1、5. 5.5 5 用二次函数解决问题用二次函数解决问题 专项练习专项练习 1 1 一、一、单选题单选题 1如图，抛物线2yxx交 x 轴的负半轴于点 A，点 B 是 y 轴的正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点A恰好落在抛物线上过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C，则点 A的纵坐标为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 2用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）. A28425m B243m C283m D24m 3如图所示，将一根长2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ） A正比例函数
2、关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 4有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m的篱笆围成已知墙长为15 ,m若平行于墙的一边长不小于8 ,m则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ） A2248,37.5mm B2250,32mm C2250,37.5mm D2248,32mm 5如图ABCV和DEFV都是边长为2的等边三角形，它们的边,BC EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为（ ） A B C D 6如图所示，矩
3、形ABCD中，8,6ABBC，P 是线段BC上一点（P 不与 B 重合） ，M 是DB上一点，且BPDM，设,BPx MBPV的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ） A224 (06)5yxxx B224 (06)5yxxx C233 (06)10yxxx D233 (06)10yxxx 7如图，在等腰 Rt ABC 中，C90 ，直角边 AC 长与正方形 MNPQ 的边长均为 2cm，CA 与 MN 在直线 l 上开始时 A 点与 M 点重合；让 ABC 向右平移；直到 C 点与 N 点重合时为止设 ABC 与正方形 MNPQ 重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ycm2，MA
4、 的长度为 xcm，则 y 与 x 之间的函数关系大致是（ ） A B C D 8 如图， 边长为2的正ABC的边BC在直线l上， 两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点） ，速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒） ，直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中， 记ABC夹在a和b间的部分的面积为S， 则S关于t的函数图像大致为 （ ） A B C D 9某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214yx ，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为( ) A6m B12m C16m D24m 10有
5、一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是 16m，跨度为 40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ） A215252yxx B18255xyxx C251825yxx D21816255yxx 11如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=14x2，当水位线在 AB 位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ） A3m B6m C4m D9m 12某商品的进价为每件 60 元，现在的售价为每件 80 元，每星期可卖出 200 件市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之
6、间的函数关系式是（ ） A200 10yx B200 1080 60yxx C200 1080 60yxx D200 1080 60yxx 13某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润 y（元）与童装的销售价 x（元/件）之间的函数解析式为 yx2+160 x4800若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ） A110 元/件 B100 元/件 C90 元/件 D80 元/件 14某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 10 千克设每千克涨 x 元，月销售利润
7、为 y 元，则 y 与x 的函数关系式为（ ） Ay（50+x-40） （50010 x） By（x+40） （10 x500） Cy（x40）5005（x50） Dy（50+x-40） （5005x） 15某海滨浴场有 100 把遮阳伞，每把每天收费 10 元时，可全部租出，若每把每天收费提高 1 元，则减少5 把伞租出，若每把每天收费再提高 1 元，则再减少 5 把伞租出，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（ ） A7 元 B6 元 C5 元 D4 元 二、二、填空题填空题 16用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是_2cm 17用 16m 长的篱笆围成长方形的生
