1、2021年宁波市各地区九年级上数学期末复习大题难题汇编题型：二次函数综合大题(2021江北九上期末)扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为元，每天的销售量为千克求每天的销售量千克与销售单价元之间的函数关系式以及的取值范围；当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？(2021南三县九上期末)如图，抛物线
2、与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，连接，交轴于点求抛物线表达式；求的度数；在轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由 (2021慈溪余姚九上期末)如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点求该二次函数表达式；判断的形状，并说明理由；（3）为第一象限内该二次函数图象上一动点，过作，交直线于点，作轴交于求证：；求线段的长度的最大值题型：三角形综合大题(2021镇海九上期末)定义：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形叫做平衡四边形如图1，在四边形中，判断四边形是否是平衡四边形，请说明理由；若是等腰三角形，求的值；如图2，在平衡四边形中，交于点，若，求的长(202
3、1鄞州九上期末)和均是等腰直角三角形，其中如图1.开始时，现在固定将绕着点按顺时针方向旋转；（1）当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转角的度数是 ；（2）如图2，连接，求证：；（3）若，在的旋转过程中，当，三点在同一条直线上时，请画出图形求的度数题型：圆综合大题(2021北仑九上期末)如图，是的直径，为上一点，过点的直线交的延长线于点，平分，过点作于点，与交于点求证：是的切线；若，求的长；求的长(2021南三县九上期末)定义：有两边之比为1：2的三角形叫做智慧三角形如图1，在智慧三角形ABC中，AB2，BC22，AD为BC边上的中线，求ADAC的值；如图2，ABC是O的内接三角形，AC为直径，
4、过AB的中点D作DEOA，交线段OA于点F，交O于点E，连接BE交AC于点G求证：ABE是智慧三角形；设sinABEx，OFy，若O的半径为2，求y关于x的函数表达式；如图3，在（2）的条件下，当AF：FG5：3时，求BED的余弦值(2021海曙九上期末)定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形（1）已知，请直接写出一个的值 ，使四边形为幸福四边形；（2）如图1，中，、分别是边，上的点，求证：四边形为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过，三点作，与边交于另一点，与边交于点，且求证：是的直径；连结，若，求的长和幸福四边形的周长 (2021北仑九上期末)在平面直角
5、坐标系xOy中，O的半径为1，A，B为O外两点，AB=3给出如下定义：平移线段AB，得到O的弦AB（A，B分别为点A，B的对应点），线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图，平移线段AB得到O的长度为3的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”；（2）若点A在直线yx+2上；若点B也在直线yx+2上，记线段AB到O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；若点B在抛物线yx2+4上且ABy轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为d2的最小值，若不存在，说明理由；（3）
6、若点A的坐标为（23，2），记线段AB到O的“平移距离”为d3，则d3的取值范围为 ，当d3取最小值时点B的坐标为 (2021海曙九上期末)已知内接于，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记如图1，若；直接写出的值为；当的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2.若，求的长 (2021鄞州九上期末)定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在中，满足，所以是关于的“差倍角三角形”；若等腰是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角的度数；如图1，中，小明发现这个是关于的“差倍角三角形”他的证明方法
7、如下：证明：在上取点，使得，连接（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形内接于圆，连接，与相交于点，是关于的“差倍角三角形”求证：四边形是平行四边形；若，设，求关于的函数关系式(2021慈溪余姚九上期末)如图，的半径为5，弦，为所对优弧上一动点，的外角平分线交于点，直线与直线交于点如图1.求证：点为的中点；求的值；（2）如图2，若点为的中点，求的长；（3）若为非锐角三角形，求的最大值(2021镇海九上期末)如图1，是的直径，弦，垂足为点，连结若，求劣弧的度数；如图2，连结并延长交于点，交于点，连结若，求的长；设，求关于的函数关系式 (2021江北九上期末)如图1，内接于，分别是，的中点，连
