1、山东省泰安市2019-2020学年高一上期末数学试题一、单项选择题1.已知集合，则A. B. C. D. 2.设：，：，则是的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 104.函数的两个零点分别位于区间（ ）A. 和内B. 和内C. 和内D. 和内5.已知，则（ ）A. B. C. D. 6.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 7.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 8.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、
2、多项选择题9.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 10.已知，则下列不等式成立是（ ）A. B. C. D. 11.若定义域为的函数同时满足以下三条：（）对任意总有（）（）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有_；12.已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”是（ ）A. B. C. D. 三、填空题13.计算：_14.命题：，的否定是_15.已知幂函数的图象过点_16.已知函数，且，则实数_，函数单调递增区间为_.四、解答题17.已知集合.（1）求集合,；（2）若集合且,求的取值范围.18.在函数为奇函数；
3、当时，；是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，_.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间.19.已知函数f(x)sinsinsinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)在ABC中，若f1，求sinBsinC的最大值20.已知函数，.（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，
4、；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？22.若（，且）.（1）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.山东省泰安市2019-2020学年高一上期末数学试题一、单项选择题1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再求【详解】由已知得，所以，故选C【点睛】本题主要考查交集、补集的运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案2.设：，：，则是的（ ）A. 充要条件B. 充分不必
5、要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.【详解】解：因为：，所以：或，因为：，所以是的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】变换展开利用均值不等式得到答案.【详解】，当且仅当时，即时取“”.故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数的两个零点分别位于区间（ ）A. 和内B. 和内C. 和内D. 和
6、内【答案】A【解析】【分析】将进行整理化简，可得为二次函数，求出零点即可.【详解】解：，令，解得：，因为，故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，因，所以，因为，所以，所以，即故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等.6.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断
7、.【详解】解：的定义域为，所以函数为偶函数，故正确答案在A、B中，当时，故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选.7.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解8.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.
8、【答案】C【解析】【分析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与的单调性，从而得到的最大值【详解】易知在上单调递增，上单调递增.因为，所以的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】求解出、，对选项逐一判断.【详解】解：因为，且，所以，A正确；，B正确；，C不正确；，D不正确；故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.10.已知，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数
9、函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为，为减函数，所以，因为，为增函数，所以，又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，所以，同理可得，故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为的函数同时满足以下三条：（）对任意的总有（）（）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有_；【答案】【解析】【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】显然在0，1满足条件0；也满足条件f（1）=1若x10，x20，x1+x21，则f (x1+x2)f (x1)+ f (x2)(x
10、1+x2) (x1+ x2)0，即满足条件，故f（x）为A函数显然=2x-1在0，1满足条件g（x）0；也满足条件g（1）=1若x10，x20，x1+x21，则g(x1+x2)g(x1)+g(x2)2x1+x21(2x11)+(2x21)=2x1+x22x12x2+1(2x21)(2x11)0，即满足条件，故f（x）为A函数显然在0，1不满足条件f（x）0,不为A函数显然在0，1满足条件f（x）0；也满足条件f（1）=1若x10，x20，x1+x21，则f(x1+x2)f(x1)+f(x2)不满足条件，故f（x）不为A函数【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，
11、注意性质的灵活运用12.已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断.【详解】选项A：任取，则，取，故，所以存在这样的使得成立，选项A正确；选项B：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，当点运动时，直线与曲线均有交点，选项B是正确的；选项C：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，当点
12、运动时，直线与曲线均有交点，选项C是正确的；选项D：在函数上取点时，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确；故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：_【答案】【解析】法一：法二： 故答案为014.命题：，的否定是_【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数的图象过点_【答案】3【解析】【分
13、析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案【详解】设幂函数为常数，幂函数的图象过点，解得故答案为3【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键16.已知函数，且，则实数_，函数的单调递增区间为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】（1）由等式求解，（2）将（1）的结果代入化简得，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为，所以，解得：；（2）将代入，得，化简得，故，解得：，故函数的增区间为：.故答案为：；.【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合.（1）求集合,；（2
14、）若集合且,求的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简集合，利用指数函数的性质化简集合，从而可求出，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）等价于，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得的取值范围.试题解析：（1）,，,.（2），,当时，时满足;当时，要使，则综上所述，.18.在函数为奇函数；当时，；是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，_.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）选条件任一个，均有；（2）
15、选条件任一个，函数在上的单调递增区间均为，.【解析】【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.【详解】解： 函数的图象相邻对称轴间的距离为，.方案一：选条件为奇函数，解得：，.（1），；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案二：选条件，或，（1），；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案三：选条件是函数的一个零点，.（1），；（2）由，得，令，得，令，得.函数在上的单调递增区间为，【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解的值，即要找出周期，求
16、常见方法是代入一个点即可.19.已知函数f(x)sinsinsinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)在ABC中，若f1，求sinBsinC的最大值【答案】（1）1（2）【解析】【详解】（1） .（2）由，而可得：，即.，最大值为.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数，.（1）判断函数在上的单调性，并证明你
17、的结论；（2）是否存在，使得为奇函数？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用作差法证明函数的单调性；（2）利用奇偶性的定义求解的值.【详解】解：（1）在上单调递减，证明：，且则，在上单调递减；（2）函数的定义域为，若为奇函数，则恒成立，即恒成立，解得：，存在，使得为奇函数.【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法.21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小
18、于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）；（2）100百件【解析】【分析】（1）根据收益总收入成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当时，；当时，；（2）当时，当时，；当时，当且仅当，即时，年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意
19、中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。22.若（，且）.（1）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）方程有解，转化为新函数在上有零点，利用零点存在定理求解；（2）由在上恒成立，即要求解的最大值，控制的范围，研究函数的单调性，从而解决问题.【详解】解：（1）时，函数的定义域为.，即，令，在上单调递增，要使有解，则，；（2）.由题意知，.函数在区间上单调递增.若，则在上单调递减，在上的最大值为.在上恒成立，解得或，.若，则在上单调递增，在上的最大值为.在上恒成立，解得，此时，不存在满足题意，综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的性质问题，函数零点存在定理，恒成立问题，有解问题等等，还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.