8、物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为xm，则围成长方形的生物的面积S（单位：2m）与 x 的函数表达式是_ （不要求写自变量x的取值范围） 18某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50? m） ，中间用两道墙隔开（如图） 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_2m 19如图，在 ABC 中，ABAC，BAC120 ，点 D 为 AB 边上一点（不与点 B 重合） ，连接 CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90 ， 点C的对应点为E， 连接BE 若AB6， 则 BDE面积的最大值为_ 20 如图， 一段抛物线：(2)yx
9、x (02)x记为1C， 它与x轴交于两点O，1A； 将1C绕1A旋转180得到2C，交x轴于2A；将2C绕2A旋转180得到3C，交x轴于3A；L如此进行下去，直至得到6C，若点11,Pm在第6段抛物线6C上，则m_ 21二次函数223yx的图像如图所示，点 A0位于坐标原点，A1，A2，A3，A2009在 y 轴的正半轴上，B1，B2，B3，B2009在二次函数223yx第一象限的图像上，若 A0B1A1， A1B2A2， A2B3A3， A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出 A2008B2009A2009的边长为_ 22如图，已知 AB=12，P 为线段 AB 上的一个动
10、点，分别以 AP、PB 为边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P、C、E 在一条直线上，DAP=60 M、N 分别是对角线 AC、BE 的中点当点 P 在线段AB 上移动时，点 M、N 之间的距离最短为_ （结果留根号） 23 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx22x1 交 y 轴于点 A， 过点 A 作 ABx 轴交抛物线于点 B，点 P 在抛物线上， 连结 PA、 PB， 若点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上， 则 ABP 的面积是_ 24如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向
11、为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为_ 25廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图已知抛物线的函数表达式为211020yx ， 为保护廊桥的安全， 在该抛物线上距水面AB高为 8 米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是_米 26一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116yx ，当水面的宽度 AB 为 16 米时，水面离桥拱顶的高度 OC 为_m 27廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040yx ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8
12、米的点 E、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 EF =_ 28 某种商品每件进价为 20 元， 调查表明： 在某段时间内若以每件 x 元 （2 03 0 x， 且 x 为整数） 出售，可卖出(30)x件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_元 29某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为 180 元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 40 元的各种费用。房价定为_时，宾馆利润最大，最大利润是_元 30某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶在“创建文明城市
13、”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_元 三、三、解答题解答题 31 美丽的励志我的家， 为创建文明城市美化校园， 我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园 其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米 （1）若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x 的值 （2）若平行于墙的一边长不小于 8 米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于
14、 100 平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围 32如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线,CD这时水面宽为10m (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 33如图，正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别是BC，CD边上一动点，点E，F同时从点C出发，以每秒2cm的速度分别向点B，D运动，当点E与点B重合时，运动停止，设运动时间为( )x s，运动过程中AEF的面积为2()y cm，求y关于x
15、的函数表达式，并写出自变量x的取值范围 34某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 (1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 参考答案参考答案 1B 【分析】 先求出点 A 坐标，利用对称可得点A横坐标，代入2yxx可得纵坐标.