8、接分别交，于点，求证：；若，求的长；如图2，连接，若，求关于的函数表达式2021年浙江省宁波市各地区九年级上数学期末复习大题难题汇编题型：二次函数综合大题(2021江北九上期末)扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为元，每天的销售量为千克求每天的销售量千克与销售单价元之间的函数关系式以及的取值范围；当销售单价为多少元时，这种水
9、果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【答案】解：（1）由题意可得，销售单价不低于批发价，即每天的销售量千克与销售单价元之间的函数关系式是；（2）设销售利润为元，由题意可得，当时，取得最大值，此时，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元(2021南三县九上期末)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，连接，交轴于点求抛物线表达式；求的度数；在轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）把代入表达式得，解得，；（2）过点作轴交轴于点，顶点，点，是等腰直角三角形，；（3）存在，理由：，如图2，当时，由点、的坐标得
10、，直线的表达式为，故，在中，如图3，当时，点综上所述点的坐标为或(2021慈溪余姚九上期末)如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点求该二次函数表达式；判断的形状，并说明理由；（3）为第一象限内该二次函数图象上一动点，过作，交直线于点，作轴交于求证：；求线段的长度的最大值【答案】解：（1）二次函数的图象经过点，解得：，二次函数表达式为；（2）是直角三角形，理由如下：抛物线与轴交于点，点，又点，是直角三角形；（3），轴，；如图，延长交于，点，直线解析式为，设，则点，当时，有最大值为题型：三角形综合大题(2021镇海九上期末)定义：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形叫做平衡四边形如图1，
11、在四边形中，判断四边形是否是平衡四边形，请说明理由；若是等腰三角形，求的值；如图2，在平衡四边形中，交于点，若，求的长【答案】解：（1）四边形是平衡四边形，理由如下：，四边形是平衡四边形；如图，当时，过点作于，如图，当时，过点作于，综上所述：的值为或；（2）四边形是平衡四边形，设，（舍去），(2021鄞州九上期末)和均是等腰直角三角形，其中如图1.开始时，现在固定将绕着点按顺时针方向旋转；（1）当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转角的度数是 ；（2）如图2，连接，求证：；（3）若，在的旋转过程中，当，三点在同一条直线上时，请画出图形求的度数【答案】解：（1）当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转
12、角的度数是，当时，；当时，；旋转角的所有可能的度数为，故答案为，；（2）和均是等腰直角三角形，其中，即，；（3）由（2）可知，题型：圆综合大题(2021北仑九上期末)如图，是的直径，为上一点，过点的直线交的延长线于点，平分，过点作于点，与交于点求证：是的切线；若，求的长；求的长【答案】解：（1）连接，平分，与相切；（2）为直径，即，；连接，即，(2021南三县九上期末)定义：有两边之比为1：2的三角形叫做智慧三角形如图1，在智慧三角形ABC中，AB2，BC22，AD为BC边上的中线，求ADAC的值；如图2，ABC是O的内接三角形，AC为直径，过AB的中点D作DEOA，交线段OA于点F，交O于点
13、E，连接BE交AC于点G求证：ABE是智慧三角形；设sinABEx，OFy，若O的半径为2，求y关于x的函数表达式；如图3，在（2）的条件下，当AF：FG5：3时，求BED的余弦值【答案】解： （1）AD是BC的中线B=B ABDCBA -3分（2）如图，连结OE，设ABE= AOE=2ABE=2OA=OEOAE=90°DEOAAED+OAE=90°AED=ABE=EAD=BAEADEAEB AE2=AD·AB D是AB的中点H ABE是智慧三角形 -7分如图，过点O作OHAE交于点HEOH=ABE=AED，AE=2EH在RtDEH中，EH=2xAE=2EH=4x
14、在RtAEF中，AF=AE·x=4x2OF=OAAF=24x2 即y=24x2 -10分（3）如图，过点G作GIAB交DE于点IAD=BD设EG=3a，则BE=5a由（2）可得，ADEAEB，在RtEFG中，即 (2021海曙九上期末)定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形（1）已知，请直接写出一个的值 ，使四边形为幸福四边形；（2）如图1，中，、分别是边，上的点，求证：四边形为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过，三点作，与边交于另一点，与边交于点，且求证：是的直径；连结，若，求的长和幸福四边形的周长【答案】（1）解：，若，则，解得：（舍，若，则
