1、2022北京房山高三（上）期末数学试卷本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，且，则实数取值的集合是（A）（B）（C）（D）（2）复数的实部是（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数是（A）（B）（C）（D）（4）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（5）周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、
2、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（A）尺（B）尺（C）尺（D）尺（6）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）“”是“直线与圆相交”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为 （A）（B）（C）（D）（9）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.下列说法中正确的是（A）第5个月时，浮萍面积就会超过（B）浮萍面
3、积每月的增长率不相等（C）浮萍每月增加的面积都相等（D）若浮萍面积为，时所对应的时间分别是，则（10）某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面是四位同学提出的结论：甲：曲线关于原点对称；乙：曲线都关于直线对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.四位同学的结论中错误的是（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）抛物线的顶点到其准线的距离为 .（12）在中，则_，的面积_（13）如图，网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则_；的最大值为_.（14）无穷数
4、列的前n项和记为若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为_（15）设函数 给出下列四个结论：函数的值域是；对，方程都有3个实数根；，使得；若互不相等的实数满足，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值.条件：的最大值为；条件：的一个对称中心为；条件：的一条对称轴为注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本
5、小题14分）如图，梯形，所在的平面互相垂直，点为棱的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离（18）（本小题14分）某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果一般的，果径越大售价越高为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验其中实验园采用实验方案，对照园未采用实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：21，26），26，31），31，36），36，41），41，46（单位：mm）统计后分别制成如下的频率分布直方
6、图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”（）估计实验园的“大果”率；（）现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；（）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜率之和为，判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.（20）（本小题15分）已知函数，函数，其中 （）
7、如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程；（）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围（21）（本小题14分）若数列 满足，则称为数列记 （）写出一个满足，且的数列；（）若，证明数列是递减数列的充要条件是；（）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.2022北京房山高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BCACDABCDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11） （12） （13）（14）答案不唯一，如；等比数列中， （15）三、解答题共6小题，共85分。 解答
8、应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（）函数的最小正周期.3（7）（）选择条件：由的最大值为，可知，所以.2（9）所以因为，所以.1所以 当，即时， .2取得最小值 .2（14）选择条件：由的一个对称中心为，可知，所以 .2所以因为，所以 .1所以 当，即时， .2取得最小值 .2（14）（17）（本小题14分）（）证明：因为，所以 又，所以平面.3（）证明：因为平面，所以又所以两两互相垂直.1如图以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.1由,可知，,，设为平面的一个法向量，则，即，.1令则，所以，.1设为平面的一个法向量，则，即，.1令则，所以，.1则.2易
9、知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.1（）由，得因为所以与平面不平行，所以直线与平面相交.1在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知，所以.1（18）（本小题14分）（）由实验园的频率分布直方图得：所以估计实验园的“大果”率为.3（）由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为：个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个.1从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，则的可能取值为，.1.4所以的分布列为：0123.1所以.2（）.2（19）（本小题14分）（）由离心率为，可得.1因为为椭圆的上、下顶点，且，所以即,1又解得.1所以椭圆的标准方
10、程为.1（4）（）直线经过定点，证明如下：.1当直线的斜率存在时，设，()，由，得，.1则.1设则，.2则.2所以.1所以直线的方程为，即所以直线经过定点.1当直线的斜率不存在时，设， 则解得，此时直线也经过定点.1综上直线经过定点（20）（本小题15分）（）.2由题意，公共切线的斜率，即.1又因为，所以切线方程为.1（4）（）设函数“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”当时，当时，所以在单调递增又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意.3当时，令，解得与的变化情况如下：0所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，故有且仅有一个零点，符合题意.3当时，令，解得与的变化情况如下：0所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，因为，且在上单调递增，所以又因为存在，使得所以存在使得，所以函数存在两个零点，与题意不符.4综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是或.1（21）（本小题14分）（）（或）.3（）必要性：因为数列是递减数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.3充分性：由于， 所以，即，因为，所以，所以数列是递减数列.综上，结论得证.3（）令，则因为，所以因为，所以为偶数，所以为偶数所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或当时，数列的项满足，时，有，；当时，数列的项满足，时，有，当，时，不能被整除，此时不存在数列使得，.5
