1、1 第第 1 章章 集合的并、交、补运算 【例 1】 已知全集 U0,1,2,3,4,5,6，集合 AxN|1x4，BxR|x23x20 (1)用列举法表示集合 A 与 B； (2)求 AB 及U(AB) 解 (1)由题知，A2,3,4，BxR|(x1)(x2)01,2 (2)由题知，AB2，AB1,2,3,4，所以U(AB)0,5,6 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助 Venn 图进行数形分析或利用数
2、轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2 1已知全集 U1,2,3,4，集合 A1,2，B2,3，则U(AB)( ) A1,3,4 B3,4 C3 D4 D A1,2，B2,3，AB1,2,3， U(AB)4 集合关系和运算中的参数问题 【例 2】 已知集合 Ax|0 x2，Bx|axa3 (1)若(RA)BR，求 a 的取值范围； (2)是否存在 a 使(RA)BR 且 AB？ 解 (1)Ax|0 x2， RAx|x2 (RA)BR， a0，a32. 1a0. (2)由(1)知(RA)BR 时，1a0，而 2a33， AB，这与 AB矛盾即这样的
3、 a 不存在 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如 AB 的问题转化为 A B或 AB，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面. 2已知集合 Ax|3x2，Bx|2k1x2k1，且 BA，求实数 k 的取值范围. 解 由于 BA，在数轴上表示 A，B，如图， 3 可得 2k13，2k12， 解得 k1，k12. 所以 k 的取值范围是k 1k12. 充分条件与必要条件 【例 3】 已知 a12，ya2x2axc，其中 a，c 均为实数证明：对于任意的xx|0 x1，均有 y1 成立的充要条件是 c34
4、. 解 因为 a12，所以函数 ya2x2axc 的图象的对称轴方程为 xa2a212a，且 012a1，当 x12a时，y14c. 先证必要性：对于任意的 xx|0 x1，均有 y1，即14c1，所以 c34. 再证充分性： 因为 c34，当 x12a时，y 的最大值为14c14341， 所以对于任意 xx|0 x1， ya2x2axc1，即 y1. 即充分性成立 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围， 主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 3若 p：x2x60 是 q：ax10 的必要不充分条件，则实数 a
5、 的值为_ 4 12或13 p：x2x60，即 x2 或 x3. q：ax10，当 a0 时，方程无解；当 a0 时，x1a. 由题意知 pq，qp，故 a0 舍去；当 a0 时，应有1a2 或1a3，解得 a12或 a13. 综上可知，a12或 a13. 全称量词与存在量词 【例 4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( ) A任何一个实数乘以零都等于零 B自然数都是正整数 C高一(一)班绝大多数同学是团员 D每一个实数都有大小 (2)命题 p：“xR，x20”，则( ) Ap 是假命题；p：xR，x20 Bp 是假命题；p：xR，x20 Cp 是真命题；p：xR，x20 Dp 是真命题；
6、p：xR，x20 (1) C (2) B (1)A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故 A 是全称量词命题；B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故 B 是全称量词命题；C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故 D 是全称量词命题故选 C. (2)由于 020 不成立，故“xR，x20”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“xR，x20”的否定是“xR，x20”，故选 B. “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系 1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其
7、结论，得到真假性完全相反的两个5 命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论 px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词. 2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定. 4下列命题不是存在量词命题的是( ) A有些实数没有平方根 B能被 5 整除的数也能被 2 整除 C在实数范围内，有些一元二次方程无解 D有一个 m 使 2m 与|m|3 异号 B 选项 A、C、D 中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项 B 中不含存在量词，不是存在量词命题 5命题“能被 7 整除的数是奇数”的否定是_ 存在一个能被 7 整除的数不是奇数 原命题即为“所有能被 7 整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被 7 整除的数不是奇数”
