1、2021-2022 学年黑龙江省大庆市肇源县九年级上学年黑龙江省大庆市肇源县九年级上期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）下列函数中是二次函数的是（ ） Ay2x By Cy13x2 Dyx+3 2 （3 分）如图，在 45 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 sinACB 的值为（ ） A B C D 3 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx22x1 先向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，所得的抛物线的解析
2、式是（ ） Ay（x+1）2+1 By（x3）2+1 Cy（x3）25 Dy（x+1）2+2 4（3 分） 如图， 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象经过原点 O， 与 x 轴另一个交点为 A 点， 则方程 ax2+bx+c0 的解是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D0 和一个正根 5 （3 分）如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 AC6 米，ACB50，则 BC 的长为（ ） A6cos50米 B6sin50米 C米 D米 6 （3 分）O 的半径 r10cm，圆心到直线 l 的距离 OM8cm，在直线 l 上有一点 P 且 PM6cm，则点 P（
3、） A在O 内 B在O 上 C在O 外 D可能在O 内也可能在O 外 7 （3 分）如图，A，B，C，D 都是O 上的点，OABC，垂足为 E，若ADC35，则OBC（ ） A15 B20 C30 D35 8 （3 分）如图，ABC 内接于O，B65，C70若 BC3，则弧 BC 的长为（ ） A B C D3 9 （3 分）如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切于点 E，交 PA、PB 于 C、D，若PCD 的周长等于 4，则线段 PA 的长是（ ） A4 B8 C2 D1 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（
4、1，0） ，其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 3a+c0； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11 （3 分）若 sinA，则锐角A 的度数为 12 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（2，y2） ，C（0，y3）都在二次函数 yx22x+4 的图象上，y1，y2，y3的大小关系是 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，D 为
5、BC 上一点，DAC30，BD2，则 AC 的长是 14（3分） 已知O的直径是4， O上两点B、 C分O所得的劣弧与优弧之比为1： 3， 则弦BC的长为 15 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BAC30，D 是弧 AC 上任意一点，则D 16 （3 分）某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是 20 万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为 x，那么第一季度防疫护目镜的产量 y（万件）与 x 之间的关系应表示为 17 （3 分）如图，ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD2，ABC 的周长为 14，则 BC 的长为 18 （3 分）如图，在等腰
6、 RtABC 中，BAC90，ABAC，BC，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （4 分）计算： （）02sin30+（）1 20 （5 分）已知 y（m+3）xm2+4m3+5 是关于 x 的二次函数 （1）求 m 的值 （2）当 m 为何值时，该函数图象的开口向上？ （3）当 m 为何值时，该函数有最大值？ 21 （6 分）如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 12m，为了使拉线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路
7、的另一边竖立了一根为 6m 的水泥撑杆 BD， 用于撑起电线 已知两根杆子之间的距离为 8m，电线 CD 与水平线 AC 的夹角为 60求电线 CDE 的总长 L（A、B、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计） 22 （6 分）已知：抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（5，0）两点，顶点为 P求： （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP 的面积 23 （6 分）如图，在ABC 中，sinB，点 F 在 BC 上，ABAF5，过点 F 作 EFCB 交 AC 于点 E，且 AE：EC3：5，求 BF 的长与 sinC 的值 24 （7 分）如图，在 RtABC 中
8、，ACB90，A30，BC4，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB于点 D （1）证明：AD3BD； （2）求弧 BD 的长度； （3）求阴影部分的面积 25 （7 分）如图，OD 是O 的半径，AB 是弦，且 ODAB 于点 C 连接 AO 并延长交O 于点 E，若 AB8，CD2，求O 半径 OA 的长 26 （8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低 1 元，每天销量可增加 50 千克 （1） 写出工厂每
9、天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系 当降价 2 元时， 工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？ 27 （8 分）如图，直角三角形 ABC 内接于圆 O，点 D 是斜边 AB 上一点，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作ECPAED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连接 PO 交圆 O 于 F （1）求证：PC 是圆 O 的切线； （2）若 PC6，PF2，求 AB 的值 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两
10、点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O， D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）下列函数中是二次函数的是（ ） Ay2x By Cy13
