2022年北京市丰台区高三上期末数学试卷(含答案)

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1、20222022 北京丰台高三(上)期末数学北京丰台高三(上)期末数学试卷试卷 第一部分第一部分 (选择题 共 40分) 一、选择题一、选择题共共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 1若集合 | 12Axx , |1Bx x或3x ,则AB I (A) | 13xx (B) | 11xx (C) |12xx (D) |23xx 2在复平面内,复数11 i对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3已知等差数列 na的前n项和为nS若,则

2、4a (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4下列函数中,既是奇函数又在区间( 11) ,上单调递增的是 (A)yx (B)3yx (C)cosyx (D)12(1)yx 5已知,是两个不同的平面,直线l,那么“”是“l”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6已知抛物线2:8C yx的焦点为F,点M在C上. 若O是坐标原点,| 6FM ,则OF OM g (A)8 (B)12 (C)8 2 (D) 8 3 7为普及冬奥知识,某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛. 根据参赛学生的成绩,得到如图所示的频率分布直方图. 若要对 40

3、%成绩较高的学生进行奖励,则获奖学生的最低成绩可能为 (A)65 (B)75 (C)85 (D)95 8. 已知函数2|21|1( )(1)1.xxf xxx, 若函数( )( )g xf xk有两个不同的零点,则实数的取值范围是 (A)(0, (B)(0 1, (C)( 1 0 , (D)0 1), 9. 声强级IL(单位:dB)由公式1210lg()10IIL给出,其中I为声强(单位:2W / m). 人在正常说话时,声强级大约在 4060 dB之间,声强级超过 60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强,其声强级在 4060 dB之间的是 4510SSk(A)11

4、.510 (B)9.510 (C)6.510 (D)210 10. 已知函数( )sin()4f xx(0)在区间0,上有且仅有 4 条对称轴,给出下列四个结论: ( )f x在区间(0),上有且仅有 3个不同的零点; ( )f x的最小正周期可能是2; 的取值范围是13 17)44,; ( )f x在区间(0)15,上单调递增. 其中所有正确结论的序号是 (A) (B) (C) (D) 第二部分第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题二、填空题共共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 11. 在5(2)x的展开式中,2x的系数为 (用数字作答) 12. 在平

5、面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,它的终边与以原点O为圆心的单位圆交于点3()5P x,,则cos()2 13. 已知双曲线2222:1xyCab(0a ,0)b 的离心率为5,的焦点到其渐近线的距离为 5,则a 14. 设na是等比数列,能够说明“若21aa,则21SS”是假命题的一组1a和公比q的值依次为 15已知点(2 0)P,和圆22:36O xy上两个不同的点M,N,满足90MPN,Q是弦MN的中点, 给出下列四个结论: |MP的最小值是 4; 点Q的轨迹是一个圆; 若点(5 3)A ,,点(5 5)B ,,则存在点Q,使得90AQB; MPN面积的最大值是18+2 17. 其中

6、所有正确结论的序号是 . C三、解答题三、解答题共共 6 小题,共小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16.(本小题共(本小题共 13 分)分) 在ABC中,7a ,8b ,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知. ()求A; ()求ABC的面积. 条件:3c ;条件:1cos7B . 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(本小题共(本小题共 15 分)分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD 平面ABCD,Q为棱PD的中点,PAAD,2PAAB. ()求证:PA平面ABCD; (

7、)求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值; ()求直线PB到平面ACQ的距离. 18.(本小题共(本小题共 14 分)分) 为了弘扬中华优秀传统文化,加强对学生的美育教育,某校开展了为期 5天的传统艺术活动,从第 1天至第 5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共 5 项传统艺术活动,每名学生至少选择其中一项进行体验. 为了解该校上述活动的开展情况,现从高一、高二、高三学生中各随机选取了 100 名学生作为样本进行调查,调查数据如下表: ()从样本中随机选取 1名学生,求这名学生体验戏曲活动的概率; ()通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况, 现随机选择 3项传

