1、3 32.22.2 奇偶性奇偶性 第第 1 1 课时课时 奇偶性的概念奇偶性的概念 学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函 数图象的对称性解决简单问题 知识点一 函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数 知识点二 函数奇偶性的定义 1偶函数：函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI，且 f(x)f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数 2奇函数：函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI，且 f(x)f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数 知识点三 奇(偶)函数的
2、定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称 1奇、偶函数的定义域都关于原点对称( ) 2函数 f(x)x2|x|的图象关于原点对称( ) 3对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(1)f(1)，则函数 f(x)一定是偶函数( ) 4不存在既是奇函数又是偶函数的函数( ) 一、函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)1 x； (2)f(x)x2(x22)； (3)f(x) x x1； (4)f(x) x21 1x2. 解 (1)f(x)1 x的定义域为(，0)(0，)， f(x) 1 x 1 xf(x)， f(x)1 x是奇函数 (2)f(x)x2(x22)的定义域为
3、 R. f(x)f(x)， f(x)x2(x22)是偶函数 (3)f(x) x x1的定义域为(，1)(1，)， 定义域不关于原点对称， f(x) x x1既不是奇函数，也不是偶函数 (4)f(x) x21 1x2的定义域为1,1 f(x)f(x)f(x)0， f(x) x21 1x2既为奇函数，又为偶函数 反思感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 定义域关于原点对称； 确定 f(x)与 f(x)的关系 (2)图象法 跟踪训练 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x) x； (2)f(x) 1x2 x ； (3)f(x) x2x，x0， x2x，x0 时，x0， 则 f(x)(x)2(x
4、)x2xf(x)； 当 x0， 则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以 f(x)是偶函数 二、奇、偶函数图象的应用 例 2 定义在 R 上的奇函数 f(x)在0，)上的图象如图所示 (1)画出 f(x)的图象； (2)解不等式 xf(x)0. 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得 f(x)的图象如图 (2)xf(x)0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0 的解集是(2,0)(0,2) 延伸探究 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题 解 (1)f(x)的图象如图所示：
5、(2)xf(x)0 的解集是(，2)(0,2) 反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等 跟踪训练 2 已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示 (1)画出在区间5,0上的图象； (2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 解 (1)如图，在0,5上的图象上选取 5 个关键点 O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点 O，A，B，C，D， 再用光滑曲线连接即得 (2)由(1)图可知，当且仅当 x(2,0)(2,5)时，f(x)0. 使 f(x)0 的 x 的取值集合
6、为x|2x0 或 2x5 三、利用函数的奇偶性求参数值 例 3 (1)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b _. 答案 1 3 0 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以 a12a，解得 a1 3. 又函数 f(x)1 3x 2bxb1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b0. (2)已知函数 f(x)ax22x 是奇函数，则实数 a_. 答案 0 解析 由奇函数定义有 f(x)f(x)0，得 a(x)22(x)ax22x2ax20，故 a0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数 f(x)的定义域为a，b，根据
7、定义域关于原点对称，利用 ab0 求参数 (2)解析式含参数：根据 f(x)f(x)或 f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解 跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则实数 a_. 答案 0 解析 方法一 显然 xR， 由已知得 f(x)(x)2|xa|x2|xa|. 又 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)，即 x2|xa|x2|xa|， 即|xa|xa|. 又 xR，所以 a0. 方法二 由题意知 f(1)f(1)，则|a1|a1|，解得 a0. (2)已知函数 f(x)是奇函数， 当 x(， 0)时， f(x)x2mx.若 f(2)3， 则 m 的值为_
8、 答案 1 2 解析 f(2)f(2)3， f(2)(2)22m3， m1 2. 1下列函数是偶函数的是( ) Ayx By2x23 Cy x Dyx2，x(1,1 答案 B 2函数 f(x)1 xx 的图象关于( ) Ay 轴对称 B直线 yx 对称 C坐标原点对称 D直线 yx 对称 答案 C 解析 f(x)1 xx 是奇函数， f(x)1 xx 的图象关于原点对称 3下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) 考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 B 4f(x)x2|x|( ) A是偶函数，在(，)上是增函数 B是偶函数，在(，)上是减函数 C不是偶函数，在(，)上是增函
9、数 D是偶函数，且在(0，)上是增函数 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 D 5若已知函数 f(x)axb 1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f 1 2 2 5，则函数 f(x)的解析式为 _ 答案 f(x) x 1x2 解析 f(x)axb 1x2是定义在(1,1)上的奇函数， f(0)0，f(0)a0b 102 0，b0. 即 f(x) ax 1x2， 又 f 1 2 2 5， a 2 1 1 2 2 2 5. a1，函数 f(x) x 1x2. 1知识清单： (1)函数奇偶性的概念 (2)奇函数、偶函数的图象特征 2方法归纳：特值法、数形结合法 3常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性