15、，解得：，若，则，解得：，若，则，解得：，若，则，无解，若，则，解得：，若，则，无解，若，则，解得：，综上，的值是或或或（写一个即可），故答案为：或或或（写一个即可）；（2）证明：如图1，设，则，在四边形中，四边形为幸福四边形；（3）证明：如图2，、四点都在上，即，是的直径；如图3，过作于，连接，是的直径，是等腰直角三角形，即，幸福四边形的周长(2021北仑九上期末)在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A，B为O外两点，AB=3给出如下定义：平移线段AB，得到O的弦AB（A，B分别为点A，B的对应点），线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图，平移线段AB得到O的长度为
16、3的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”；（2）若点A在直线yx+2上；若点B也在直线yx+2上，记线段AB到O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；若点B在抛物线yx2+4上且ABy轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为d2的最小值，若不存在，说明理由；（3）若点A的坐标为（23，2），记线段AB到O的“平移距离”为d3，则d3的取值范围为 ，当d3取最小值时点B的坐标为 【答案】解：（1）平行，P1（2）线段 AB 在直线 y = x + 2 上，平移之后与圆相交，得到的弦
17、为 A' B' ， A' B' / AB，过点O 作OH AB 于点 H，交弦 A' B' 于点 P， OP A' B'令 y = 0 ，直线与 x 轴交点为(-2, 0) ，直线与 x 轴夹角为 45°， OH =，由垂径定理得：，假设存在这样的点 B（a，a2+4）满足要求即，故不存在.（3）(2021海曙九上期末)已知内接于，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记如图1，若；直接写出的值为；当的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2.若，求的长【答案】解：（1）如图1，连接，是
18、的切线，是等边三角形，平分，是的直径，故答案为：；的半径为4，阴影部分的面积为：；故答案为：；（2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，则，与相切，平分，四边形内接于，在和中，(2021鄞州九上期末)定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在中，满足，所以是关于的“差倍角三角形”；若等腰是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角的度数；如图1，中，小明发现这个是关于的“差倍角三角形”他的证明方法如下：证明：在上取点，使得，连接（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形内接于圆，连接，与相交于点，是关于的“差倍角三角形”求证：
19、四边形是平行四边形；若，设，求关于的函数关系式【答案】解：（1）设等腰三角形的顶角为，则等腰三角形的底角为，等腰是“差倍角三角形”，或，（舍或，顶角的度数为；（2）如图1，在上取点，使得，连接，是关于的“差倍角三角形”；（3），设，是关于的“差倍角三角形”，四边形是平行四边形；，四边形是平行四边形，过点作于，于，过点作于，(2021慈溪余姚九上期末)如图，的半径为5，弦，为所对优弧上一动点，的外角平分线交于点，直线与直线交于点如图1.求证：点为的中点；求的值；（2）如图2，若点为的中点，求的长；（3）若为非锐角三角形，求的最大值【答案】（1）证明：如图1，连接，、四点内接于，平分，点为的中点；
20、解：如图2，过作于，交于，交于，连接，是直径，中，；（2）解：如图3，过作于，连接，由（1）知：过圆心，且，设，是的中点，中，；（3）解：如图4，过点作于，为非锐角三角形，点运动到使为直角三角形时，如图5，的面积最大，中，此时(2021镇海九上期末)如图1，是的直径，弦，垂足为点，连结若，求劣弧的度数；如图2，连结并延长交于点，交于点，连结若，求的长；设，求关于的函数关系式【答案】解：（1）如图1，连接，是的直径，弦，劣弧的度数是；（2），在中，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，是的中位线，；是的直径，且，如图3，连接，中，即，两边同时除以，得：，设，则原方程变形为：，（舍，(2021江北九上期末)如图1，内接于，分别是，的中点，连接分别交，于点，求证：；若，求的长；如图2，连接，若，求关于的函数表达式【答案】解：（1）点是的中点，点是的中点，；（2）由（1）知，是等边三角形，如图1，过点作于，设，在中，；（3）如图2，连接，则，设与的距离为，分别是，的中点，过点作于，由（2）知，是等边三角形，设，则，由（1）知，过点作于，过点作，由（2）知，