8、统艺术活动,设选择 的 3项活动中体验人数超过该校学生人数 50%的有X项,求的分布列和数学期望; ()为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度,现从高一、高二、高三样本中各随机选取 1名学生进行访谈. 设这 3 名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为(1 2 3 4 5)kP k , , , ,,写出12P P, , 345P P P, ,的大小关系. 19.(本小题共(本小题共 14 分)分) X()E Xk传统艺术活动 第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 书画 古琴 汉服 戏曲 面塑 高一体验人数 80 45 55 20 45 高二体验人数 40 60 60 80 4

9、0 高三体验人数 15 50 40 75 30 已知函数2( )ln (f xxax aR且0)a . () 当1a 时,求曲线( )yf x在点(1(1)f,处的切线方程; ()若( )0f x 恒成立,求的取值范围. 20.(本小题共(本小题共 15 分)分) 已知椭圆2222:1xyCab(a 0)b 过点( 2 1),,离心率为22. ()求椭圆的方程; ()设椭圆的右顶点为,过点(4 0)D,的直线 与椭圆交于不同的两点,(均异于点),直线,分别与直线交于点,Q. 求证:为定值. 21.(本小题共(本小题共 14 分)分) 若有穷数列 na*(nN且3)n满足112| |(1 22)

10、iiiiaaaainL, , ,,则称 na为 M数列. ()判断下列数列是否为 M 数列,并说明理由; 1,2,4,3. 4,2,8,1. ()已知 M数列 na中各项互不相同. 令1|mmmbaa(1 21)mn, , ,L,求证:数列 na是等差数列的充分必要条件是数列mb是常数列; ()已知 M 数列 na是m*(mN且3)m个连续正整数1 2m, , ,L的一个排列.若111|2mkkkaam,求m的所有取值. aCCAlCMNAAMAN4x PDPDQ参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7

11、8 9 10 答案 B D A B A A C D C B 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 1180 1235 1352 141,12(答案不唯一) 15 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16.(本小题共(本小题共 13 分)分) 解: 选条件:3c . ()在ABC中,因为7a ,8b ,3c , 由余弦定理,得222cos2bcaAbc649492 8 3 12. 因为0A , 所以3A . .7分 ()由()可得3sin2A . 所

12、以ABC的面积113sin8 36 3222SbcA . .13 分 选条件:1cos7B . ()在ABC中,因为1cos7B , 所以4 3sin7B . 由正弦定理,得sin74 33sin872aBAb. 由题可知2B ,所以02A . 所以3A . .7分 ()由()可得1cos2A. 因为sinsin()CAB sin()AB sincoscossinABAB 3114 3()2727 3 314, 所以ABC的面积113 3sin786 32214SabC .13 分 17.(本小题共(本小题共 15 分)分) 证明:()因为平面PAD 平面ABCD, 平面PADI平面ABCDA

13、D, PAAD, PA平面PAD, 所以PA平面ABCD.4分 ()因为底面ABCD为正方形,PA平面ABCD, 所以AB,AD,AP两两互相垂直 如图,建立空间直角坐标系Axyz 因为2PAAB, 所以(0 0 0)A ,(0 0 2)P ,(2 2 0)C ,(011)Q , , (2 2 0)AC , ,,(0 11)AQ ,. 因为PA平面ABCD, 所以(0 0 2)AP , ,为平面ABCD的一个法向量. 设平面ACQ的一个法向量为()x y z, ,n, 则00.ACAQ ,nn即2 +200.xyyz, 令1x ,则11yz,. 于是(11 1),- ,n. 设平面ACQ与平面

14、ABCD的夹角为, 所以|3cos|cos|3| |APAPAP ,|nnn 即平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33.11 分 ()由()知,平面ACQ的法向量为(11 1),n,(2 02)PB , ,-. 因为0PB n,且PB 平面ACQ, 所以PB平面ACQ. 所以点P到平面ACQ的距离即为直线PB到平面ACQ的距离. 因为(0 0 2)AP , ,, 所以点P到平面ACQ的距离为|2 3|3AP nn, 即直线PB到平面ACQ的距离为2 33.15 分 18(本小题共(本小题共 14 分)分) 解:()由题意知,样本中学生共有 100+100+100=300人, 其中体验戏曲活

