1、上海市长宁区上海市长宁区 2022 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 7- -1212 题每题题每题 5 5 分）考生应在答题纸的分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果相应位置直接填写结果. . 1.已知集合2 ,1,3,5,7Ax xB,则AB I 2.4(2)x的二项展开式中2x的系数为 3.1323limnnnn 4.若线性方程组的增广矩阵为211110cc，解为11xy，则 12cc 5.在直角坐标系xoy中，角的始边为x正
2、半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点( 3,4),则sin() 6.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法. 7.已知双曲线22:16yM x 的左，右焦点为12FF、,过1F的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点AB、.若2ABF为等边三角形，则2ABF的边长为 8.在复平面xoy内，复数12z ,z所对应的点分别为12ZZ、,对于下列四个式子： 2211(1) zz；1212(2) zzzz；2211(3)OZOZuuu ruuu r；1212(4) OZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 其中恒成
3、立的是 （写出所有恒成立式子的序号） 9.设,0,0 x yR ab,若3,22 6xyabab，则11xy的最大值为 10.已知公差不为0的等差数列 na的前n项和为nS,若457,10,0aSS ,则nS的最小植为 11.已知点AB、在抛物线2:4yx上，点M在的准线上，线段MAMB、的中点均在抛物线 上，设直线AB与y轴交于点(0, )Nn,则n的最小值为 12.设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于直线3yx对称，若曲线C仍然为 某函数的图像，则实数m的取值范围为 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分，每题分，每题 5
4、5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. . 13.“11x”是“1x ”的（ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（ ） A.abc B.cba C.cab D.bca 15.已知平面经过圆柱12OO的旋转轴，点AB、是在圆柱12OO的侧面上，但不在平面上， 则下列4个命题中真命题的个数是（
5、） 总存在直线, l l且l与AB异面； 总存在直线, l l且lAB； 总存在平面,AB且； 总存在平面,AB且/ /. A.l B.2 C.3 D.4 16.若函数( )3sin4cos(0,0)3f xxxx的值域为4,5，则cos3的取值范围为（ ） A. 74, 25 5 B.73, 25 5 C.74, 25 5 D.73, 25 5 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在直三棱柱111ABCABC中，1,2ACBC ACBCCC. （1
6、)求四棱锥11ABCC B的体积V； （2)求直线1AB与平面11ACC A所成角的正切值. 18.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知三个内角ABC、 、所对的边分别为1, ,4,cos4a b caB ， （1)若sin2sinAC,求ABC的面积； （2)设线段AB的中点为D,若19CD ,求ABC外接圆半经的值. 19.(本题满分 14 分，第 1 小题滑分 6 分，第 2 小题滴分 8 分）， 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用； 购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1
7、年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元. （1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车(*)n nN年后共支出费用为nS万元， 求nS的表达式； （2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起， 每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用(*)n nN年后年平均费用为nC,当0nn时，nC最小，请你列出6n 时nC的表达式，并利用计算器确定0n的值（只需写出0n的值） 20.(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知函数1( )()21xf xxR. （1)求证：函
8、数( )f x是R上的减函数； （2)已知函数( )f x的图像存在对称中心( , )a b的充要条件是g( )()xf xab的图像关于原点 中心对称，判断函数( )f x的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3)若对任意11, xn，都存在231, 2x 及实数m,使得112(1)()1fnxf x x, 求实数n的最大值. 21.(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）。 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xo
9、y中，定义点1122( ,), (,)A x yB xy的“直角距离”( , )d A B 为：1212( , )d A Bxxyy,设(1,1),( 1, 1)MN . （1)写出一个满足(C,M)(C,N)dd的点C的坐标； （2)过点(1,1),( 1, 1)MN 作斜率为2的直线12ll、,点QR、分别是直线12ll、上的动点， 求( , )d Q R的最小值； （3)设( , )P x y,记方程( ,)( ,N)8d P Md P的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质 （结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线； 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第
10、 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1.已知集合2 ,1,3,5,7Ax xB,则AB I 【答案】【答案】 1AB I 【解析】2 ,1,3,5,7Ax xB 1AB I 2.4(2)x的二项展开式中2x的系数为 【答案】【答案】24 【解析】2222 143224TCxa 3.1323limnnnn 【答案】【答案】1【解析】101011323limnnnn 4.若线性方程组的增广矩阵为211110cc，解为11xy，则 12cc 【答案】【答案】121cc 【解析】12121,21cccc 5.在直角坐标系xoy中，角的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过
11、点( 3,4),则sin() 【答案】【答案】4sin()5 【解析】44sin,sin()sin55 6.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法. 【答案】【答案】6 【解析】336P 7.已知双曲线22:16yM x 的左，右焦点为12FF、,过1F的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点AB、.若2ABF为等边三角形，则2ABF的边长为 【答案】【答案】4 【解析】2,r m24rm rr 8.在复平面xoy内，复数12z ,z所对应的点分别为12ZZ、,对于下列四个式子： 2211(1) zz；1212(2) zz