16、解：令0y 得20 xx，即(1)0 x x 解得120,1xx ( 1,0)A Q点 B 是 y 轴的正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A恰好落在抛物线上 A点的横坐标为 1 当1x 时，2y 所以点 A的纵坐标为 2. 故选：B 【点拨】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键. 2C 【分析】 设窗的高度为 xm，宽为823xm，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可 解：设窗的高度为 xm，宽为（823x）m， 故 S=823xx S=22833xx =228233x 当 x=2m 时，S 最大值为83m2 故选 C 【点拨】本题考查二
17、次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键 3C 【分析】 设矩形的一边长为 xm，求出矩形面积即可判断 设矩形的一边长为 xm，另一边长为(1-x)m，面积用 y 表示， 21yxxxx， 故选择：C 【点拨】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键 4C 【分析】 设垂直于墙面的长为 xm，则平行于墙面的长为（202x）m，这个苗圃园的面积为 ym2，根据二次函数的图像及性质求最值即可 解：设垂直于墙面的长为 xm，则平行于墙面的长为（202x）m，这个苗圃园的面积为 ym2 由题意可得 y=x（202x）=-2（x5）250，且 820
18、2x15 解得：2.5x6 -20，二次函数图像的对称轴为直线 x=5 当 x=5 时，y 取最大值，最大值为 50 ； 当 x=2.5 时，y 取最小值，最小值为 37.5 ； 故选 C 【点拨】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图像及性质是解题关键 5A 【分析】 根据图像可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为32x,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4x),同时可得 C 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为 x,由于是等边三角形,则高为32x,面积为 y=x32x12=234x, B 点移动到 F 点,重叠部分三
19、角形的边长为(4x),高为()342x-,面积为 y=(4x)()342x-12=2344x, 两个三角形重合时面积正好为3. 由二次函数图像的性质可判断答案为 A, 故选 A. 【点拨】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 6A 【分析】 根据勾股定理可得10BD，因为DMx，所以10BMx，过点 M 作MEBC于点 E，可得BMEBDCVV，然后根据相似三角形的性质得到MEBMDCBD，由此可用 x 表示 ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系 解：8,6ABBC， 8CD ，10BD， DMx，10BMx， 如图，过点 M
20、 作MEBC于点 E， /ME DC， BMEBDCVV， MEBMDCBD， 485MEx，而12MBPSBPMEV， 2245yxx ，P 不与 B 重合，那么0 x，可与点 C 重合，那么6x 故 y 与 x 之间的函数关系式为224 (06)5yxxx 故答案选 A 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式 7C 【分析】 根据动点的运动过程确定每段阴影部分与 x 的关系类型，根据函数的性质确定选项 解：当 x2cm 时，重合部分是边长为 x 的等腰直角三角形， 面积为：y12x2， 是一个开口向上的二次函数； 当 x2 时， 重合部分是直角梯形，
21、面积为：y812（x2）2， 是一个开口向下的二次函数， 故选：C 【点拨】本题是对函数图像的考查，熟练掌握图像的面积及函数知识是解决本题的关键. 8B 【分析】 依据 a 和 b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当 0t1 时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，当 1t2 时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当 2t3 时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分 如图，当 0t1 时，BEt，DE3t， sS BDE12 t3t32t2； 如图，当 1t2 时，CE2t，BGt1， DE3（2t） ，FG3（t1） ， sS五边形AFGEDS ABCS BGFS CD
22、E 12 2312 （t1）3（t1）12 （2t）3（2t） 3t233t3 32； 如图，当 2t3 时，CG3t，GF3（3t） ， sS CFG12 （3t）3（3t）32t233t932， 综上所述，当 0t1 时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当 1t2 时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分；当 2t3 时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分， 故选 B 【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 9C 【分析】 根据抛物线的对称性及解析式求解 解：依题意，设A点坐标
23、为( 8, )y， 代入抛物线方程得：164164y ， 即水面到桥拱顶点O的距离为 16 米 故选：C 【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图像与性质是解题关键 10B 【分析】 根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题 由图可知该抛物线开口向下，对称轴为 x20， 最高点坐标为（20，16） ，且经过原点， 由此可设该抛物线解析式为22016ya x， 将原点坐标代入可得400160a， 解得：a125， 故该抛物线解析式为 y21201625x 218255xx 故选：B 【点拨】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等难度不大，找到顶点坐标设出顶点式