15、动的学生共 20+80+75=175人, 设事件 A 为“从样本学生中随机选取 1 名学生,这名学生体验戏曲活动”, 故所求概率为.4分 ()由题意知,体验人数超过该校学生人数 50%的传统艺术活动有 3项, 的所有可能值为 1,2,3. 1232353(1)10CCP XC, 21323563(2)105CCP XC, . 所以的分布列为 1 2 3 故的数学期望.11 分 ()15432ppppp.14分 19.(本小题共(本小题共 14 分)分) 解:解:()当1a 时,因为2( )lnf xxx, 所以1( )2fxxx,(1)1f . 又因为(1)1f, 所以曲线( )yf x在点(

16、1(1)f,处的切线方程为11yx . 即0 xy.4分 ()因为2( )ln (f xxax aR且0)a , 所以22( )2(0).axafxxxxx, 当0a 时,( )0fx,所以( )f x在(0),上单调递增. 1757( )30012P A X33351(3)10CP XCXXP31035110X3319()123105105E X 取1eax ,则112(e )(e )10aaf ,不符合题意. 当0a 时,令( )=0fx,解得2ax 或2ax (舍). 当(0)2ax,时,( )0fx,所以( )f x在区间(0)2a,上单调递减. 当()2ax,时,( )0fx,所以(

17、 )f x在区间()2a,上单调递增. 所以( )f x在(0),上的最小值为()ln(1 ln)22222aaaaafa. 若( )0f x 恒成立,只需()02af,解得02ea. 综上可知,a的取值范围是(0 2e,.14分 20(本小题共(本小题共 15 分)分) 解:解:()由题意得2222222211caabcab,, 解得24a ,22b . 所以椭圆的方程是22142xy.5分 ()由题意知,直线l的斜率存在. 设直线l的方程为(4)yk x(0k ),11()M x y,,22()N xy,, 由22(4)142yk xxy,得2222(21)163240kxk xk. 则2

18、1221621kxxk,212232421kx xk. 依题意2 222( 16)4(21)(324)0kkk ,解得66(0)(0)66k U,. 因为点A的坐标为(2 0),,所以直线AM的方程为11(2)2yyxx. 令4x ,得点P的纵坐标为111122 (4)22yk xyxx, 所以114| 2|2xDPkx. 同理,可得224| 2|2xDQkx. C于是21212(4)(4)| | 4(2)(2)xxDPDQkxx 2121212124()1642()4x xxxkx xxx 222222222324164162121432416242121kkkkkkkkk 22222223

19、246416(21)4324324(21)kkkkkkk 221248kk 6. 所以| |DPDQ为定值 6.15 分 21(本小题共(本小题共 14 分)分) 解:()因为|24| |43|,所以该数列不是 M 数列; 因为|42| |28| |8 1|,所以该数列是 M数列.4 分 ()必要性: 若数列 na是等差数列,设公差为d, 则1| |mmmbaad. 所以数列mb是常数列. 充分性: 若数列mb是常数列, 则1(1 22)mmbbmn, , ,L,即112| |(1 22)mmmmaaaamn, , ,K. 所以112mmmmaaaa或112()mmmmaaaa . 因为数列

20、na的各项互不相同, 所以112mmmmaaaa. 所以数列 na是等差数列.8 分 ()当3m 时,因为1| 2(1 2)iiaai ,,所以1223| 5aaaa,不符合题意; 当4m 时,数列为3 2 4 1,.此时122334| 6aaaaaa,符合题意; 当5m 时,数列为2 3 4 51, , , ,.此时12233445| 7aaaaaaaa,符合题意; 下证当6m 时,不存在m满足题意. 令1|(1 21)kkkbaakm, , ,L, 则1211mbbbL,且112mkkbm, 所以kb有以下三种可能: 1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L;1 (1 23)2

21、(2)3 (1)kkmbkmkm, , ,L;1 (1 24)2 (321)kkmbkmmm, , ,L. 当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时,因为122mbbbL, 由()知:121ma aa, , ,L是公差为 1(或1)的等差数列. 当公差为 1 时,由14mb得14mmaa或14mmaa, 所以1142mmaaamm或154mmmaaa,与已知矛盾. 当公差为1时,同理得出与已知矛盾. 所以当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时,不存在m满足题意. 其它情况同理. 综上可知,m的所有取值为 4 或 5.14 分 (若用其他方法解题,请酌情给分)(若用其他方法解题,请酌情给分)

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