1、山东省威海市文登区2019-2020学年高一上期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合与集合相等的是( )A. B. C. D. 2.已知，则“”是“”A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知集合，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，4.下表为国家统计局对2012-2018年的农产品生产价格指数进行的统计数据，则下列四个类别的产品生产价格一直在增长的是，生产价格指数最不稳定的是( )农产品生产价格指数（上年100）指标2012年2013年2014年201
2、5年2016年2017年2018年种植业产品104.8104.3101.899.297.099.5101.2林业产品101.299.199.497.996.1104.998.9畜牧产品99.7102.497.1104.2110490.895.6渔业产品106.2104.3103.1102.5103.4104.9102.6A. 畜牧产品，种植业产品B. 渔业产品，畜牧产品C. 渔业产品，林业产品D. 畜牧产品，渔业产品5.某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为的样本，若男生抽取了7人，则的值为( )A. 10B. 11C. 12D. 146.从甲地到乙地要经过3个十字路口，
3、设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯概率分别为，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )A. B. C. D. 7.下列大小关系正确的是( )A. B. C. D. 8.已知关于的不等式（且）的解集为，则( )A. B. C. D. 2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C. “至少一个黑球”和“都是红球
4、”是对立事件D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件10.年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则( ) A. 20142018年，国内生产总值增长率连续下滑B. 20142018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50%11.已知函数有且只有一个零点，则( )A. B. C. 若不等式的解集为，则D. 若不等式的解集为，且，则12.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( )A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5
5、分，共20分.13.一组数据2，3，4，5，7，10，12，14，16的25%分位数为_.14._.15.三国时代数学家赵爽在注释周髀算经时，用几何的方法讨论一元二次方程的解：将四个长为，宽为的矩形围成如图所示正方形，于是中间小正方形的面积为_，且大正方形的面积为_，从而得到一元二次方程的根.（用，表示）16.若，使不等式成立，则实数的取值范围为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设集合，若，写出符合条件的所有集合.18.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI大小分为六级
6、.某地区一监测站记录自2019年9月起连续天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图.空气质量指数（AOI）空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染频数（天）25401050（）求，的值，并完成频率分布直方图；（）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.19.已知命题，.试判断“为真命题”与“为真命题”充分必要关系.20.已知偶函数，且.（）求，的值；（）设函数，若的值域为，求实数的取值范围.21.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮
7、助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.（）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（）当年产量为多少万件时，企业获得年利润最大？并求出最大利润；（）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？22.已知函数（且）.（）若，求的值；（）用定义证明在单调递增；（）若，成立，求的取值范围.山东省威海市文登区2019-2020学年高一上期末数学试题一
8、、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合与集合相等的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的含义，对选项进行逐一分析即可.【详解】对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：，解得或，与集合元素相同；对：表示两个代数式的集合，与集合不同.故选：C.【点睛】本题考查集合相等的判断，属基础题.2.已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由，而推不出，“”是“充分不必要条件3.已知
9、集合，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】先求得集合，再判断两个集合之间的关系.【详解】对集合，故存在集合A中的元素-1或2，使得其不属于集合.故选：C.【点睛】本题考查集合之间的关系，属基础题.4.下表为国家统计局对2012-2018年的农产品生产价格指数进行的统计数据，则下列四个类别的产品生产价格一直在增长的是，生产价格指数最不稳定的是( )农产品生产价格指数（上年100）指标2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年种植业产品104.8104.3101.899.297.0995101.2林业产品101.299.199.497.99
10、6.1104.998.9畜牧产品99.7102.497.1104.2110.490.895.6渔业产品106.2104.3103.1102.5103.4104.9102.6A. 畜牧产品，种植业产品B. 渔业产品，畜牧产品C. 渔业产品，林业产品D. 畜牧产品，渔业产品【答案】B【解析】【分析】根据图表中价格指数的增长情况以及波动情况，即可容易选择.【详解】根据图表可知：渔业产品每一年的价格指数均超过，故都在增长；又畜牧产品的价格指数增长波动最大.故选：B.【点睛】本题考查数据分析，属基础题.5.某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为的样本，若男生抽取了7人，则的值为(
11、)A. 10B. 11C. 12D. 14【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易判断.【详解】根据题意可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.6.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算至多1次遇到红灯的概率，再用1减去所求概率，即可求得结果.【详解】若从甲地到乙地，遇到1次红灯，则概率为，没有遇到红灯的概率为，故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为.故选：B.【点睛】本题考
12、查独立事件的概率计算，属基础题.7.下列大小关系正确的是( )A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性，即可判断大小.【详解】因为，故.故选：D.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小，属基础题.8.已知关于的不等式（且）的解集为，则( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】对进行分类讨论，结合临界情况的取值，即可容易求得.【详解】当时，显然恒成立，不符合题意；当时，是单调减函数，是单调增函数，根据不等式的解集可知：，解得.故选：A.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每
13、小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件【答案】BC【解析】【分析】根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.【详解】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：，恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，两个事件没有共同的基本事件，故
