1、【新教材】【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计教学设计（人教（人教 A 版）版） 本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。 课程目标课程目标 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：两
2、角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题. 4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。. 重点：重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 我 们 在 初 中 时 就 知 道 2cos452o，3cos302o， 由 此 我 们 能 否 得 到cos15
3、cos 4530?ooo大家可以猜想，是不是等于cos45cos30oo呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 215-218 页，思考并完成以下问题 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？ 2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_； cos()cos_cos_sin_sin_； tan()tan tan 1
4、tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22sin_cos_； cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_； tan 22tan 1tan2. 提醒： 1必会结论 (1)降幂公式：cos2 1cos 22，sin2 1cos 22. (2)升幂公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 . (3)公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) (4)辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)， 其中 sin ba2b2，cos aa2b2 . 2常见的配角技巧 2()()， ()， 22， 22，222 等 四、典例
5、分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 给角求值给角求值 例例 1 利用和（差）角公式计算下列各式的值. (1)sin72 cos42cos72 sin42 ;(2)cos20 cos70sin20 sin70 ;1tan15(3).1tan15oooooooooo 【答案】（1）12（2）0（3）3. 1=sin 7242=sin30 =2=cos 2070=cos90 =0tan45tan15=tan603.1tan45 tan15ooooooooooo（1）原式；（2）原式；（【解】3）原式析 解题技巧：（利用公式求值问题） 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,
6、要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 跟踪训练一跟踪训练一 1.cos 50 =( ) A.cos 70 cos 20 -sin 70 sin 20 B.cos 70 sin 20 -sin 70 cos 20 C.cos 70 cos 20 +sin 70 sin 20 D.cos 70 sin 20 +sin 70 cos 20 【答案】C 【解析】 cos 50 =cos(70 -20 )=cos 70 cos 20 +sin 70 sin 2
7、0 . 2.cos512cos6+cos12sin6的值是( ) A.0 B.12 C.22 D.32 【答案】C 【解析】cos512cos6+cos12sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos(512-6)=cos4=22. 3. 求值：(1)tan75 ；(2)3tan151 3tan15. 【答案】（1）2 3；（2）1. 【解析】(1)tan75 tan(45 30 )tan45 tan301tan45 tan301331333 33 3126 362 3. (2)原式tan60 tan151tan60 tan15tan(60 15 )tan45 1. 题型二题型
8、二 给值求值给值求值 例例 2 45sin,cos,cos().5213 已知是第三象限角，求的值 【答案】33.65 223cos=- 1 sin.512sin- 1 cos,133512433cos()=coscossinsin=.51313565 Q是第二象限角，是第三【解析，】象限角则 例例 3 3sin,sin(),cos(),tan().5444 已知是第四象限角，求的值 【答案】见解析. 43cos=,tan.5424327 2sin()=sincoscossin=44425521024327 2cos()=coscossinsin=44425521037tantan1444ta
9、n()=7.3141tantan1444 Q是第四象限【解析角；】，； 解题技巧：(给值求值的解题策略) (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、 差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: =(-)+;=+2+-2;2=(+)+(-); 2=(+)-(-). 跟踪训练二跟踪训练二 1.(1)已知 为锐角,sin =35, 是第四象限角,cos =45,则 sin(+)= . (2)若 sin(-)cos +cos(-)sin =35,且 (2,),则 tan(
10、-34) = . 【答案】（1）0；（2）17 【解析】 (1) 为锐角,sin =35,cos =45. 是第四象限角,cos =45,sin =-35. sin(+)=sin cos +cos sin =3545+45 (-35)=0. (2)由已知得 sin (-)+=35,即 sin =35,又因为 (2,), 所以 cos =-45,于是 tan =-34, 故 tan(-34) =tan-tan 341+tantan 34=-34-(-1)1+(-34)(-1)=17. 题型三题型三 给值求角给值求角 例例 4 已知 tan17，sin1010，且 ， 为锐角，求 2 的值 【答案
11、】4. 【解析】 tan171 且 为锐角，04. 又sin1010501022且 为锐角 04，0234. 由 sin1010， 为锐角，得 cos3 1010，tan13. tan()tantan1tantan17131171312. tan(2)tantan1tantan1213112131. 由可得 24. 解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤) (1)给值求角问题的步骤 求所求角的某个三角函数值 确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小， 会使求出的角不合题意或漏解)， 根据范围找出角 (2)选取函数的原则 已知正切函数值，选正切函数 已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角
12、的范围是0，2，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是2，2，选正弦较好 跟踪训练三跟踪训练三 1.若 tan =12,tan =13,且 (,32),(0,2),则 + 的大小等于( ) A.4 B.54 C.74 D.94 【答案】B . 【解析】由已知得 tan(+)=tan+tan1-tantan =12+131-1213=1. 又因为 (,32),(0,2), 所以 +(,2),于是 +=54. 题型四题型四 二倍角公式应用二倍角公式应用 例例 5 5sin2,sin4cos4tan4.13 42已知求，的值 【答案】见解析. 221252,cos2 =
13、,tan2.4221312512120sin42sin2 cos22;131316912119cos42cos 2121;13169sin4120tan4.cos4119 Q【，解析】 解题技巧：(二倍角公式应用二倍角公式应用) 应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异 跟踪训练四跟踪训练四 1. (1)已知 2， ，sin55，则 sin2_，cos2_，tan2_； (2)已知 sin4x 513，0 x4，求 cos2x 的值 【答案】（1）45，35，43；（2）120169. 【解析】 (1)因为 2， ，sin55
14、，所以 cos2 55， 所以 sin22sincos2552 5545， cos212sin21255235， tan2sin2cos243，故填45，35，43. (2)因为 x0，4，所以4x0，4，又因为 sin4x 513， 所以 cos4x 1213， 所以 cos2xsin22x 2sin4x cos4x 25131213120169. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 228 页习题 5.5. 本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、 余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。 5.5.5 5. .1 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、六组公式 例 1 例 2 二、二倍角公式 例 3 例 4