24、是解题关键 11D 【分析】 根据题意可得点 A、B 的横坐标分别为-6 和 6，然后把点 B 的横坐标代入抛物线解析式求解即可 解：由题意及抛物线的对称性得：点 A、B 的横坐标分别为-6 和 6， 则有把点 B 代入解析式得：21694y ，所以这时水面离桥顶的高度为 9m； 故选 D 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 12D 【分析】 由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为80 60 x元，每星期的销售量为200 10 x，再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润 每星期的销售量，即可得出结论 解： 每涨价 1 元，每星期要少卖 10 件，每件涨价
25、 x 元， 销售每件的利润为80 60 x元，每星期的销售量为200 10 x， 每星期销售出商品的利润200 1080 60yxx 故选：D 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出 y 与 x 之间的函数关系式 13D 【分析】 根据函数解析式为 yx2160 x4800，可得当 x160280 时，y 有最大值 1600 解：yx2+160 x4800， 抛物线的开口向下， 当 x160280 时，y24 4800 16041600， 想每天获得的利润最大，则销售价应定为 80 元， 故选：D 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题
26、意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义 14D 【分析】 根据题意直接列式计算求解即可 解：设每千克涨 x 元，月销售利润为 y 元，由题意可得： 5040500 5yxx； 故选 D 【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到二次函数表达式即可 15C 【分析】 设每个遮阳伞每天应提高 x 元， 每天获得利润为 S， 每个每天应收费 （10+x） 元， 每天的租出量为 （100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答 解：设每个遮阳伞每天应提高 x 元，每天获得利润为 S，由此可得， S=（10+x） （100-5x） ， 整
27、理得 S=-5x2+50 x+1000， =-5（x-5）2+1125， -50 当 x=5 时,S 最小, 即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费 5 元 故选 C 【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费 每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题 1625 【分析】 先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可 解：设矩形的一边长为 xcm，所以另一边长为（10-x）cm， 其面积为 s=x（10-x）=-x2+10 x=-（x-5）2+25， 当 x=5 时，s 的最大值=25 周长为 20cm 的矩形的最大面积为 25cm2 故答案为：25 【点拨】 本题考查了
28、二次函数的性质， 求最值得问题常用的思路是转化为函数问题， 利用函数的性质求解 1728Sxx 【分析】 设围成长方形的生物园的长为xm，围成长方形的生物园的宽为（162-x）m，利用矩形的面积公式列出矩形面积 S 与 x 的关系式； 解：设围成长方形的生物园的长为 xm，则宽为（162-x）m，围成长方形的生物园的面积为 Sm2， S=x（162-x）=-x2+8x， 围成长方形的生物的面积S（单位：2m）与 x 的函数表达式是28Sxx ， 故答案为：28Sxx 【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 18144 【分析】 要求这三间长方形种牛饲
29、养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为 S，中间墙长为 x，根据题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式，再根据函数的性质求出 S 的最大值 解：如图，设总占地面积为 S（m2） ，CD 的长度为 x（m） ， 由题意知：AB=CD=EF=GH=x， BH=48-4x， 0BH50，CD0， 0 x12， S=ABBH=x（48-4x）=-4（x-6）2+144 x=6 时，S 可取得最大值，最大值为 S=144， 故答案为：144 【点拨】本题考查实际问题与二次函数最值，需要根据题目列出函数关系式，然后利用函数的性质求出该问题的最值 19818 【分析】 作 CMAB 于 M，ENAB
30、 于 N，根据 AAS 证得VEDNVDCM，得出 ENDM，然后解直角三角形求得AM3，得到 BM9，设 BDx，则 ENDM9x，根据三角形面积公式得到 S BDE12BD EN12x（9x）12（x4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得 解：作 CMAB 于 M，ENAB 于 N， EDN+DEN90 ， EDC90 ， EDN+CDM90 ， DENCDM， 在VEDN 和VDCM 中 DENCDMENDDMC90EDDC VEDNVDCM（AAS） ， ENDM， BAC120 ， MAC60 ， ACM30 ， AM12AC1263， BMAB+AM6+39， 设 BDx，
31、则 ENDM9x， S BDE12BD EN12x（9x）12（x4.5）2+818， 当 BD4.5 时，S BDE有最大值为818， 故答案为：818 【点拨】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值 20-1 【分析】 将这段抛物线 C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点，由旋转的性质可以知道 C1与 C2的顶点到 x 轴的距离相等，且 OA1A1A2，照此类推可以推导知道点 P（11，m）为抛物线 C6的顶点，从而得到结果 yx（x2） （0 x2） ， 配方可得 y（x1）21（0