11、x2 Dyx+3 【解答】解：A、y2x，是正比例函数，不合题意； B、y，是反比例函数，不合题意； C、y13x2，是二次函数，符合题意； D、yx+3，是一次函数，不合题意； 故选：C 2 （3 分）如图，在 45 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 sinACB 的值为（ ） A B C D 【解答】解：如图，过点 A 作 AHBC 于 H 在 RtACH 中，AH4，CH3， AC5， sinACH， 故选：D 3 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx22x1 先向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，所得的抛
12、物线的解析式是（ ） Ay（x+1）2+1 By（x3）2+1 Cy（x3）25 Dy（x+1）2+2 【解答】解：抛物线 yx22x1 可化简为 y（x1）22，先向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2个单位长度， 所得的抛物线的解析式 y（x1+2）22+3（x+1）2+1； 故选：A 4（3 分） 如图， 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象经过原点 O， 与 x 轴另一个交点为 A 点， 则方程 ax2+bx+c0 的解是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D0 和一个正根 【解答】解：抛物线经过原点和点 A，且点 A 在 x 轴正半轴， x0 或 xxA
13、是方程 ax2+bx+c0 的解， 故选：D 5 （3 分）如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 AC6 米，ACB50，则 BC 的长为（ ） A6cos50米 B6sin50米 C米 D米 【解答】解：在 RtABC 中，cos50， AC6 米， BC6cos50， 故选：A 6 （3 分）O 的半径 r10cm，圆心到直线 l 的距离 OM8cm，在直线 l 上有一点 P 且 PM6cm，则点 P（ ） A在O 内 B在O 上 C在O 外 D可能在O 内也可能在O 外 【解答】解：O 的半径 r10cm，圆心到直线 l 的距离 OM8cm， 在直线 l 上有一点 P 且 PM6c
14、m， MP6，OM8， PO10， 点 P 在圆上 故选：B 7 （3 分）如图，A，B，C，D 都是O 上的点，OABC，垂足为 E，若ADC35，则OBC（ ） A15 B20 C30 D35 【解答】解：如图所示： ADC35， 的度数是 70， OABC，OA 过圆心 O， ， 的度数是 70， AOB70， OABC， OEB90， OBC90AOB907020， 故选：B 8 （3 分）如图，ABC 内接于O，B65，C70若 BC3，则弧 BC 的长为（ ） A B C D3 【解答】解：连接 OB、OC， ABC65，ACB70， A180ABCACB45， 由圆周角定理得：B
15、OC2A90， OBOC，BC3， OB33， 的长， 故选：B 9 （3 分）如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切于点 E，交 PA、PB 于 C、D，若PCD 的周长等于 4，则线段 PA 的长是（ ） A4 B8 C2 D1 【解答】解：PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D， ACEC，DEDB，PAPB PCD 的周长等于 4， PC+CD+PD4， PA+PB4， PA2 故选：C 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，其部分图象如图所示，下列
16、结论： 4acb2； 3a+c0； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 而点（1，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（3，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23，所以正确； x1，即 b2a， 而 x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0） ， （
17、3，0） ， 当 y0 时，x 的取值范围是1x3，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以错误 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11 （3 分）若 sinA，则锐角A 的度数为 30 【解答】解：sinA， 锐角A 的度数为 30 故答案为：30 12 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（2，y2） ，C（0，y3）都在二次函数 yx22x+4 的图象上，y1，y2，y3的大小关系是 y2y1y3 【解答】解：x2 时，y144+44， x2 时，y24+4+412， x0 时，y34，
18、 y2y1y3， 故答案为 y2y1y3 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，D 为 BC 上一点，DAC30，BD2，则 AC 的长是 【解答】解：设 CDx，则 ACx， AC2+BC2AB2，AC2+（CD+BD）2AB2， （ x）2+（x+2）2（2 ）2， 解得，x1，AC 故答案为 14 （3 分）已知O 的直径是 4，O 上两点 B、C 分O 所得的劣弧与优弧之比为 1：3，则弦 BC 的长为 2 【解答】解：圆的一条弦把圆分成度数的比为 1：3 的两条弧， 劣弧的度数为 90， 劣弧所对的圆心角的度数 90， r2， BC2 故答案为：2 15 （3 分）如图，AB
19、是O 的直径，BAC30，D 是弧 AC 上任意一点，则D 120 【解答】解：AB 是直径， ACB90， BAC30， ABC60， ADC+ABC180， ADC18060120， 故答案为：120 16 （3 分）某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是 20 万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为 x，那么第一季度防疫护目镜的产量 y（万件）与 x 之间的关系应表示为 y20+20（x+1）+20（x+1）2 【解答】解：y 与 x 之间的关系应表示为：y20+20（x+1）+20（x+1）2 故答案为：y20+20（x+1）+20（x+1）2 17 （3 分）如图，ABC
20、的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD2，ABC 的周长为 14，则 BC 的长为 5 【解答】解：O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F AFAD2，BDBE，CECF， ABC 的周长为 14， AD+AF+BE+BD+CE+CF14， 2（BE+CE）10， BC5 故答案为：5 18 （3 分）如图，在等腰 RtABC 中，BAC90，ABAC，BC，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为 22 【解答】解：连接 AE，如图 1， BAC90，ABAC，BC， ABAC4，