12、zz；2211(3)OZOZuuu ruuu r；1212(4) OZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号） 【答案】【答案】(2),(3) 【解析】2211(1) zz,1212(4)cosOZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 9.设,0,0 x yR ab,若3,22 6xyabab，则11xy的最大值为 【答案】【答案】1 【解析】3333113log ,loglog ,logxyabababxyxy,311logabxy 2222 62()6(0,32abababab,311log(0,1abxy 10.已知公
13、差不为0的等差数列 na的前n项和为nS,若457,10,0a S S ,则nS的最小值为 【答案】【答案】12 【解析】nS取得最小值，则公差0d ，44100aa 或 （1）当2451110,0,1030,510106,20,7 ,nadSadadadSnn 7min034)12nSnnS 或时，(； 当4101120,0,1030,1045100,3adSadadd 舍去 （2）当4577510,0,100100adSSSS ，或，, 4511110,10310,5101014,8,0,aSadadadd 当舍去； 4511110,0310,510020,10,aSadadad 当0d
14、舍去； 综上所述：457=0,= 10,0,12naSSS最小值为 11.已知点AB、在抛物线2:4yx上，点M在的准线上，线段MAMB、的中点均在抛物线 上，设直线AB与y轴交于点(0, )Nn,则n的最小值为 【答案】【答案】2 2 【解析】设222221211111244(,), (,),M( 1,m),P(,),P()4448228yyymymyyAyBy 2211280ymym；同理2222280ymym 22222111212122222280,280+=2m,8280ymymy yymymyyy ymymym 是方程的两根 212112212124220,:()444ABAByy
15、ymKlyyxyyyymm 211min24(0)2 242ymnynnmm 12. 设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于 直线3yx对称，若曲线C仍然为某函数的图像， 则实数m的取值范围为 【答案】【答案】0,2（ 【解析】设l是2233( )(0)(m,)1212f xxxmm在点M的切线， 设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于 直线3yx对称，对称后的直线必为直线xa， 此时曲线C才能是某函数的图像， 如图所示直线3yx与成6角，推出l的倾斜角为l， 所以l的方程为233:()312l yxmm 2222233()312440,1616402312
16、yxmmxxmmmmmyx (0,2m 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13.“11x”是“1x ”的（ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 14.给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（ ）A.abc B.cba C.cab D.bca 【答案】【答案】B 【解析】14 1510,12,12,14,14,15,16,17,17,1714.4,14.5,172abccba 15.已知平面经过圆柱12OO的旋转轴，点
17、AB、是在圆柱12OO的侧面上，但不在平面上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ） 总存在直线, l l且l与AB异面； 总存在直线, l l且lAB； 总存在平面,AB且； 总存在平面,AB且/ /. A.l B.2 C.3 D.4 【答案】【答案】 C 【解析】A B、 异侧时， 、 相交，所以D错误 16.若函数( )3sin4cos(0,0)3f xxxx的值域为4,5，则cos3的取值范围为（ ） 74A., 25 5 B.73, 25 5 C.74, 25 5 D.73, 25 5 【答案】【答案】A 【解析】( )3sin4cos(0,0)5sin(),3f xxxxx 443,
18、tan,sin,cos355tx ( )5sing tt，0,0,0, ()4, ()53322xtgg 22323，02,cos ,23xyx 2241697cos()sin,cos(2 )cos2sincos25252525 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在直三棱柱111ABCABC中，1,2ACBC ACBCCC. （1)求四棱锥11ABCC B的体积V； （2)求直线1AB与平面11ACC A所成角的正切值. 【答案】【答案】（1）83
19、；（2）22； 【解析】（1）；（2）； 18.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知三个内角ABC、 、所对的边分别为1, ,4,cos4a b caB ， （1)若sin2sinAC,求ABC的面积； （2)设线段AB的中点为D,若19CD ,求ABC外接圆半经的值. 【答案】【答案】（1）15；（2）4 105； 【解析】（1）；（2）； 19.(本题满分 14 分，第 1 小题滑分 6 分，第 2 小题滴分 8 分）， 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用； 购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车，购置费
20、共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元. （1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车(*)n nN年后共支出费用为nS万元， 求nS的表达式； （2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起， 每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用(*)n nN年后年平均费用为nC,当0nn时，nC最小，请你列出6n 时nC的表达式，并利用计算器确定0n的值（只需写出0n的值） 【答案】【答案】（1）229201010nnnS ；（2）5010 1.15,7nncnn； 【解析】（1）；（2）； 20.(本题满分 1
21、6 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知函数1( )()21xf xxR. （1)求证：函数( )f x是R上的减函数； （2)已知函数( )f x的图像存在对称中心( , )a b的充要条件是g( )()xf xab的图像关于原点 中心对称，判断函数( )f x的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3)若对任意11, xn，都存在231, 2x 及实数m,使得112(1)()1fnxf x x, 求实数n的最大值. 【答案】【答案】（1）见解析；（2）1(0, )2；（3）1 【解析】（1）；（2）；
22、（3） 21.(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）。 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点1122( ,), (,)A x yB xy的“直角距离”( , )d A B 为：1212( , )d A Bxxyy,设(1,1),( 1, 1)MN . （1)写出一个满足(C,M)(C,N)dd的点C的坐标； （2)过点(1,1),( 1, 1)MN 作斜率为2的直线12ll、,点QR、分别是直线12ll、上的动点， 求( , )d Q R的最小值； （3)设( , )P x y,记方程( ,)( ,N)8d P Md P的曲线为， 类比椭圆研究曲线的性质 （结论不要求证明） ，并在所给坐标系中画出该曲线； 【答案】【答案】 （1）(0,0)(yx在上）；（2）1； （3）对称性：关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称； 顶点顶点：( 3, 1)，(1, 3) 范围范围：33, 33xy