32、 x2） ， 顶点坐标为（1，1） ， A1坐标为（2，0） C2由 C1旋转得到， OA1A1A2，即 C2顶点坐标为（3，1） ，A2（4，0） ； 照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1） ，A3（6，0） ； C4顶点坐标为（7，1） ，A4（8，0） ； C5顶点坐标为（9，1） ，A5（10，0） ； C6顶点坐标为（11，1） ，A6（12，0） ； m1 故答案为：-1 【点拨】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型 212009 【分析】 此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出 A0A
33、1B1的边长为 m1，由于此三角形是正三角形，则B1A0A160 ，B1A0 x30 ，可用边长 m1表示出 B1的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到 m1的值，同理可求出 A1B2A2、 A2B3A3的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到 A2008B2009A2009的边长 解：设 A0A1B1的边长为 m1； A0A1B1是等边三角形， A1A0B160 ，B1A0 x30 ； 故 B1（13m2，1m2） ； 由于点 B1在抛物线的图像上，则有： 23 （32m1）21m2，解得 m11； 同理设 A1A2B2的边长为 m2； 同上可得 B2（23m2，1+2m2）
34、； 由于点 B2也在抛物线的图像上，则有： 23 （32m2）22m2+1，解得 m22； 依此类推， A2B3A3的边长为：m33， AnBn+1An+1的边长为 mn+1n+1； A2008B2009A2009的边长为 2009 【点拨】此题是典型的规律型试题，需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律，然后根据得到的规律求出特定的值 223 2 【分析】 连接 MP，NP，证明 MPNP，将 M、N 的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结合二次函数即可求解； 解：连接 MP，NP， 菱形 APCD 和菱形 PBFE，DAP=60 ， MP=12AP，NP=12BP， M、N 分
35、别是对角线 AC、BE 的中点， MPC=60 ，EPN=30 ， MPNP， MN2=MP2+NP2， 即 MN2=（12AP）2+（12BP）2=14AP2+（12-AP）2= 12（AP2-12AP+72）=12（AP-6）2+18， 当 AP=6 时，MN 有最小值 32， 点 M、N 之间的距离最短为 32； 故答案为 32； 【点拨】本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数最小值是解题的关键 232 【分析】 求得 C 的坐标，进而求得 B 的坐标，根据点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求
36、得 解：令 x=0，则 y=x2-2x-1=-1， A(0，-1)， 把 y=-1 代入 y=x2-2x-1 得-1=x2-2x-1， 解得 x1=0，x2=2， B(2，-1)， AB=2， 点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上， PAB 边 AB 上的高为 2， S=12 2 2=2 故答案为 2 【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求得 A、B 的坐标以及三角形的高是解题的关键 24219yx 【分析】 设抛物线解析式为 y=ax2，根据题意得出点 B 的坐标，代入解析式求出 a 的值即可 解：如图，拱形顶点 C 为坐标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标
37、系， 由题意知 B（6，-4） ， 设抛物线解析式为 y=ax2， 将点 B（6，-4）代入，得：-4=36a， 解得19a ， 219yx ， 故答案为：219yx 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键 254 10 【分析】 根据题意可知 E、F 两点是关于 y 轴对称的，且纵坐标都为 8，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出 EF 的长度 由题，E、F 两点是关于 y 轴对称，纵坐标都为 8，代入解析式， 2110820 x，解得：12 10 x ，22 10 x ， 214 10 xx， 故答案为：4 10 【点拨】本题考查二次函数的实际
38、应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键 264 【分析】 根据题意得到点 B 的横坐标为 8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是 OC 的长 解：根据抛物线的对称性， 16ABm， 182BCABm， 令8x ，则218416y ， 4OCm 故答案是：4 【点拨】本题考查二次函数图像性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图像的性质 278 5米 【分析】 已知抛物线上距水面 AB 高为 8 米的 E、F 两点，可知 E、F 两点纵坐标为 8，把 y=8 代入抛物线解析式，可求 E、F 两点的横坐标，根据抛物线的对称性求 EF 长 解：由“在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米
39、的点 E、F 处要安装两盏警示灯”， 把 y=8 代入211040yx 得： x= 45 ， 由两点间距离公式得：EF=85（米） ， 故答案为：85米 【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键 2825 【分析】 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润 销售量，每件利润=每件售价-每件进价再根据所列二次函数求最大值 解：设利润为 w 元， 则 w=（x-20） （30-x）=-（x-25）2+25， 20 x30， 当 x=25 时，二次函数有最大值 25， 故答案是：25 【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应
