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上海市长宁区2022届高三一模数学试卷(含答案)

1、上海市长宁区上海市长宁区 2022 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 1212 题,满分题,满分 5454 分,第分,第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分,第分,第 7 7- -1212 题每题题每题 5 5 分)考生应在答题纸的分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果相应位置直接填写结果. . 1.已知集合2 ,1,3,5,7Ax xB,则AB I 2.4(2)x的二项展开式中2x的系数为 3.1323limnnnn 4.若线性方程组的增广矩阵为211110cc,解为11xy,则 12cc 5.在直角坐标系xoy中,角的始边为x正

2、半轴,顶点为坐标原点,若角的终边经过点( 3,4),则sin() 6.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者,每人负责1个展馆,每个展馆只需1位同学,则共有 种不同的安排方法. 7.已知双曲线22:16yM x 的左,右焦点为12FF、,过1F的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点AB、.若2ABF为等边三角形,则2ABF的边长为 8.在复平面xoy内,复数12z ,z所对应的点分别为12ZZ、,对于下列四个式子: 2211(1) zz;1212(2) zzzz;2211(3)OZOZuuu ruuu r;1212(4) OZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 其中恒成

3、立的是 (写出所有恒成立式子的序号) 9.设,0,0 x yR ab,若3,22 6xyabab,则11xy的最大值为 10.已知公差不为0的等差数列 na的前n项和为nS,若457,10,0aSS ,则nS的最小植为 11.已知点AB、在抛物线2:4yx上,点M在的准线上,线段MAMB、的中点均在抛物线 上,设直线AB与y轴交于点(0, )Nn,则n的最小值为 12.设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于直线3yx对称,若曲线C仍然为 某函数的图像,则实数m的取值范围为 二、选择题(本大题共有二、选择题(本大题共有 4 4 题,满分题,满分 2020 分,每题分,每题 5

4、5 分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. . 13.“11x”是“1x ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则( ) A.abc B.cba C.cab D.bca 15.已知平面经过圆柱12OO的旋转轴,点AB、是在圆柱12OO的侧面上,但不在平面上, 则下列4个命题中真命题的个数是(

5、) 总存在直线, l l且l与AB异面; 总存在直线, l l且lAB; 总存在平面,AB且; 总存在平面,AB且/ /. A.l B.2 C.3 D.4 16.若函数( )3sin4cos(0,0)3f xxxx的值域为4,5,则cos3的取值范围为( ) A. 74, 25 5 B.73, 25 5 C.74, 25 5 D.73, 25 5 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在直三棱柱111ABCABC中,1,2ACBC ACBCCC. (1

6、)求四棱锥11ABCC B的体积V; (2)求直线1AB与平面11ACC A所成角的正切值. 18.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知三个内角ABC、 、所对的边分别为1, ,4,cos4a b caB , (1)若sin2sinAC,求ABC的面积; (2)设线段AB的中点为D,若19CD ,求ABC外接圆半经的值. 19.(本题满分 14 分,第 1 小题滑分 6 分,第 2 小题滴分 8 分), 随着人们生活水平的提高,很多家庭都购买了家用汽车,使用汽车共需支出三笔费用; 购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车,购置费共20万元;购买后第1

7、年燃油费共2万元,以后每一年都比前一年增加0.2万元. (1)若每年养护保险费均为1万元,设购买该种型号汽车(*)n nN年后共支出费用为nS万元, 求nS的表达式; (2)若购买汽车后的前6年,每年养护保险费均为1万元,由于部件老化和事故多发,第7年起, 每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用(*)n nN年后年平均费用为nC,当0nn时,nC最小,请你列出6n 时nC的表达式,并利用计算器确定0n的值(只需写出0n的值) 20.(本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知函数1( )()21xf xxR. (1)求证:函

8、数( )f x是R上的减函数; (2)已知函数( )f x的图像存在对称中心( , )a b的充要条件是g( )()xf xab的图像关于原点 中心对称,判断函数( )f x的图像是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,说明理由; (3)若对任意11, xn,都存在231, 2x 及实数m,使得112(1)()1fnxf x x, 求实数n的最大值. 21.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)。 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状,从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离,而是沿着网格走的直角距离,在直角坐标系xo

