1、20222022 北京丰台高三（上）期末数学北京丰台高三（上）期末数学试卷试卷 第一部分第一部分 （选择题 共 40分） 一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合 | 12Axx ， |1Bx x或3x ，则AB I （A） | 13xx （B） | 11xx （C） |12xx （D） |23xx 2在复平面内，复数11 i对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3已知等差数列 na的前n项和为nS若，则
2、4a （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4下列函数中，既是奇函数又在区间( 11) ,上单调递增的是 （A）yx （B）3yx （C）cosyx （D）12(1)yx 5已知，是两个不同的平面，直线l，那么“”是“l”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6已知抛物线2:8C yx的焦点为F，点M在C上. 若O是坐标原点，| 6FM ，则OF OM g （A）8 （B）12 （C）8 2 （D） 8 3 7为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛. 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图. 若要对 40
3、%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为 （A）65 （B）75 （C）85 （D）95 8. 已知函数2|21|1( )(1)1.xxf xxx, 若函数( )( )g xf xk有两个不同的零点，则实数的取值范围是 （A）(0, （B）(0 1, （C）( 1 0 , （D）0 1), 9. 声强级IL（单位：dB）由公式1210lg()10IIL给出，其中I为声强（单位：2W / m）. 人在正常说话时，声强级大约在 4060 dB之间，声强级超过 60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强，其声强级在 4060 dB之间的是 4510SSk（A）11
4、.510 （B）9.510 （C）6.510 （D）210 10. 已知函数( )sin()4f xx(0)在区间0,上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论： ( )f x在区间(0),上有且仅有 3个不同的零点； ( )f x的最小正周期可能是2； 的取值范围是13 17)44，； ( )f x在区间(0)15,上单调递增. 其中所有正确结论的序号是 （A） （B） （C） （D） 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题二、填空题共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 在5(2)x的展开式中，2x的系数为 （用数字作答） 12. 在平
5、面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆交于点3()5P x,，则cos()2 13. 已知双曲线2222:1xyCab(0a ,0)b 的离心率为5，的焦点到其渐近线的距离为 5，则a 14. 设na是等比数列，能够说明“若21aa，则21SS”是假命题的一组1a和公比q的值依次为 15已知点(2 0)P,和圆22:36O xy上两个不同的点M，N，满足90MPN，Q是弦MN的中点， 给出下列四个结论： |MP的最小值是 4； 点Q的轨迹是一个圆； 若点(5 3)A ,，点(5 5)B ,，则存在点Q，使得90AQB； MPN面积的最大值是18+2 17. 其中
6、所有正确结论的序号是 . C三、解答题三、解答题共共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 13 分）分） 在ABC中，7a ，8b ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知. （）求A； （）求ABC的面积. 条件：3c ；条件：1cos7B . 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题共（本小题共 15 分）分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD 平面ABCD，Q为棱PD的中点，PAAD，2PAAB. （）求证：PA平面ABCD； （
7、）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值； （）求直线PB到平面ACQ的距离. 18.（本小题共（本小题共 14 分）分） 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期 5天的传统艺术活动，从第 1天至第 5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共 5 项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验. 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了 100 名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： （）从样本中随机选取 1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率； （）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况, 现随机选择 3项传