21、 AD 为直径， AED90， AEB90， 点 E 在以 AB 为直径的O 上， O 的半径为 2， 当点 O、E、C 共线时，CE 最小，如图 2， 在 RtAOC 中，OA2，AC4， OC2， CEOCOE22， 即线段 CE 长度的最小值为 22 故答案为 22 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （4 分）计算： （）02sin30+（）1 【解答】解：原式12+2+2 11+2+2 4 20 （5 分）已知 y（m+3）xm2+4m3+5 是关于 x 的二次函数 （1）求 m 的值 （2）当 m 为何值时，该函数图象的开口向上？
22、 （3）当 m 为何值时，该函数有最大值？ 【解答】解： （1）函数 y（m+3）xm2+4m3+5 是关于 x 的二次函数， m2+4m32，m+30， 解得：m15，m21， m 的值为5 或 1； （2）函数图象的开口向上， m+30， m3， 当 m1 时，该函数图象的开口向上； （3）当 m+30 时，抛物线有最高点，函数有最大值， m3， 又m5 或 1， 当 m5 时，该函数有最大值 21 （6 分）如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 12m，为了使拉线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为 6m 的水泥撑杆 BD， 用于撑起电线 已知两根杆子之间
23、的距离为 8m，电线 CD 与水平线 AC 的夹角为 60求电线 CDE 的总长 L（A、B、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计） 【解答】解：作 DFAE 于点 F，则四边形 ABDF 是矩形DFAB8（米） ， EFAEAFAEBD1266（m） 在直角DEF 中，DE10（m） 在直角BCD 中，sinDCB， 则 DCBD4（m） 则电线 CDE 的总长 LDE+DC10+4（m） 答：电线 CDE 的总长 L 是（10+4）m 22 （6 分）已知：抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（5，0）两点，顶点为 P求： （1）求抛物线的解析式； （2）求AB
24、P 的面积 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 y（x+1） （x5） ， 所以 yx2+4x+5； （2）因为 yx2+4x+5（x2）2+9， 则 P 点坐标为（2，9） ， 所以ABP 的面积6927 23 （6 分）如图，在ABC 中，sinB，点 F 在 BC 上，ABAF5，过点 F 作 EFCB 交 AC 于点 E，且 AE：EC3：5，求 BF 的长与 sinC 的值 【解答】解：过点 A 作 ADCB，垂足为点 D， ， ， 在 RtABD 中， ABAF ADCB， BF2BD6， EFCB ADCB， EFAD， ， AE：EC3：5DFBD3， CF5， CD8，
25、在 RtABD 中， 在 RtACD 中， 24 （7 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC4，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB于点 D （1）证明：AD3BD； （2）求弧 BD 的长度； （3）求阴影部分的面积 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ACB90，A30， B60， COD120， BC4，BC 为半圆 O 的直径， CDB90， BCD30， BC2BD， A30， AB2BC4BD， AD3BD； （2）由（1）得B60， OCODOB2， 弧 BD 的长为； （3）BC4，BCD30， CDBC2， 图中阴影部分的面积S扇形CODSCOD21
26、 25 （7 分）如图，OD 是O 的半径，AB 是弦，且 ODAB 于点 C 连接 AO 并延长交O 于点 E，若 AB8，CD2，求O 半径 OA 的长 【解答】解：OD弦 AB，AB8， AC4， 设O 的半径 OAr， OCODCDr2， 在 RtOAC 中， r2（r2）2+42， 解得：r5， 26 （8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低 1 元，每天销量可增加 50 千克 （1） 写出工厂每天的利
27、润 W 元与降价 x 元之间的函数关系 当降价 2 元时， 工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【解答】解： （1）由题意得： W（4830 x） （500+50 x）50 x2+400 x+9000， x2 时，W（48302） （500+502）9600（元） ， 答：工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系为 W50 x2+400 x+9000，当降价 2 元时，工厂每天的利润为 9600 元； （2）由（1）得：W50 x2+400 x+900050（x
28、4）2+9800， 500， x4 时，W 最大为 9800， 即当降价 4 元时，工厂每天的利润最大，最大为 9800 元； （3）50 x2+400 x+90009750， 解得：x13，x25， 让利于民， x13 不合题意，舍去， 定价应为 48543（元） ， 答：定价应为 43 元 27 （8 分）如图，直角三角形 ABC 内接于圆 O，点 D 是斜边 AB 上一点，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作ECPAED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连接 PO 交圆 O 于 F （1）求证：PC 是圆 O 的切线； （2）若 PC6，PF2，求 AB 的值 【解答
29、】 （1）证明：如图，连接 OC， OAOC， AOCA， DEAB， A+AED90， ECPAED， OCA+ECP90， OC 是圆 O 的半径， PC 是圆 O 的切线； （2）由题（1）已证得OCP90， 设 OCx，则 OFx， 在直角三角形 OCP 中，OC2+PC2OP2，即 x2+62（x+2）2， 解得：x8， AB16 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横
30、坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O， D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设 OBt，则 OA2t，则点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （t，0） ， 则 x（2tt） ，解得：t1， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （1，0） ， 则抛物线的表达式为：ya（x2） （x+1）ax2+bx+2， 解得：a1，b1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于 yx2+x+2，令 x0，则 y2，故点 C（0，2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ， 则 DFm2+m+2（m+2）m2+2m， 10，故 DF 有最大值，DF 最大时 m1， 点 D（1，2） ； （3）存在，理由： 点 D（m，m2+m+2） （m0） ，则 OEm，DEm2+m+2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似， 则，即或 2，即或 2， 解得：m1 或2（舍去）或或（舍去） ， 经检验 m1 或是方程的解， 故 m1 或