9、y中,定义点1122( ,), (,)A x yB xy的“直角距离”( , )d A B 为:1212( , )d A Bxxyy,设(1,1),( 1, 1)MN . (1)写出一个满足(C,M)(C,N)dd的点C的坐标; (2)过点(1,1),( 1, 1)MN 作斜率为2的直线12ll、,点QR、分别是直线12ll、上的动点, 求( , )d Q R的最小值; (3)设( , )P x y,记方程( ,)( ,N)8d P Md P的曲线为,类比椭圆研究曲线的性质 (结论不要求证明),并在所给坐标系中画出该曲线; 参考答案参考答案 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第

10、 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分) 1.已知集合2 ,1,3,5,7Ax xB,则AB I 【答案】【答案】 1AB I 【解析】2 ,1,3,5,7Ax xB 1AB I 2.4(2)x的二项展开式中2x的系数为 【答案】【答案】24 【解析】2222 143224TCxa 3.1323limnnnn 【答案】【答案】1【解析】101011323limnnnn 4.若线性方程组的增广矩阵为211110cc,解为11xy,则 12cc 【答案】【答案】121cc 【解析】12121,21cccc 5.在直角坐标系xoy中,角的始边为x正半轴,顶点为坐标原点,若角的终边经过

11、点( 3,4),则sin() 【答案】【答案】4sin()5 【解析】44sin,sin()sin55 6.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者,每人负责1个展馆,每个展馆只需1位同学,则共有 种不同的安排方法. 【答案】【答案】6 【解析】336P 7.已知双曲线22:16yM x 的左,右焦点为12FF、,过1F的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点AB、.若2ABF为等边三角形,则2ABF的边长为 【答案】【答案】4 【解析】2,r m24rm rr 8.在复平面xoy内,复数12z ,z所对应的点分别为12ZZ、,对于下列四个式子: 2211(1) zz;1212(2) zz

12、zz;2211(3)OZOZuuu ruuu r;1212(4) OZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 其中恒成立的是 (写出所有恒成立式子的序号) 【答案】【答案】(2),(3) 【解析】2211(1) zz,1212(4)cosOZOZOZOZuuu r uuuruuu ruuur 9.设,0,0 x yR ab,若3,22 6xyabab,则11xy的最大值为 【答案】【答案】1 【解析】3333113log ,loglog ,logxyabababxyxy,311logabxy 2222 62()6(0,32abababab,311log(0,1abxy 10.已知公

13、差不为0的等差数列 na的前n项和为nS,若457,10,0a S S ,则nS的最小值为 【答案】【答案】12 【解析】nS取得最小值,则公差0d ,44100aa 或 (1)当2451110,0,1030,510106,20,7 ,nadSadadadSnn 7min034)12nSnnS 或时,(; 当4101120,0,1030,1045100,3adSadadd 舍去 (2)当4577510,0,100100adSSSS ,或,, 4511110,10310,5101014,8,0,aSadadadd 当舍去; 4511110,0310,510020,10,aSadadad 当0d

14、舍去; 综上所述:457=0,= 10,0,12naSSS最小值为 11.已知点AB、在抛物线2:4yx上,点M在的准线上,线段MAMB、的中点均在抛物线 上,设直线AB与y轴交于点(0, )Nn,则n的最小值为 【答案】【答案】2 2 【解析】设222221211111244(,), (,),M( 1,m),P(,),P()4448228yyymymyyAyBy 2211280ymym;同理2222280ymym 22222111212122222280,280+=2m,8280ymymy yymymyyy ymymym 是方程的两根 212112212124220,:()444ABAByy

15、ymKlyyxyyyymm 211min24(0)2 242ymnynnmm 12. 设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于 直线3yx对称,若曲线C仍然为某函数的图像, 则实数m的取值范围为 【答案】【答案】0,2( 【解析】设l是2233( )(0)(m,)1212f xxxmm在点M的切线, 设曲线C与函数23( )(0)12f xxxm的图像关于 直线3yx对称,对称后的直线必为直线xa, 此时曲线C才能是某函数的图像, 如图所示直线3yx与成6角,推出l的倾斜角为l, 所以l的方程为233:()312l yxmm 2222233()312440,1616402312

