1、2 2022022 北京北京昌平初三昌平初三（上）（上）期末期末数学试卷数学试卷 2022.1 本试卷共 8 页，共 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将答题卡交回。 一、选择题一、选择题（本题共（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 已知A 是锐角，sinA=12，那么A 的度数是 （A）15 （B）30 （C）45 （D）60 2已知 3a4b（ab0），则下列各式正确的是 （A）43ab （B）
2、34ab （C）34ab （D）43ab 3. 抛物线 y=x2-2 的顶点坐标是 （A）（0，-2） （B）（-2， 0） （C）（0， 2） （D）（2， 0） 4已知反比例函数kyx（k0）的图象经过点 A（2，3），则 k的值为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5. 如图，AD 是ABC 的外接圆O的直径，若BCA50 ，则BAD等于 （A）30 （B）40 （C）50 （D）60 6. 如图，面积为 18 的正方形 ABCD 内接于O，则O 的半径为 （A）32 （B）322 （C）3 （D）3 2 7.关于二次函数 y=-(x -2)23，以下说法正确的是 （A）当 x-2
3、 时，y随 x增大而减小 （B）当 x-2 时，y随 x增大而增大 （C）当 x2 时，y随 x增大而减小 （D）当 x2 时，y随 x 增大而增大 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为 2，与 x轴，y 轴的正半轴分别交于点 A，B，点 C（1，c），D（2，d），E（e，1），P（m，n）均为AB上的点（点 P不与点 A，B 重合），若 mn3m，则点 P 的位置为 （A） 在BC上 （B）在CD上 （C）在DE上 （D）在EA上 二、填空题二、填空题（本题共（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9.写出一个开口向下，与 y轴交于点(0，1
4、)的抛物线的函数表达式:_. xyDECABODCBAOOABCD10O的半径为 5cm，圆心 O到直线 l的距离是 4cm，则直线 l与O的位置关系是 . 11.若扇形的圆心角为 60 ，半径为 2，则该扇形的弧长是_(结果保留) 12点 A（-1，y1），B（4，y2）是二次函数 y（x1）2图象上的两个点，则 y1_y2（填“”，“”或“”） 13.如图，AB 为O的直径，弦 CDAB于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH的长为_. 14已知反比例函数 y1mx的图象分布在第二、四象限，则 m的取值范围是 15如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B两点，C是优弧 AB上的一个动
5、点，若P = 50 ，则ACB _ 16.点 A（x1，y1），B（x2，y2）(x1 x20)是 y=ax2（a0）图象上的点，存在12xx=1时，12yy=1成立，写出一个满足条件 a的值_. 三、解答题三、解答题（本题共（本题共 12 道小题，第道小题，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 27、28 题，每小题题，每小题 7 分，分，共共 68 分）分） 17. 计算： 2sin60 +tan45 cos30 tan60 18如图，在ABC 中，C=90 ，AC=4，AB=5，点 D 在 AC上且 AD=3，DEAB
6、 于点 E，求 AE 的长 HOBADCOCBAPAEDBC13题图 15题图 19. 已知：二次函数 y=x24x+3 （1）求出二次函数图象的顶点坐标及与 x 轴交点坐标； （2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出 y0 时，自变量 x 的取值范围. 20如图，在ABC 中，B30 ，AB4，ADBC于点 D 且 tanCAD12，求 BC的长. 21已知：如图，ABC为锐角三角形，ABAC 求作：一点 P，使得APCBAC 作法：以点 A为圆心， AB 长为半径画圆； 以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交A于点 C，D 两点； 连接 DA并延长交A 于点 P 点 P 即为所求 （1
