AAS”可证ADCBDH，可得 DH=DC，即可得结论 【21 题详解】 解：证明：AB=BC，BE平分ABC， ABE=CBE，AE=EC，BEAC， BEC=ADC=90 ， C+DAC=C+EBC=90 ， EBC=DAC， ABE=DAC； 【22 题详解】 AB=BD+CD，理由如下： 在ADC和B
33、DH 中， DACDBEADCBDHADBD， ADCBDH（AAS） ， DH=DC， BD+DH=DB+DC=BC=AB 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键 22. 某校八年级举行英语演讲比赛，购买 A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是 12 元和 8元根据比赛设奖情况，需购买笔记本共 30 本 （1）设买 A笔记本 n 本，买两种笔记本的总费为 w元，写出 w（元）关于 n（本）的函数关系式； （2）若所购买 A 笔记本的数量要不多于 B笔记本数量的45，但又不少于 B笔记本数量的15，购买这两种笔记本各多少时，费用最少
34、？最少的费用是多少元？ （3）若学校根据实际除了 A，B 两种笔记本外，还需一种单价为 10元的 C 笔记本，若购买的总本数不变，C笔记本的数量是 B 笔记本的数量的 2倍，A笔记本的数量不少于 B笔记本的数量，试设计一种符合上述条件购买方案，且使所需费用最少 【答案】 （1）w=4n+240 （2）购买 A笔记本 5 本，B 笔记本 25 本费用最少，最少的费用是 260元 （3）购买 A笔记本 9 本，B 笔记本 7本，C笔记本 14 本所需费用最少 【解析】 【分析】 （1）总费用=12 A 种笔记本的本数+8 B 种笔记本的本数； （2）根据所购买 A笔记本的数量要不多于 B 笔记本数
35、量的45，但又不少于 B 笔记本数量的15，可以列出相应的不等式组，从而可以求得 n 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设购买 B 笔记本 a本，根据购买的总本数不变，C 笔记本的数量是 B笔记本的数量的 2 倍，A 笔记本的数量不少于 B笔记本的数量，列不等式组求出 a的取值范围，设购买总费为 W元，根据题意得出 W与 a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可 【22 题详解】 解：由题意可知：w=12n+8（30-n） ， w=4n+240； 【23 题详解】 A笔记本的数量要不多于 B 笔记本数量的45，但又不少于 B 笔记本数量的15， 43051305nnnn，
36、解得 5n1133， n为整数， 5n13， 由（1）可得 w=4n+240， 40， w 随 n 的增大而增大， 当 n=5 时，w 取到最小值为 260元； 答：购买 A笔记本 5本，B 笔记本 25 本费用最少，最少的费用是 260元； 【24 题详解】 设购买 B 笔记本 a 本，则 C笔记本的数量为 2a 本，A 笔记本的数量为（30-3a）本， 根据题意得：30-3aa， 解得：a7.5， a是整数， a7且 a 是整数； 设购买总费为 W元，根据题意得：W=12（30-3a）+8a+10 2a=-8a+360， -80， W随 a的增大而减小， 当 a=7 时，W取到最小值为 3
37、04元； 30-3a=9（本） ， 答：购买 A笔记本 9本，B 笔记本 7本，C笔记本 14 本所需费用最少 【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值 23. （1） 如图， 在ABCV中， D为ABCV外一点， 若AC平分BAD，CEAB于点E，180BADC，求证：BCCD； 琮琮同学： 我的思路是在 AB 上取一点 F， 使得ADAF， 连结 CF， 先证明ADCVAFC得到DCFC ，再证明CBCF，从而得出结论； 宸宸同学：我觉得也可以过点 C作边 AD的高线 CG，由角平
38、分线的性质得出CGCE，再证明GDCVEBCV，从而得出结论请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程 （2）如图，D、E、F分别是等边ABCV的边 BC、AB，AC上的点，AD平分FDE，且120FDE 求证：BECF 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）琮琮同学：在 AB上取一点 F，使得 AD=AF，连结 CF，先证明ADCAFC 得到 DC=FC，再证明 CB=CF，从而得出结论； 宸宸同学：过点 C 作边 AD的高线 CG，由角平分线的性质得出 CG=CE，再证明GDCEBC，从而得出结论； （2）在 DE 上截取 DH=DF，连接 AH，由“SAS”可证
39、ADFADH，可得 AH=AF，AFD=AHD，由等腰三角形的性质可得 AE=AH=AF，可得结论 【详解】解：证明：琮琮同学：如图a，在 AB 上取点 F，使 AF=AD，连接 CF， AC平分BAD， DAC=FAC， 在ADC和AFC中， = = = ， ADCAFC（SAS） ， DC=FC，CDA=CFA， 又B+ADC=180 ，CFE+AFC=180 ， B=CFE， CB=CF， 又DC=FC， CB=DC 宸宸同学：如图b，过点 CGAD交 AD的延长线于 G AC平分DAB，CGAG，CEAB， CG=CE， B+ADC=180 ，CDG+ADC=180 ， CDG=B， 在CGD和CEB 中， = = = ， CGDCEB（AAS） ， CB=CD； （2）如图，在 DE 上截取 DH=DF，连接 AH， AD平分EDF， EDA=HDA， 在ADF和ADH 中， = = = ， ADFADH（SAS） ， AH=AF，AFD=AHD， ABC是等边三角形， AB=AC，BAC=60 ， BAC+EDF=180 ， AED+AFD=180 ， 又AHD+AHE=180 ， AHE=AEH， AE=AH， AE=AF， AB-AE=AC-AF， BE=CF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键