8、统艺术活动，设选择 的 3项活动中体验人数超过该校学生人数 50%的有X项，求的分布列和数学期望； （）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取 1名学生进行访谈. 设这 3 名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为(1 2 3 4 5)kP k , , , ,，写出12P P, , 345P P P, ,的大小关系. 19.（本小题共（本小题共 14 分）分） X()E Xk传统艺术活动 第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 书画 古琴 汉服 戏曲 面塑 高一体验人数 80 45 55 20 45 高二体验人数 40 60 60 80 4
9、0 高三体验人数 15 50 40 75 30 已知函数2( )ln (f xxax aR且0)a . () 当1a 时，求曲线( )yf x在点(1(1)f,处的切线方程； （）若( )0f x 恒成立，求的取值范围. 20.（本小题共（本小题共 15 分）分） 已知椭圆2222:1xyCab(a 0)b 过点( 2 1),，离心率为22. （）求椭圆的方程； （）设椭圆的右顶点为，过点(4 0)D,的直线 与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，Q. 求证：为定值. 21.（本小题共（本小题共 14 分）分） 若有穷数列 na*(nN且3)n满足112| |(1 22)
10、iiiiaaaainL, , ,，则称 na为 M数列. （）判断下列数列是否为 M 数列，并说明理由； 1，2，4，3. 4，2，8，1. （）已知 M数列 na中各项互不相同. 令1|mmmbaa(1 21)mn, , ,L，求证：数列 na是等差数列的充分必要条件是数列mb是常数列; （）已知 M 数列 na是m*(mN且3)m个连续正整数1 2m, , ,L的一个排列.若111|2mkkkaam，求m的所有取值. aCCAlCMNAAMAN4x PDPDQ参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7
11、8 9 10 答案 B D A B A A C D C B 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1180 1235 1352 141，12(答案不唯一) 15 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 13 分）分） 解： 选条件：3c . （）在ABC中，因为7a ，8b ，3c ， 由余弦定理，得222cos2bcaAbc649492 8 3 12. 因为0A , 所以3A . .7分 （）由（）可得3sin2A . 所
12、以ABC的面积113sin8 36 3222SbcA . .13 分 选条件：1cos7B . （）在ABC中，因为1cos7B , 所以4 3sin7B . 由正弦定理，得sin74 33sin872aBAb. 由题可知2B ,所以02A . 所以3A . .7分 （）由（）可得1cos2A. 因为sinsin()CAB sin()AB sincoscossinABAB 3114 3()2727 3 314， 所以ABC的面积113 3sin786 32214SabC .13 分 17.（本小题共（本小题共 15 分）分） 证明：（）因为平面PAD 平面ABCD， 平面PADI平面ABCDA
13、D， PAAD， PA平面PAD， 所以PA平面ABCD.4分 （）因为底面ABCD为正方形，PA平面ABCD， 所以AB，AD，AP两两互相垂直 如图，建立空间直角坐标系Axyz 因为2PAAB， 所以(0 0 0)A ，(0 0 2)P ，(2 2 0)C ，(011)Q ， ， (2 2 0)AC , ,，(0 11)AQ ,. 因为PA平面ABCD， 所以(0 0 2)AP , ,为平面ABCD的一个法向量. 设平面ACQ的一个法向量为()x y z, ,n， 则00.ACAQ ，nn即2 +200.xyyz, 令1x ，则11yz,. 于是(11 1),- ,n. 设平面ACQ与平面
14、ABCD的夹角为， 所以|3cos|cos|3| |APAPAP ,|nnn 即平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33.11 分 （）由（）知，平面ACQ的法向量为(11 1),n，(2 02)PB , ,-. 因为0PB n，且PB 平面ACQ， 所以PB平面ACQ. 所以点P到平面ACQ的距离即为直线PB到平面ACQ的距离. 因为(0 0 2)AP , ,， 所以点P到平面ACQ的距离为|2 3|3AP nn， 即直线PB到平面ACQ的距离为2 33.15 分 18（本小题共（本小题共 14 分）分） 解：（）由题意知，样本中学生共有 100+100+100=300人， 其中体验戏曲活