7、）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明 证明：连接 PC，BD ABAC， 点 C在A上 BCBD， _ BAC12CAD 点 D，P在A上， CPD12CAD（_） （填推理的依据） APCBAC xy12345123451234512345ODCBABAC4535PEADNCMB22. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，A(a，2)是一次函数1yx的图象与反比例函数0kykx（）的图象的交点. (1)求反比例函数0kykx（）的表达式； (2)过点 P(n，0)且垂直于 x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为 M，N，当 SOPMSOPN时，
8、直接写出 n 的取值范围. 23.居庸关位于距北京市区 50 余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度 AD.（结果精确到 0.1m，sin350.574，cos350.819，tan350.700） xy123456123456123456123456O题目 测量城楼顶端到地面的高度 测量目标 示意图 相关数据 BM=1.6m，BC=13m，ABC=35 ，ACE=45 24. 如图，O 是ABC 的外接圆，A
9、B 是O 的直径，ABCD 于点 E，P 是 AB 延长线上一点，且BCPBCD （1）求证：CP是O的切线； （2）连接 DO并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC和 OF 的长 25随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本 20 元销售过程中发现，每天销售量 y（袋）与销售单价 x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y-2x80（20 x40），设每天获得的利润为 w（元） （1）求出 w与 x 的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是
10、多少？ 26在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数 yx2bx 的图象上 （1）当 m-3 时 求这个二次函数的顶点坐标； 若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且 y2y1，则 a 的取值范围是_； （2）当 mn0时，求 b的取值范围 OPEDCBA27.已知POQ=120 ，点 A，B分别在 OP，OQ 上，OAOB，连接 AB，在 AB 上方作等边ABC，点 D是 BO延长线上一点，且 AB=AD，连接 AD. （1）补全图形； （2）连接 OC，求证：COP=COQ； （3）连接 CD，CD交 OP于点 F，请你写出一个DAB 的值，使 CD
11、=OB+OC一定成立，并证明. 备用图 28在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，O，Q 给出如下定义：若 OQPOPQ且 PO2，我们称点 P 是线段OQ的“潜力点” 已知点 O（0，0），Q（1，0） （1）在 P1（0，-1），P2（12，32），P3（-1，1）中是线段 OQ的“潜力点”是_； （2）若点 P在直线 yx上，且为线段 OQ的“潜力点”，求点 P横坐标的取值范围； （3）直线 y2xb 与 x轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，当线段 MN上存在线段 OQ 的“潜力点”时，直接写出 b 的取值范围. POQABPOQyx1234123412341234Oyx12341
12、23412341234O2022 北京昌平初三（上）期末数学 参考答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A D B C C B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 答案不唯一 例如21yx 相交 23 12yy 3 1m 65 答案不唯一 例如 a=1 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 12 道小题，第道小题，第 17-22 题，每小题题，
13、每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 27、28 题，每小题题，每小题 7 分，分，共共 68 分）分） 17解：原式3321322 .4 分 132.5 分 18解：DEAB 于点 E，C=90 ， AEDC.1分 AA， ADEABC.3分 ADAEABAC.4 分 354AE. AE125.5分 19.（1）解：y=x24x+3. 顶点坐标为（2，-1）.1分 令 y=0，则 x24x+3=0. 解得 x1=1，x2=3. 图象与 x 轴交点坐标为（1，0）（3，0）.3分 （2） 4 分 当 y0时，自变量 x的取值范围为 1x3.5分 20解：