14、互斥；至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.故选：BC【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的判断，属基础题.10.年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则( ) A. 20142018年，国内生产总值增长率连续下滑B. 20142018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50%【答案】BD【解析】【分析】根据表格中数据，结合选项进行逐一分析即可.【详解】对：年
15、国内生产总之增长率相对年上涨，故错误；对：从图表中可知，随着第三产业增加值的增长，国内生产总值的在不断增长，故正确；对：年第三产业的增长率相对年在增大，而国内生产总值的增长率在下降，故错误；对：年第三产业的增加值超过万亿元，而当年的国内生产总值有90万亿元，故占比超过，故正确；故选：BD.【点睛】本题考图表数据的分析，属基础题.11.已知函数有且只有一个零点，则( )A. B. C. 若不等式的解集为，则D. 若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】【分析】根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可容易求得.【详解】因为有且只有一个零点，故可得，即可.对：等价于
16、，显然，故正确；对：，故正确；对：因为不等式的解集为，故可得，故错误；对：因为不等式的解集为，且，则方程两根为，故可得，故可得，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题.12.已知是定义在上奇函数，且为偶函数，若，则( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据函数性质，赋值即可求得函数值以及函数的周期性.【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，故可得，则，故选项正确；由上述推导可知，故错误；又因为，故选项正确.又因为，故错误.故选：AD.【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解，属综合基础题.三、填空题：本大
17、题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据2，3，4，5，7，10，12，14，16的25%分位数为_.【答案】【解析】【分析】先求数据的中位数，再求前一组数据的中位数即可.【详解】因为有9个数据，故可得其25%分位数为第个数即其25%分位数为第个数字4故答案为：.【点睛】本题考查四分位数的求解，属基础题.14._.【答案】【解析】【分析】根据对数和指数的运算即可容易求得.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查对数和指数的运算，属基础题.15.三国时代数学家赵爽在注释周髀算经时，用几何的方法讨论一元二次方程的解：将四个长为，宽为的矩形围成如图所示正方形，于是中间小正方形的面积为_，且
18、大正方形的面积为_，从而得到一元二次方程的根.（用，表示）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意，用整体代入的思想，即可容易求得结果.【详解】由题可知，小正方形的边长为，则小正方形的面积为；又四个小长方形的面积为，故可得大正方形的面积为：，又因为，故可得代入上式可得大正方形的面积为.故答案为：；【点睛】本题考查一元二次方程根的求解，属基础题.16.若，使不等式成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】令，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令，由可得，则问题等价于存在，分离参数可得若满足题意，则只需，令，令，则，容易知，则只需，整理得，解
19、得.故答案为：.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设集合，若，写出符合条件的所有集合.【答案】，【解析】【分析】求得二次函数的值域和二次不等式，再写出集合的子集即可.【详解】由题意知，.若，所以， 所以，.【点睛】本题考查集合子集的求解，属基础题.18.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图.空气质量指数（AOI）空气质量等级
20、优良轻度污染中度污染重度污染严重污染频数（天）25401050（）求，的值，并完成频率分布直方图；（）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.【答案】（），直方图见解析；（）90，81.25；（）.【解析】【分析】（）由频率的计算公式，即可求得参数，根据表格中数据，即可补全直方图；（）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，即可容易求得；（）先用分层抽样求得天中在区间和的天数，列举出所有任取天的可能性，找出满足题意的可能性，根据古典概型的概率求解公式即可求
21、得结果.【详解】（）由题知，解得，所以. 频率分布直方图如图： （）平均数为； 中位数为 ；（）按分层抽样在和中抽取分别抽取4天和2天，在所抽取的6天中，将空气质量指数为的4天分别记为，空气质量指数为的2天分别记为，从中任取2天的基本事件为 共15个，其中事件“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括8个，所以概率.【点睛】本题考查频率的计算，频率分布直方图的绘制，以及由频率分布直方图计算中位数和平均数，古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合中档题.19.已知命题，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.【答案】“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.【解析】【分析】由恒成立问题
22、求得“为真命题”与“为真命题”对应的参数范围，结合集合之间的关系，判断充分性和必要性.【详解】若为真命题，则， 令，在单调递减，所以，. ， 若为真命题，则由.，可得，所以 因为，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题.20.已知偶函数，且.（）求，的值；（）设函数，若的值域为，求实数的取值范围.【答案】（）， ；（）.【解析】【分析】（）由函数定义域关于原点对称，以及函数值，待定系数即可求得结果；（）根据对数型复合函数的值域以及的值域，即可求得参数的范围.【详解】（）函数的定义域为，对于，因为，所以
23、因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称所以对于，一定有，则且有，可得 所以解得， 因为，所以，从而. （）由（）可知， 当时，可得，所以，即； 当时，所以， 因为的值域为，所以，故.【点睛】本题考查由对数型复合函数的奇偶性求参数值，以及对数型符合函数值域的求解，属中档题.21.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.（）写出
24、该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；（）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？【答案】（）；（）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（）5年.【解析】【分析】（）根据，分段求得利润，将其写成分段函数即可；（）根据（）中所求，求分段函数的最值；（）根据（）中所求，解简单不等式即可求得.【详解】（）当时，年利润；时，.所以； （）由（）知当时，所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 时，当且仅当万件时，乙获得的利润最大为24万元. 综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大
25、为24万元. （）由题意，设最早年后还清所有贷款，则有，解得，所以企业最早5年后还清所有贷款.【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，属综合基础题.22.已知函数（且）.（）若，求的值；（）用定义证明在单调递增；（）若，成立，求的取值范围.【答案】（）；（）证明见解析；（）或.【解析】【分析】（）先求得，再根据对数的运算性质，即可求得结果；（）对进行分类讨论，根据单调性定义，作差比较大小即可证明；（）利用（）中所证，根据函数单调性求解不等式即可【详解】（），因为，所以. （）设且，那么 当时，则，又，则，所以，从而； 当时，则，又，则，所以，从而，综上可知在单调递增. （）由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数. 所以等价于，又因为在单调递增，所以，即，所以有：， 令，则，且，或或，所以或.【点睛】本题考查对数的运算性质，以及利用函数单调性的定义求证指数型函数的单调性，涉及利用函数单调性求解不等式，属综合中档题.