15、动的学生共 20+80+75=175人， 设事件 A 为“从样本学生中随机选取 1 名学生，这名学生体验戏曲活动”， 故所求概率为.4分 （）由题意知，体验人数超过该校学生人数 50%的传统艺术活动有 3项， 的所有可能值为 1，2，3. 1232353(1)10CCP XC， 21323563(2)105CCP XC， . 所以的分布列为 1 2 3 故的数学期望.11 分 （）15432ppppp.14分 19.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解：解：（）当1a 时，因为2( )lnf xxx， 所以1( )2fxxx，(1)1f . 又因为(1)1f， 所以曲线( )yf x在点(
16、1(1)f,处的切线方程为11yx . 即0 xy.4分 （）因为2( )ln (f xxax aR且0)a ， 所以22( )2(0).axafxxxxx， 当0a 时，( )0fx，所以( )f x在(0)，上单调递增. 1757( )30012P A X33351(3)10CP XCXXP31035110X3319()123105105E X 取1eax ，则112(e )(e )10aaf ，不符合题意. 当0a 时，令( )=0fx，解得2ax 或2ax （舍）. 当(0)2ax,时，( )0fx，所以( )f x在区间(0)2a,上单调递减. 当()2ax,时，( )0fx，所以(
17、 )f x在区间()2a,上单调递增. 所以( )f x在(0)，上的最小值为()ln(1 ln)22222aaaaafa. 若( )0f x 恒成立，只需()02af，解得02ea. 综上可知，a的取值范围是(0 2e,.14分 20（本小题共（本小题共 15 分）分） 解：解：（）由题意得2222222211caabcab,， 解得24a ，22b . 所以椭圆的方程是22142xy.5分 （）由题意知，直线l的斜率存在. 设直线l的方程为(4)yk x（0k ），11()M x y,，22()N xy,， 由22(4)142yk xxy，得2222(21)163240kxk xk. 则2
18、1221621kxxk，212232421kx xk. 依题意2 222( 16)4(21)(324)0kkk ，解得66(0)(0)66k U,. 因为点A的坐标为(2 0),，所以直线AM的方程为11(2)2yyxx. 令4x ，得点P的纵坐标为111122 (4)22yk xyxx， 所以114| 2|2xDPkx. 同理，可得224| 2|2xDQkx. C于是21212(4)(4)| | 4(2)(2)xxDPDQkxx 2121212124()1642()4x xxxkx xxx 222222222324164162121432416242121kkkkkkkkk 22222223
19、246416(21)4324324(21)kkkkkkk 221248kk 6. 所以| |DPDQ为定值 6.15 分 21（本小题共（本小题共 14 分）分） 解：（）因为|24| |43|，所以该数列不是 M 数列； 因为|42| |28| |8 1|，所以该数列是 M数列.4 分 （）必要性： 若数列 na是等差数列，设公差为d， 则1| |mmmbaad. 所以数列mb是常数列. 充分性： 若数列mb是常数列， 则1(1 22)mmbbmn, , ,L，即112| |(1 22)mmmmaaaamn, , ,K. 所以112mmmmaaaa或112()mmmmaaaa . 因为数列
20、na的各项互不相同， 所以112mmmmaaaa. 所以数列 na是等差数列.8 分 （）当3m 时，因为1| 2(1 2)iiaai ,，所以1223| 5aaaa，不符合题意； 当4m 时，数列为3 2 4 1，.此时122334| 6aaaaaa，符合题意； 当5m 时，数列为2 3 4 51, , , ,.此时12233445| 7aaaaaaaa，符合题意； 下证当6m 时，不存在m满足题意. 令1|(1 21)kkkbaakm, , ,L， 则1211mbbbL，且112mkkbm， 所以kb有以下三种可能： 1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L；1 (1 23)2
21、(2)3 (1)kkmbkmkm, , ,L；1 (1 24)2 (321)kkmbkmmm, , ,L. 当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时，因为122mbbbL， 由（）知：121ma aa, , ,L是公差为 1（或1）的等差数列. 当公差为 1 时，由14mb得14mmaa或14mmaa， 所以1142mmaaamm或154mmmaaa，与已知矛盾. 当公差为1时，同理得出与已知矛盾. 所以当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时，不存在m满足题意. 其它情况同理. 综上可知，m的所有取值为 4 或 5.14 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）