1、山东省聊城市2019-2020学年高一上期末数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2.函数零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 3.若角的终边过点，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 14.若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（ ）A. 3倍B. 2倍C. 倍D. 倍5.若，则是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电
2、价”，计费方法如下：每户每月用电量电价不超过230度的部分0.5元/度超过230度但不超过400度的部分0.6元/度超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ）A. 475度B. 575度C. 595.25度D. 603.75度7.若实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D. 8.已知偶函数在上单调递减，若,则下列不等关系正确的是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.）9.已知，则函数的值可能为（
3、）A. 3B. -3C. 1D. -110.下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（ ）A. B. C. D. 11.已知,给出下列不等式:；则其中一定成立的有（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，则下面几个结论正确有（ ）A. 的图象关于原点对称B. 的图象关于y轴对称C. 的值域为D. ，且恒成立三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若命题为假命题，则实数a的取值范围是_.14.函数（且）的图象经过的定点坐标为_.15.若，且，则_.16.设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数记为,若,则的值域为_，关于x的方程恰有3个不同的解时，实数t的取值范围为_
4、.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：；（2）已知集合.若，求实数a的取值范围.18.1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离（y）0.71.0165.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐
5、于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得模型，计算谷神星离太阳的距离.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值，并求出取最值时x的值；（3）求不等式的解集.20.已知函数.（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）当时，解关于x的不等式.21.已知函数是反函数.（1）
6、当时，求函数的最小值的函数表达式；（2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，求的解析式，并画出的图象.22.现对一块长米，宽米的矩形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设（单位：米），的面积记为（单位：平方米），其余部分面积记为（单位：平方米）.（1）求函数的解析式；（2）设该场地中部分的改造费用为（单位：万元），其余部分的改造费用为（单位：万元），记总的改造费用为W单位：万元），求W最小值，并求取最小值时x的值.山东省聊城市2019-2020学年高一上期末数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个
7、选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.【详解】，则故选：【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2.函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数单调递增，计算，得到答案.【详解】，函数单调递增，计算得到；故函数在有唯一零点故选：【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.3.若角的终边过点，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 1【答案】B【解析】【分析】根据三角函数值的定义得到，代入计算得到答案.【详解】角的终边过点，则，则故选：【点睛】
8、本题考查了三角函数值计算，意在考查学生的计算能力.4.若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（ ）A. 3倍B. 2倍C. 倍D. 倍【答案】A【解析】【分析】根据公式得到，得到答案.【详解】设，则 故选：【点睛】本题考查了圆心角的计算，属于简单题.5.若，则是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】当时，可以得到，充分性；取，满足，但是不满足，不必要；故选：【点睛】本题考查了充分不必要条件，举出反例可以快速得到答案，是解题的关键.6.为
9、了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：每户每月用电量电价不超过230度的部分0.5元/度超过230度但不超过400度的部分0.6元/度超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ）A. 475度B. 575度C. 595.25度D. 603.75度【答案】D【解析】【分析】先确定用电度数超过，设超过400度的部分为，则，解方程得到答案.【详解】不超过230度的部分费用为：；超过230度但不超过400度的部分费用为：，；设超过400度的部分为，则，故用电度故选：【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算
10、能力.7.若实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.【详解】,，解得，的最大值是.故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.8.已知偶函数在上单调递减，若,则下列不等关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算得到；根据函数的单调性得到答案.【详解】偶函数在上单调递减，则 ；易知：，故故故选：【点睛】本题考查了利用函数单调性，奇偶性，诱导公式比较大小，意在考查学生的综合应用能力.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
11、，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.）9.已知，则函数的值可能为（ ）A. 3B. -3C. 1D. -1【答案】BC【解析】【分析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.【详解】，当在第一象限时：；当第二象限时：当在第三象限时：当在第四象限时：故选：【点睛】本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.10.下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案.【详解】A. ，函数周期为，非奇非偶函数，排除；B. ，函数周期为，偶函数，满足