40、用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 29360 10240 【分析】 设房价为 x 元，利润为 y 元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支） 房间数量，则180405010 xyx ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价 设房价为 x 元，利润为 y 元， 则有218014050=360102401010 xyxx， 故360 x元时，y 的利润最大，最大值为 10240 元， 故答案为：360；10240 【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键 3070 【分析】 设降价 x 元，利润为 W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的
41、 x 值即可得到售价 解：设降价 x 元，利润为 W， 由题意得：W=(80-50-x)(200+20 x)， 整理得：W=-20 x2+400 x+6000=-20(x-10)2+8000， 当 x=10 时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元） ， 故答案为：70 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键 31 （1） x12； （2） 垂直于墙的一边长为 7.5 米时这个苗圃园的面积最大， 这个最大值为 112.5 平方米； （3）610 x 【分析】 （1）由题意得（302x）x72，然后进行求解即可； （2）设苗圃面积为 ycm2，由
42、题意可得 y（302x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解； （3）由题意得这个苗圃园的面积不小于 100 平方米，即2（x7.5）2+112.5100，然后由（1）可知 6x15，可进行求解 解： （1）由题意得（302x）x72， 解得：x13，x212， 302x18， x6， x12； （2）设苗圃面积为 ycm2， y（302x）x 2（x7.5）2+112.5， 由题意得 302x8，解得 x11， 又 302x18，解得 x6； 6x11， 当 x7.5 时，y最大112.5； （3）这个苗圃园的面积不小于 100 平方米， 即2（x7.5）2+112.5100， 5x10
43、， 由（1）可知 6x15， x 的取值范围为610 x 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键 32 （1）坐标系见详解，2125yx ； （2）5 小时 【分析】 （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点 B、D 的横坐标，设抛物线解析式为2yax，然后可进行求解； （2）由（1）可得 CD 距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解 解： （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为2yax，点 D 的坐标为5,Dm，则10,3Bm， 由抛物线
44、经过点 D 和点 B，可得：251003amam， 解得：1251am ， 抛物线的解析式为2125yx ； （2）由（1）可得 CD 距拱顶的距离为 1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为1=50.2（小时） ， 答：从警戒线开始，再持续 5 小时就能到达拱桥的拱顶 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键 33228yxx (02)x剟 【分析】 AEF 的面积=正方形 ABCD 的面积- ABE 的面积- ADF 的面积- ECF 的面积，分别表示正方形 ABCD的面积、 ABE 的面积、 ADF 的面积、 ECF
45、的面积代入即可 解：设运动时间为( )x s， Q点E，F同时从点C出发，以每秒2cm的速度分别向点B，D运动， 2CEx，2CFx，42BEx，42DFx， AEF的面积正方形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积ECF的面积， 即：11116222yAB BEAD DFEC FCggg 111164(42 )4(42 )22222xxxxg 228xx (02)x剟 【点拨】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形 ABCD 的面积、 ABE 的面积、 ADF 的面积、 ECF 的面积 34 （1）y=5x2+800 x27500（50 x100） ； （2）当 x=80 时，y最大
46、值=4500； （3）70 x90. 【分析】 (1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式. (2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价. (3) 根据开口向下的抛物线的图像的性质,满足要求的 x 的取值范围应该在5（x80）2+4500=4000 的两根之间,即可确定满足题意的取值范围. 解： （1）y=（x50）50+5（100 x） =（x50） （5x+550） =5x2+800 x27500， y=5x2+800 x27500（50 x100） ； （2）y=5x2+800 x27500=5（x80）2+4500， a=50， 抛物线开口向下 50 x100，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时，y最大值=4500； （3）当 y=4000 时，5（x80）2+4500=4000， 解得 x1=70，x2=90 当 70 x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元 【点拨】本题主要考查二次函数的应用.