14、ADBC 于点 D， ABD，ADC为直角三角形. RtADE 中，B30 ，AB4， AD2.1分 BD2 3.2分 RtADC 中，tanCAD12，AD2， tanCAD12CDAD.3分 CD1.4分 BC2 31.5 分 21解：（1） 2 分 （2）BAC=BAD.4分 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.5 分 22解：（1）把 A（a，2）代入1yx，得 a3，点 A 坐标为（3，2）.1分 xy1234123412341234OCBDAP4535PEADNCMB把 A（3，2）代入0kykx（），得 k6.2 分 所以反比例函数表达式为6yx.3 分 （2）n-2 或
15、n3.5 分 23.解：根据题意，得 BM=ED=1.6m，AEC=90 . 设 AE为 xm，在 RtACE中， ACE=45 ， CAE=45 ， AE=CE.1 分 在 RtABE中， tanABE=AEBE，2分 又ABE=35 ， tan35 =13xx3分 解得 x30.34分 AD=AE+ED30.3+1.631.9（m）5 分 答：城楼顶端距地面约为 31.9m6分 24（1）证明：连接 OC. OBOC， OBCOCB. ABCD 于点 E， CEB90 . OBCBCD90 . OCBBCD90 . BCPBCD， OCBBCP90 . OCCP. CP是O的切线.3 分
16、（2）ABCD于点 E， E为 CD 中点. O 为 GD中点， OE为DCG 的中位线. GC2OE6，OEGC. AOGC GCFOAF. GCGFOAOF. 65GFOF. GFOF5， OF2511.6 分 25.解：（1）w=（x-20）y1分 =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120 x-1600.2分 （2）w=-2（x-30）2+200，3 分 20 x40,且 a=-20， 当 x=30 时，y最大值=200.5分 答：当销售单价定为每袋 30 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 200元.6 分 26.解：（1）当 m-3 时 把点（1，-3）代入 yx2bx，
17、得 b-41 分 二次函数表达式为 yx2-4x(x-2)2-4 所以顶点坐标为（2，-4）2 分 a-1 或 a54分 （2）将点（1，m），（3，n）代入 yx2bx，可得 m1b，n93b 当 mn0 时，有两种情况： 若00.mn，把 m1b，n93b 代入可得1+0930.bb，此时不等式组无解. 若00.mn，把 m1b，n93b 代入可得1+0930.bb，解得-3b-1 所以-3b-16分 27.解：（1）如图所示： FPGADCEOB2分 图 1 （2）证明如下： 在 BQ 上截取 BE=AO,连接 CE. ABC为等边三角形， CA=CB，ACB=60 . POQ=120
18、， CAO+CBO=180 . CBO+CBE=180 ， CAO=CBE.3分 在CAO 和CBE 中，.CACBCAOCBEAOBE， CAOCBE. CO=CE，COA=CEB， COE=CEB， COP=COQ.4 分 QDCBOAPFAPOBCDQ图 2 EQDCBOAP图 3 （3）DAB=150 .5分 （方法一）证明如下： DAB=150 ，DA=AB， ADB=ABD=15 . ABC为等边三角形， CAB=CBA=ACB=60 ， CAD=150 . AD=AC， ADC=ACD=15 ， DBC=DCB=75 ， DB=DC.6分 POQ=120 ，BDC=30 ， DF
19、O=90 . AD=AC， DF=FC. DO=OC.7分 DB=DO+OB， DB=CO+OB， CD=OB+OC. （方法二）证明如下： DA=AB，ABC 为等边三角形， DA=AB=AC. 点 D、B、C在以点 A为圆心，以 AC 为半径的圆上. CAB=60 ， CDB=30 ， POQ=120 ， DFO=90 . AD=AC， DF=FC. DO=OC.6分 DAB=150 ，CAB=60 ， CAD=150 . 易证DABDAC， DB=DC.7分 DB=DO+OB， DB=CO+OB， CD=OB+OC. 28.（1）P32 分 APOBCDQF 图 3 （2）点 P为线段 OQ 的“潜力点”， OQPOPQ且 PO2， OQPO， 点 P在以 O为圆心，1为半径的圆外. POPQ， 点 P在线段 OQ垂直平分线的左侧. PO2， 点 P在以 O为圆心，2为半径的圆上或圆内. 又点 P 在直线 yx上， 点 P在如图所示的线段 AB 上（不包含点 B）. 由题意可知BOC和AOD是等腰三角形 BC=22AD=2 -2xp-22.4分 （3）1b2 5或1512b-1.7分 xyy = x112DCABQOxyy = x112DCABQO
