1、2021-2022 学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级上学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级上期末数学试卷期末数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）一元二次方程 x2160 的根是（ ） A4 B4 C4 D16 2 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A抛一枚硬币正面朝上 B若 a 为实数，则 a20 C某运动员射击一次击中靶心 D明天一定是晴天 4 （3 分）方程 kx26x+10 有实数根，则 k 的取值范
2、围是（ ） Ak9 Bk9 且0 Ck0 Dk9 5（3 分） 把抛物线 yx2向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x+1）2+3 By（x+1）23 Cy（x1）23 Dy（x1）2+3 6 （3 分）如图所示，以 AB 为直径的半圆，绕点 B 顺时针旋转 60，点 A 旋转到点 A，且 AB4，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C8 D 7 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若ADC140，则AOC 的度数为（ ） A25 B80 C130 D100 8 （3 分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为 5，母线长为 30，一
3、只蜘蛛从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点的最短路程是（ ） A8 B C30 D 9 （3 分）如图，点 D 是等边ABC 内一点，AD3，BD3，CD，ACE 是由ABD 绕点 A 逆时针旋转得到的，则ADC 的度数是（ ） A40 B45 C105 D55 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0） 下列说法：abc0，ab0，4a+2b+c0，若（2，y1）是抛物线上的两点，则 y1y2，其中说法正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 1
4、1 （3 分）在函数 y+中，自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）抛物线 yx22x3 的顶点坐标是 13 （3 分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了 100 个智能音箱，三月份比一月份多销售 44 个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为 x，则可列方程为 14 （3 分）一个不透明的袋子里有 3 个球（只有颜色不同） ，其中 2 个是红球，1 个是白球，从中任意摸出1 个球，不放回再摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 15 （3 分）如图，ABC90，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心、BO 长为半径作O，当射线 BA绕点 B 按顺时针方向旋
5、转 度时与O 相切 16 （3 分）圆锥的母线长为 5，高为 3，侧面积为 17 （3 分）在平面直角坐标系中，若干个边长为 1 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点 P从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第 n 秒运动到点 Pn（n 为正整数） ，则点 P2021的坐标是 三、解答题（共三、解答题（共 69 分）分） 18 （5 分）计算 19 （10 分） （1）请你用公式法解方程 3x25x80； （2）请你用因式分解法解方程 x2+4x+30 20 （8 分）如图，已知O 的直径为 AB，ACA
6、B 于点 A，BC 与O 相交于点 D，在 AC 上取一点 E，使得 EDEA （1）求证：ED 是O 的切线 （2）当 OA3，AE4 时，求 BC 的长度 21 （10 分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色 （1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率 （2） 按照以上的摸取方式， 如果想使总的可能结果超过 100 种， 至少需要几个人？ （直接写出结论即可） 22 （10 分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件 30 元，按每件 50 元出
7、售，一个月内可售出 500 件已知这种衬衫每件涨价 1 元，其销售量要减少 10 件， （1）要在一个月内赚取 12000 元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？ （2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？ 23 （12 分）综合与实践 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若MBN45，则 MN，AM，CN 的数量关系为 （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，BCAD，ABBC，A+C180，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若MBNABC，试探索线段 MN、AM、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明 （3）如图
8、 3，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC+ADC180，点 M、N 分别在 DA、CD 的延长线上，若MBNABC，试探究线段 MN、AM、CN 的数量关系为 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+4x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点C，连接 BC，OA1，对称轴为 x2，点 D 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上 C，D 两点之间的距离是 ； （3）点 E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和 CE求BCE 面积的最大值； （4）平面内存在点 Q，使以点 B、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点
9、Q 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）一元二次方程 x2160 的根是（ ） A4 B4 C4 D16 【解答】解：x2160， x216， x4， 故选：C 2 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形； 既是中心对称图形又是轴对称
