1、3.2.23.2.2 奇偶性奇偶性 本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修一（人教 A 版）第三章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此 成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.使学生了解奇函数、偶函数的定义；X B、使学生了解奇函数、偶函数图象的对称性； C、使学生会用定义判断函数的奇偶性。 D.培养学生判断、推理的能力，加强化归转化能力的训练。 1.
2、数学抽象：奇函数、偶函数的定义； 2.逻辑推理：判断函数奇偶性的步骤； 3.数学运算：判断函数的奇偶性； 4.直观想象：奇函数、偶函数图象的对称性； 1.教学重点：奇函数、偶函数的定义，判断函数的奇偶性； 2.教学难点：用定义判断函数的奇偶性。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情境导航、引入新课 多媒体出示图片，观察图片有何特点？ 我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ 二、探索新知 探究一 偶函数 1.在平面直角坐标系中， 利用描点法作出函数2( )( )2 |f xxf xx 和的图象，并观察这两个函数图象. 思考 1.总结出
3、它们的共同特征. 思考 2.对于上述两个函数， f(1)与 f(-1)， f(2)与 f(-2)， f(-3)与 f(3),f(x)与 f(-x)有什么关系？ 2.偶函数定义：一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做偶函数. 3.思考:定义中“任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)成立”说明了什么？ 【答案】说明-x、x 必须同时属于定义域，f(-x)与 f(x)都有意义. 结论：（1）偶函数的图象关于 y 轴对称. （2）偶函数的定义域关于原点对称. 牛刀小试 判断下列函数是否为偶函数。 22(1) ( ), 1,1.(2
4、) ( ), 1,1)f xxxf xxx 。 【答案】（1）是 （2）不是 通过观察图片，引入本节新课。提高观察的能力，建立数学与生活实际的联系，提高学生的学习数学的兴趣。 通过观察函数的图象，思考问题，总结偶函数的定义。提高学生的分析问题、总结问题的能力。 通过练习，巩固偶函数的定义，提高学生解决问题能力。 探究二 奇函数 1.观察函数( )f xx和1( )f xx的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？ 【答案】图象关于 x 轴对称。 2、奇函数定义： 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有()( )fxf x ，那么函数 f(x)
5、就叫做奇函数 奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 例 1：判断下列函数的奇偶性： 通过观察函数的图象，思考问题，总结 奇函数的定义。提高学生的分析问题、总结问题的能力。 进一步理解偶函数、奇函数的定义。 （1）4( )f xx （2
6、）5( )f xx （3）1( )f xxx （4）21( )f xx 应用函数奇偶性定义说明四个函数的奇偶性（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤） 【解析】解析步骤见教材 总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定 f(x)与 f(x)的关系； 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 3.思考： （1）判断函数3( )f xxx的奇偶性。 （2）如图，是函数3( )f xxx图象的一部分，你能根据函数
7、的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗？ （3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 【答案】（1）奇函数 （2） 通过例题，让学生掌握怎样判断函数的奇偶性，提高学生解决问题的能力。 通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步理解函数的奇偶性，提高学生解决与分析问题的能力。 三、达标检测 1下列函数是偶函数的是( ) Af(x)x Bf(x)2x23 Cf(x) x Df(x)x2，x(1,1 【解析】 对于 A，f(x)xf(x)，是奇函数；对于 B，定义域为 R，满足 f(x)f(x)，是偶函数；对于 C 和 D，定义域不对称，则不是偶
8、函数，故选 B. 【答案】 B 2已知 f(x)ax2bx 是定义在a-1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是( ) A13 B.13 C12 D.12 【解析】 依题意得 f(x)f(x)，b0，又 a12a，a13，ab13.故选 B. 【答案】 B 3 若奇函数 f(x)在6， 2上是减函数， 且最小值是 1， 则它在2,， ,6是( ) A增函数且最小值是1 B增函数且最大值是1 C减函数且最大值是1 D减函数且最小值是1 【解析】 奇函数 f(x)在6，2上是减函数，且最小值是 1，函数 f(x)在2,，,6上是减函数且最大值是1. 【答案】 C 4如图，已知偶函数 f(x)的定义域
9、为x|x0，xR，且 f(3)0，则不等式 f(x)0 的解集为_ 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 【解析】 由条件利用偶函数的性质，画出函数 f(x)在 R 上的简图： 数形结合可得不等式 f(x)0 的解集为(3,0)(0,3) 【答案】 (3,0)(0,3) 5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x2x. (1)求 f(x)的表达式； (2)画出 f(x)的图象 【解】 (1)当 x0 时，f(0)f(0)，则 f(0)0；当 x0，函数 f(x)是奇函数， 则 f(x)f(x)2(x)2(x
10、)(2x2x)2x2x. 综上所述，f(x) 2x2x，x00，x02x2x，x0. (2)函数 f(x)的图象如图所示： 四、小结 奇偶性 奇函数 偶函数 定义 设函数 y=f(x)的定义域为 D， 任意 x 属于 D ,都有-x 属于 D . 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 函数的奇偶性是函数的主要性质之一,由于函数的研究与集合、不等式章节的研究风格完全不同,特别是概念学习,学生在理解上会有不适应与困惑。 对于上述问题,我结合课程标准与考纲,提出个人设计理念:体现数活动的教学,通过活动,经历数学“概念形成”的过程,关注调动学生的思维,取得较好的教学效果。 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 图像性质 关于原点对称 关于 y 轴对称 判断 步骤 定义域是否关于原点对称. f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 判断或证明函数奇偶性的基本步骤： 一看二找三判断 注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于 y 轴对称或者关于原点对称。 五、作业 习题 3.2 5,11 题
