1、1 1.5.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过生活和数学中的丰富实例， 理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定(重点、难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点) 1.通过含量词的命题的否定， 培养逻辑推理素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养. 1全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示
2、(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题， 通常将含有变量 x 的语句用 p(x)， q(x)， r(x)， 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，那么全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x) 2存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示 (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)” 思考：“一元二次方程 ax22x10 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式 提示：是存在量词命
3、题，可改写为“存在 xR，使 ax22x10” 3含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题 p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x)； 存在量词命题 p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x) 2 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 1下列命题中全称量词命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 有的菱形是正方形； 三角形的内角和是 180 . A0 B1 C2 D3 答案 C 2下列全称量词命题为真命题的是( ) A所有的质数是奇数 BxR，x211 C对每一个无理数 x，x2也是无理数 D所有
4、的能被 5 整除的整数，其末位数字都是 5 答案 B 3下列命题中的假命题是( ) AxR，|x|0 BxN*，(x1)20 CxR，x20190. 解 (1)因为面积相等的三角形不一定相似故它是假命题 (2)因为当 x2y20 时，xy0， 所以不存在 x，y 为正实数，使 x2y20，故它是假命题 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题 (4)因为 0N,020，所以命题“xN，x20”是假命题 含有一个量词的命题的否定 4 【例 2】 (1)设命题 p：nN，n22n，则命题 p 的否定为( ) AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n2
5、2n (2)命题“xR，nN*，使得 nx2”的否定形式是( ) AxR，nN*，使得 nx2 BxR，nN*，使得 nx2 CxR，nN*，使得 nx2 DxR，nN*，使得 nx2 (1)C (2)D (1)因为“xM， p(x)”的否定是“xM， p(x)”， 所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选 C. (2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题， 所以“xR， nN*， 使得 nx2”的否定形式为“xR， nN*， 使得 nx2” 含有一个量词的命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题
6、是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论 (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定 2写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：xR，x1220； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x30； (4)s：至少有一个实数 x，使 x310. 解 (1) p：xR，x1220，假命题 5 因为xR，x1220 恒成立，所以p 是假命题 (2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题 (3) r：xR，x22x30，真命题 因为xR，
7、x22x3(x1)2220 恒成立，所以r 是真命题 (4) s：xR，x310，假命题 因为 x1 时，x310，所以s 是假命题 全称量词命题与存在量词命题的应用 【例 3】 对于任意实数 x， 函数 yx24x1 的函数值恒大于实数 m， 求 m 的取值范围 解 令 yx24x1，xR， 则 y(x2)25， 因为xR，不等式 x24x1m 恒成立， 所以只要 m5 即可 所以所求 m 的取值范围是m|m0 的否定是xR，x23x30.( ) 答案 (1) (2) (3) 2下列存在量词命题中，是假命题的是( ) AxZ，x22x30 B至少有一个 xZ，使 x 能同时被 2 和 3 整
8、除 C有的三角形没有外接圆 D某些四边形不存在外接圆 C A 中，x1 满足题意，是真命题；B 中，x6 满足题意，是真命题；C 中，所有的三角形都有外接圆，是假命题只有对角互补的四边形才有外接圆，故选 C. 3命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 B 量词“存在”改为“任意”， 结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选 B. 4判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假 (1)对某些实数 x，有 2x10； (2)x3,5,7,3x1 是偶数； (3)xQ，x23. 解 (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题 7 (2)命题中含有全称量词的符号“”，因此是全称量词命题 把 3,5,7 分别代入 3x1，得 10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题 (3)命题中含有存在量词的符号“”，因此是存在量词命题 由于使 x23 成立的实数只有 3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于 3，所以该命题是假命题