10、图形的有 1 个， 故选：A 3 （3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A抛一枚硬币正面朝上 B若 a 为实数，则 a20 C某运动员射击一次击中靶心 D明天一定是晴天 【解答】解：A、抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意； B、若 a 为实数，则 a20 是必然事件，故本选项符合题意； C、某运动员射击一次击中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； D、明天一定是晴天是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：B 4 （3 分）方程 kx26x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak9 Bk9 且0 Ck0 Dk9 【解答】解：当 k0 时，6x+10， 解得 x； 当 k
11、0 时，此方程是一元二次方程， 关于 x 的方程 kx26x+10 有实数根， （6）24k0，解得 k9； 故 k 的取值范围是 k9 故选：A 5（3 分） 把抛物线 yx2向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x+1）2+3 By（x+1）23 Cy（x1）23 Dy（x1）2+3 【解答】解：把抛物线 yx2向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到的抛物线解析式是：y（x1）2+3， 故选：D 6 （3 分）如图所示，以 AB 为直径的半圆，绕点 B 顺时针旋转 60，点 A 旋转到点 A，且 AB4，则图中阴影
12、部分的面积是（ ） A B C8 D 【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：+2222， 故选：B 7 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若ADC140，则AOC 的度数为（ ） A25 B80 C130 D100 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， B+ADC180， ADC140， B40， 由圆周角定理得，AOC2B80， 故选：B 8 （3 分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为 5，母线长为 30，一只蜘蛛从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点的最短路程是（ ） A8 B C30 D 【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示： 圆锥的底面周长25
13、10， 设侧面展开图的圆心角的度数为 n 10， 解得 n60， 最短路程为：AA30 故选：C 9 （3 分）如图，点 D 是等边ABC 内一点，AD3，BD3，CD，ACE 是由ABD 绕点 A 逆时针旋转得到的，则ADC 的度数是（ ） A40 B45 C105 D55 【解答】解：连接 DE， 由旋转可知，ACEABD， AEAD3，CEBD3，CD， BADCAE， ABC 是等边三角形， BAC60， BAD+DAC60， CAE+DAC60，即DAE60， DAE 是等边三角形， DEAD3， 32+32（3）2， DE2+CE2CD2， DEC 是直角三角形，且DEC90， D
14、ECE，EDC45， ADCADE+CDE105， 故选：C 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0） 下列说法：abc0，ab0，4a+2b+c0，若（2，y1）是抛物线上的两点，则 y1y2，其中说法正确的是（ ） A B C D 【解答】解：二次函数开口向下， a0， 二次函数交 y 轴正半轴， c0， 对称轴为， b0 abc0，正确； ， ba， b+a0， 错； x2 时，y0，即 4a+2b+c0， 错； （2，y1）关于对称轴为的对称点为（3，y1） ， 当 x时，y 随着 x 的增大而减小， 3， y1y2， 正确；
15、 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 11 （3 分）在函数 y+中，自变量 x 的取值范围是 x3，且 x0 【解答】解：由题意得，x+30，x20， 解得：x3，且 x0 故答案为：x3，且 x0 12 （3 分）抛物线 yx22x3 的顶点坐标是 （1，4） 【解答】解：原抛物线可化为：y（x1）24， 其顶点坐标为（1，4） 故答案为： （1，4） 13 （3 分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了 100 个智能音箱，三月份比一月份多销售 44 个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为 x，则可列方程为 100（1
16、+x）2144 【解答】解：设月平均增长率为 x， 根据题意得：100（1+x）2144 故答案为：100（1+x）2144 14 （3 分）一个不透明的袋子里有 3 个球（只有颜色不同） ，其中 2 个是红球，1 个是白球，从中任意摸出1 个球，不放回再摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 【解答】解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次都摸到红球的有 2 种情况， 两次都摸到红球的概率为 15 （3 分）如图，ABC90，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心、BO 长为半径作O，当射线 BA绕点 B 按顺时针方向旋转 60 或 120 度时与O 相切 【解答】解：射
17、线 BA 绕点 B 顺时针旋转 60 度或 120 度时与圆 O 相切 证明：将射线 BA 绕点 B 顺时针旋转 60时，记为射线 BE， 作 ODBE，垂足为 D， 在直角三角形 BOD 中，DBOABO6030， ODBO，即为O 的半径， BE 与O 相切 射线 BA 绕点 B 顺时针旋转 120时，同理可证 故答案是：60 或 120 16 （3 分）圆锥的母线长为 5，高为 3，侧面积为 20 【解答】解：圆锥的底面圆的半径为4， 所以该圆锥的侧面积24520 故答案为：20 17 （3 分）在平面直角坐标系中，若干个边长为 1 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点 P从原点
18、 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第 n 秒运动到点 Pn（n 为正整数） ，则点 P2021的坐标是 （，） 【解答】解：每 6 个点的纵坐标规律：，0，0，0， 202163365， 点 P2021的纵坐标为， 动点 P 的横坐标规律：，1，2，3， 点 P2021的横坐标为， 点 P2021的坐标（，） ， 故答案为（，） 三、解答题（共三、解答题（共 69 分）分） 18 （5 分）计算 【解答】解： 2+111（11） 1211+ 1+ 19 （10 分） （1）请你用公式法解方程 3x25x80； （2
