1、1 5.7 三角函数的应用三角函数的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型(难点) 1.通过建立三角模型解决实际问题， 培养数学建模素养. 2.借助实际问题求解， 提升数学运算素养. 1函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义 2解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论 1函数 y13sin13x6的周期、振幅、初相分别是( ) A3，13，6 B6，13，
2、6 C3，3，6 D6，3，6 2 B y13sin13x6的周期 T2136，振幅为13，初相为6. 2函数 y3sin12x6的频率为_，相位为_，初相为_ 14 12x6 6 频率为1T12214， 相位为12x6，初相为6. 3如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s 往返一次 08 观察图象可知此简谐运动的周期 T0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次 4 如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式为_ y6sin6x 设 y 与 x 的函数关系式为
3、 yAsin(x)(A0，0)，则 A6，T212，6. 当 x9 时，ymax6. 故6922k，kZ. 取 k1 得 ，即 y6sin6x. 3 三角函数模型在物理学中的应用 【例 1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化规律为 s4sin2t3，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题 (1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 思路点拨 确定函数 yAsin(x)中的参数 A， 的物理意义是解题关键 解 列表如下： t 6
4、 12 3 712 56 2t3 0 2 32 2 sin2t3 0 1 0 1 0 s 0 4 0 4 0 描点、连线，图象如图所示 (1)将 t0 代入 s4sin2t3， 得 s4sin 32 3， 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和4 cm. (3)因为振动的周期是 ，所以小球往复振动一次所用的时间是 s. 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数 yAsinx表示物体振动的位移 y 随时间 x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T2为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f1T为频率，表
5、示物体在单位时间内往复振动的次数. 4 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E220 3sin100t6来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解 (1)当 t0 时，E110 3(V)，即开始时的电压为 110 3 V. (2)T2100150(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3 V，当 100t62，即 t1300 s 时第一次取得最大值 三角函数模型的实际应用 探究问题 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图
6、 (2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线 (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 (4)利用函数关系式， 根据条件对所给问题进行预测和控制， 以便为决策和管理提供依据 【例 2】 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数， 其中 0t24， 记 yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数 yAcos tb 的图象 (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函
7、数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 思路点拨 (1)根据 y 的最大值和最小值求 A，b，定周期求 . 5 (2)解不等式 y1，确定有多少时间可供冲浪者活动 解 (1)由表中数据可知，T12，6.又 t0 时，y1.5，Ab1.5；t3 时，y1.0，得 b1.0，所以振幅为12，函数解析式为 y12cos6t1(0t24) (2)y1 时，才对冲浪爱好者开放，y12cos6t11，cos6t0,2k26t2k2，即 12k3t12k3，(kZ)又 0t24，
8、所以 0t3 或 9t15 或 21t24，所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 9t15. 1若将本例中“大于 1 米”改为“大于 1.25 米”，结果又如何？ 解 由 y12cos6t11.25 得 cos6t12，2k36t2k3，kZ，即 12k2t12k2，kZ. 又 0t24，所以 0t2 或 10t14 或 22t24， 所以在规定时间内只有 4 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 10t14. 2若本例中海滨浴场某区域的水深 y(米)与时间 t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9
9、7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 用 yAsin tb 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式 解 函数 yAsin tb 在一个周期内由最大变到最小需 936(h)， 此为半个周期， 函数的最小正周期为 12 h，因此212，6. 又当 t0 时，y10；当 t3 时，ymax13， b10，A13103， 所求函数的解析式为 y3sin 6t10(0t24) 解三角函数应用问题的基本步骤 6 提醒：关注实际意义求准定义域 1曲线 yAsin (x)的应用实质上是物理方面的知识所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行 2解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步
10、：审题、建模、解模、还原评价 (1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题 (2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题 1思考辨析 (1)函数 y|sin x12|的周期为 .( ) (2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为 0.4 s，振幅为 5 cm，则该振子在 2 s 内通过的路程为 50 cm.( ) (3)电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I5sin100t3，则当 t1200 s 时，电流强度 I 为52 A( ) 提示 (1)错误函数 y|sin x12|的周期为 2. (2)错误一个周期通过路程为 20 cm，所以
11、2 s 内通过的路程为 2020.4100(cm) (3)正确 答案 (1) (2) (3) 2在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1和 M2的小球做上下自由振动已知它们在时间7 t(s)离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由 s15sin2t6，s210cos 2t 确定，则当 t23 s 时，s1与 s2的大小关系是( ) As1s2 Bs1s2 Cs1s2 D不能确定 C 当 t23时，s15sin4365sin325， 当 t23时，s210cos4310125， 故 s1s2. 3一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm
12、)与时间 t(s)的函数关系式为 s3cosglt3，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是 1 s 时，线长 l_cm. g42 由已知得2gl1，所以gl2，gl42，lg42. 4如图所示，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化 (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式；(其中 t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量 解 (1)设种群数量 y 关于 t 的解析式为 yAsin(t)b(A0，0)，则 Ab700，Ab900， 解得 A100，b800. 又周期 T2(60)12， 2T6，y100sin6t 800. 又当 t6 时，y900， 8 900100sin66 800， sin()1，sin 1， 取 2， y100sin6t2800. (2)当 t2 时， y100sin622800750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
