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2022年北京市房山区高三上期末数学试卷(含答案)

1、2022北京房山高三(上)期末数学试卷本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,且,则实数取值的集合是(A)(B)(C)(D)(2)复数的实部是(A)(B)(C)(D)(3)在的展开式中,的系数是(A)(B)(C)(D)(4)下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的是(A)(B)(C)(D)(5)周髀算经中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、

2、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为尺,春分当日日影长为尺,则立夏当日日影长为(A)尺(B)尺(C)尺(D)尺(6)已知双曲线的焦距为10,点在的渐近线上,则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)(7)“”是“直线与圆相交”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)正四面体的棱长为1,现将正四面体绕着旋转,则所经过的区域构成的几何体的体积为 (A)(B)(C)(D)(9)如图,某池塘里浮萍的面积(单位:)与时间(单位:月)的关系为.下列说法中正确的是(A)第5个月时,浮萍面积就会超过(B)浮萍面

3、积每月的增长率不相等(C)浮萍每月增加的面积都相等(D)若浮萍面积为,时所对应的时间分别是,则(10)某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质,下面是四位同学提出的结论:甲:曲线关于原点对称;乙:曲线都关于直线对称;丙:曲线与坐标轴在第一象限围成的面积;丁:曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.四位同学的结论中错误的是(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)抛物线的顶点到其准线的距离为 .(12)在中,则_,的面积_(13)如图,网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始点和终点,则_;的最大值为_.(14)无穷数

4、列的前n项和记为若是递增数列,而是递减数列,则数列的通项公式可以为_(15)设函数 给出下列四个结论:函数的值域是;对,方程都有3个实数根;,使得;若互不相等的实数满足,则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题,共85分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)已知函数.()求函数的最小正周期;()在下列三个条件中,选择一个作为已知,使得实数的值唯一确定,求函数在上的最小值.条件:的最大值为;条件:的一个对称中心为;条件:的一条对称轴为注:如果选择的条件不符合要求,第()问得0 分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分(17)(本

5、小题14分)如图,梯形,所在的平面互相垂直,点为棱的中点()求证:平面;()求二面角的余弦值;()判断直线与平面是否相交,如果相交,求出到交点的距离;如果不相交,求直线到平面的距离(18)(本小题14分)某种水果按照果径大小分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果一般的,果径越大售价越高为帮助果农创收,提高水果的果径,某科研小组设计了一套方案,并在两片果园中进行对比实验其中实验园采用实验方案,对照园未采用实验周期结束后,分别在两片果园中各随机选取100个果实,按果径分成5组进行统计:21,26),26,31),31,36),36,41),41,46(单位:mm)统计后分别制成如下的频率分布直方

6、图,并规定果径达到36mm及以上的为“大果”()估计实验园的“大果”率;()现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个,再从这10个果实中随机抽取3个,记“大果”个数为,求的分布列和数学期望的;()以频率估计概率,从对照园这批果实中随机抽取个,设其中恰有2个“大果”的概率为,当最大时,写出的值(只需写出结论).(19)(本小题14分)已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且.()求椭圆的标准方程;()设直线与椭圆交于(不与点重合)两点,若直线与直线的斜率之和为,判断直线是否经过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.(20)(本小题15分)已知函数,函数,其中 ()

7、如果曲线与在处具有公共的切线,求的值及切线方程;()如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围(21)(本小题14分)若数列 满足,则称为数列记 ()写出一个满足,且的数列;()若,证明数列是递减数列的充要条件是;()对任意给定的整数,是否存在首项为的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.2022北京房山高三(上)期末数学参考答案一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。12345678910BCACDABCDC二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11) (12) (13)(14)答案不唯一,如;等比数列中, (15)三、解答题共6小题,共85分。 解答

8、应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)()函数的最小正周期.3(7)()选择条件:由的最大值为,可知,所以.2(9)所以因为,所以.1所以 当,即时, .2取得最小值 .2(14)选择条件:由的一个对称中心为,可知,所以 .2所以因为,所以 .1所以 当,即时, .2取得最小值 .2(14)(17)(本小题14分)()证明:因为,所以 又,所以平面.3()证明:因为平面,所以又所以两两互相垂直.1如图以为原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.1由,可知,,,设为平面的一个法向量,则,即,.1令则,所以,.1设为平面的一个法向量,则,即,.1令则,所以,.1则.2易

9、知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.1()由,得因为所以与平面不平行,所以直线与平面相交.1在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知,所以.1(18)(本小题14分)()由实验园的频率分布直方图得:所以估计实验园的“大果”率为.3()由对照园的频率分布直方图得:这个果实中大果的个数为:个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个,其中大果有个.1从这10个果实中随机抽取3个,记“大果”个数为,则的可能取值为,.1.4所以的分布列为:0123.1所以.2().2(19)(本小题14分)()由离心率为,可得.1因为为椭圆的上、下顶点,且,所以即,1又解得.1所以椭圆的标准方

10、程为.1(4)()直线经过定点,证明如下:.1当直线的斜率存在时,设,(),由,得,.1则.1设则,.2则.2所以.1所以直线的方程为,即所以直线经过定点.1当直线的斜率不存在时,设, 则解得,此时直线也经过定点.1综上直线经过定点(20)(本小题15分)().2由题意,公共切线的斜率,即.1又因为,所以切线方程为.1(4)()设函数“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”当时,当时,所以在单调递增又因为,所以有且仅有一个零点,符合题意.3当时,令,解得与的变化情况如下:0所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,故有且仅有一个零点,符合题意.3当时,令,解得与的变化情况如下:0所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,因为,且在上单调递增,所以又因为存在,使得所以存在使得,所以函数存在两个零点,与题意不符.4综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的范围是或.1(21)(本小题14分)()(或).3()必要性:因为数列是递减数列,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以.3充分性:由于, 所以,即,因为,所以,所以数列是递减数列.综上,结论得证.3()令,则因为,所以因为,所以为偶数,所以为偶数所以要使,必须使为偶数,即整除,亦即或当时,数列的项满足,时,有,;当时,数列的项满足,时,有,当,时,不能被整除,此时不存在数列使得,.5