19、）请你用因式分解法解方程 x2+4x+30 【解答】解： （1）a3，b5，c8， （5）243（8）1210， 则 x， x1，x21； （2）x2+4x+30， （x+1） （x+3）0， x+10 或 x+30， 解得 x11，x23 20 （8 分）如图，已知O 的直径为 AB，ACAB 于点 A，BC 与O 相交于点 D，在 AC 上取一点 E，使得 EDEA （1）求证：ED 是O 的切线 （2）当 OA3，AE4 时，求 BC 的长度 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD ACAB， BAC90，即OAE90 在AOE 与DOE 中， ， AOEDOE（SSS） ， OAEOD
20、E90，即 ODED 又OD 是O 的半径， ED 是O 的切线； （2）解：如图，在OAE 中，OAE90，OA3，AE4， 由勾股定理易求 OE5 AB 是直径， ADB90，即 ADBC 又由（1）知，AOEDOE， AEODEO， 又AEDE， OEAD， OEBC， BC2OE10，即 BC 的长度是 10 21 （10 分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色 （1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率 （2） 按照以上的摸取方式，
21、如果想使总的可能结果超过 100 种， 至少需要几个人？ （直接写出结论即可） 【解答】解： （1）根据题意得： 共有 27 种等可能的情况数，其中三个人摸取的小球颜色相同的有 3 种， 则三个人摸取的小球颜色相同的概率是； （2）设有 x 个同学，根据题意得： 3x100， 3481，35243，81100243， x 取最小整数位 5， 如果想使总的可能结果超过 100 种，至少需要 5 个人 22 （10 分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件 30 元，按每件 50 元出售，一个月内可售出 500 件已知这种衬衫每件涨价 1 元，其销售量要减少 10 件， （1）要在一个月内赚取 120
22、00 元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？ （2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？ 【解答】解： （1）设售价应定为每件 x 元， 由题意可得： （x30）500（x50）1012000， 解得 x160，x270， 要减少库存， x60， 答：售价应定为每件 60 元； （2）设利润为 w 元，售价为每件 a 元， 由题意可得：w（a30）500（a50）1010（a65）2+12250， 当 a65 时，w 取得最大值，此时 w12250， 答：要想一个月内获得的利润最大，该商场售价为每件 65 元 23 （12 分）综合与实践 （1）如图 1，在正方形
23、ABCD 中，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若MBN45，则 MN，AM，CN 的数量关系为 MNAM+CN （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，BCAD，ABBC，A+C180，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若MBNABC，试探索线段 MN、AM、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC+ADC180，点 M、N 分别在 DA、CD 的延长线上，若MBNABC，试探究线段 MN、AM、CN 的数量关系为 MNCNAM 【解答】解： （1）结论：MNAM+CN 理由：如图 1 中，把ABM 绕点 B 顺时针旋转使
24、AB 边与 BC 边重合，则ABMCBM， 四边形 ABCD 是正方形， ABCDABCBCM90， NCM180， N，C，M共线， ABMCBM， MBMABC90， MBN45， MBNMBN45， 在BNM 和BNM中， ， NBMNBM（SAS） ， MNNM， AMCM， MNAM+CN 故答案为：MNAM+CN； （2）结论：MNAM+CN 理由：如图 2 中，把ABM 绕点 B 顺时针旋转使 AB 边与 BC 边重合，则ABMCBM， BCAD，ABBCCD， 梯形 ABCD 是等腰梯形， A+BCD180， AMCM，BMBM，ABCM，ABMMBC， BCM+BCD180，
25、 点 M、C、N 三点共线， MBNABC， MBNMBC+CBNABM+CBNABCMBNABC， MBNMBN， 在BMN 和BMN 中， ， BMNBMN（SAS） ， MNMN， 又MNCM+CNAM+CN， MNAM+CN； （3）结论：MNCNAM 理由：如图 3 中，作CBMABM 交 CN 于点 M， ABC+ADC180， BAD+C360180180， 又BAD+BAM180， CBAM， 在ABM 和CBM中， ， ABMCBM（ASA） ， AMCM，BMBM， MBNABC， MBNABC （ABN+CBM） ABC （ABN+ABM） ABCMBNABC， MBNM
26、BN， 在MBN 和MBN 中， ， MBNMBN（SAS） ， MNMN， MNCNCMCNAM， MNCNAM 故答案为：MNCNAM 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+4x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点C，连接 BC，OA1，对称轴为 x2，点 D 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上 C，D 两点之间的距离是 2 ； （3）点 E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和 CE求BCE 面积的最大值； （4）平面内存在点 Q，使以点 B、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 Q 的坐标 【解答】解
27、： （1）OA1， A（1，0） ， 对称轴为 x2， B（5，0） ， 将 A（1，0） ，B（5，0）代入 yax2+4x+c， ， ， yx2+4x+5； （2）令 x0，则 y5， C（0，5） ， yx2+4x+5（x2）2+9， D（2，9） ， CD2， 故答案为：2； （3）设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， ， yx+5， 过点 E 作 EFx 轴交直线 BC 于点 F， 设 E（t，t2+4t+5） ，则 F（t，t+5） ， EFt2+5t， SBCE5（t2+5t）（t）2+， 当 t时，SBCE有最大值； （4）设 Q（m，n） ， 当 BD 为平行四边形对角线时， BD 的中点（，） ，CQ 的中点（，） ， ， m7，n4， Q（7，4） ； 当 BC 为平行四边形对角线时， BC 的中点（，） ，DQ 的中点（，） ， ， m3，n4， Q（3，4） ； 当 BQ 为平行四边形对角线时， BQ 的中点（，） ，CD 的中点（1，7） ， 1，7， m3，n14， Q（3，14） ； 综上所述：Q 点坐标为（7，4）或（3，4）或（3，14）