12、；C. ，函数周期为，偶函数，排除；D. ，函数周期为，偶函数，满足；故选：【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合运用.11.已知,给出下列不等式:；则其中一定成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】依次判断每个选项：易知正确；简单证明可以得到正确；取，计算得到错误；判断得到答案.【详解】，则，正确；，正确；取，计算得到，错误；，正确；故选：【点睛】本题考查了不等式关系的判断，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.12.已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）A. 的图象关于原点对称B. 的图象关于y轴对称C. 的值域为D. ，且
13、恒成立【答案】ACD【解析】【分析】依次判断每个选项：判断奇偶性得到正确错误；利用换元法计算值域为；判断函数单调递减得到正确，得到答案.【详解】A. ，则，则的图象关于原点对称；B. 计算，故的图象不关于y轴对称；C. ，易知：，故的值域为；D. ，在定义域上单调递减，故，且恒成立；故选：【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若命题为假命题，则实数a取值范围是_.【答案】【解析】【分析】命题转化为，讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】命题为假命题，即当时：恒成立；当时：满足 解得 综上
14、所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假计算参数范围，忽略掉的情况是容易发生的错误.14.函数（且）的图象经过的定点坐标为_.【答案】【解析】【分析】取，得到，代入计算得到，得到定点.【详解】，取时，即过定点故答案为：【点睛】本题考查了函数过定点问题，意在考查学生对于对数函数知识的理解.15.若，且，则_.【答案】【解析】【分析】确定，化简得到，再利用计算得到答案.【详解】，故，故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.16.设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数记为,若,则的值域为_，关于x的方程恰有3个不同的解时，实数t的取值范围为_.【答案】
15、(1). (2). 【解析】【分析】分别计算和的值域，综合得到答案；根据题意化简得到，设，计算解析式，画出函数图像得到答案.【详解】当时，；当时， 综上所述：值域为；即，即， 则画出函数图像，根据图像知：故答案为：；【点睛】本题考查了求函数值，根据方程解的个数求参数，画出函数图像是解题的关键.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：；（2）已知集合.若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数指数公式直接计算得到答案.（2）计算，得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）原式 （2），得所以，
16、即. 所以，因为当时，则有，得当时，则有，得综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查了指数对数的计算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.18.1766年；人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离（y）0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利
17、天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.【答案】（1）模型符合题意（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）画出散点图，根据图形得到答案.（2）将分别代入得到解析式，再验证得到答案.（3）取，代入计算得到答案.【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型符
18、合题意（2）将分别代入得，解得，所以 当时，.当时，.与已知表中数据完全吻合. （3）当时，即谷神星距太阳的距离为【点睛】本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值，并求出取最值时x的值；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）时，取最大值3；时，取得最小值0（3）【解析】【分析】（1）计算得到答案.（2）计算得到，再计算最值得到答案.（3）化简得到，故，化简得到答案.【详解】（1），解得.所以的单调递增区间为 （2）由，得，故，所以.当且当，即时，取最大值3；当且仅当，即时，取得最小值0（3）由可得，所以
19、解得，即不等式的解集为【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，解三角不等式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20.已知函数.（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1），故得到证明.（2）化简得到，讨论，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）由题意得，且，则. 由，得.于是，即所以函数在区间上单调递增 （2）原不等式可化为.因为，故.（i）当,即时，得或. （ii）当,即时，得到,所以； （iii）当，即时，得或. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
20、【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，解不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.21.已知函数是的反函数.（1）当时，求函数的最小值的函数表达式；（2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，求的解析式，并画出的图象.【答案】（1）（2），图见解析【解析】【分析】（1），化简得到，设，讨论，三种情况分别计算得到答案.（2）时，再利用奇函数得到，画出函数图像得到答案.【详解】（1）由题意得. 则，令，因为，所以 所以，其对称轴为.当时，在上单调递增， 当时， 当时，在上单调递减， 故 （2）由（1）得，当时， 时，所以；因为是奇函数，所以，即.所以时，. 又，所以 图象如图 【点睛】本
21、题考查了函数解析式，函数图像，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22.现对一块长米，宽米的矩形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设（单位：米），的面积记为（单位：平方米），其余部分面积记为（单位：平方米）.（1）求函数的解析式；（2）设该场地中部分的改造费用为（单位：万元），其余部分的改造费用为（单位：万元），记总的改造费用为W单位：万元），求W最小值，并求取最小值时x的值.【答案】（1）（2）或时，W取得最小值0.8万元【解析】【分析】（1）当时，；当时，设，则，化简得到答案.（2），展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，点F在线段AD上， 当时，点F在线段CD上，设，则，. 所以 （2）由题意可知. 故（万元）. 当且仅当，即时等号成立.又，解得 因为，所以当时，令，得；当时，令，得. 综上，当或时，W取得最小值0.8万元【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