16、yxmmxxmmmmmyx (0,2m 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分) 13.“11x”是“1x ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 14.给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )A.abc B.cba C.cab D.bca 【答案】【答案】B 【解析】14 1510,12,12,14,14,15,16,17,17,1714.4,14.5,172abccba 15.已知平面经过圆柱12OO的旋转轴,点

17、AB、是在圆柱12OO的侧面上,但不在平面上,则下列4个命题中真命题的个数是( ) 总存在直线, l l且l与AB异面; 总存在直线, l l且lAB; 总存在平面,AB且; 总存在平面,AB且/ /. A.l B.2 C.3 D.4 【答案】【答案】 C 【解析】A B、 异侧时, 、 相交,所以D错误 16.若函数( )3sin4cos(0,0)3f xxxx的值域为4,5,则cos3的取值范围为( ) 74A., 25 5 B.73, 25 5 C.74, 25 5 D.73, 25 5 【答案】【答案】A 【解析】( )3sin4cos(0,0)5sin(),3f xxxxx 443,

18、tan,sin,cos355tx ( )5sing tt,0,0,0, ()4, ()53322xtgg 22323,02,cos ,23xyx 2241697cos()sin,cos(2 )cos2sincos25252525 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在直三棱柱111ABCABC中,1,2ACBC ACBCCC. (1)求四棱锥11ABCC B的体积V; (2)求直线1AB与平面11ACC A所成角的正切值. 【答案】【答案】(1)83

19、;(2)22; 【解析】(1);(2); 18.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知三个内角ABC、 、所对的边分别为1, ,4,cos4a b caB , (1)若sin2sinAC,求ABC的面积; (2)设线段AB的中点为D,若19CD ,求ABC外接圆半经的值. 【答案】【答案】(1)15;(2)4 105; 【解析】(1);(2); 19.(本题满分 14 分,第 1 小题滑分 6 分,第 2 小题滴分 8 分), 随着人们生活水平的提高,很多家庭都购买了家用汽车,使用汽车共需支出三笔费用; 购置费、燃油费、养护保险费、某种型号汽车,购置费

20、共20万元;购买后第1年燃油费共2万元,以后每一年都比前一年增加0.2万元. (1)若每年养护保险费均为1万元,设购买该种型号汽车(*)n nN年后共支出费用为nS万元, 求nS的表达式; (2)若购买汽车后的前6年,每年养护保险费均为1万元,由于部件老化和事故多发,第7年起, 每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用(*)n nN年后年平均费用为nC,当0nn时,nC最小,请你列出6n 时nC的表达式,并利用计算器确定0n的值(只需写出0n的值) 【答案】【答案】(1)229201010nnnS ;(2)5010 1.15,7nncnn; 【解析】(1);(2); 20.(本题满分 1

21、6 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知函数1( )()21xf xxR. (1)求证:函数( )f x是R上的减函数; (2)已知函数( )f x的图像存在对称中心( , )a b的充要条件是g( )()xf xab的图像关于原点 中心对称,判断函数( )f x的图像是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,说明理由; (3)若对任意11, xn,都存在231, 2x 及实数m,使得112(1)()1fnxf x x, 求实数n的最大值. 【答案】【答案】(1)见解析;(2)1(0, )2;(3)1 【解析】(1);(2);

22、(3) 21.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)。 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状,从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离,而是沿着网格走的直角距离,在直角坐标系xoy中,定义点1122( ,), (,)A x yB xy的“直角距离”( , )d A B 为:1212( , )d A Bxxyy,设(1,1),( 1, 1)MN . (1)写出一个满足(C,M)(C,N)dd的点C的坐标; (2)过点(1,1),( 1, 1)MN 作斜率为2的直线12ll、,点QR、分别是直线12ll、上的动点, 求( , )d Q R的最小值; (3)设( , )P x y,记方程( ,)( ,N)8d P Md P的曲线为, 类比椭圆研究曲线的性质 (结论不要求证明) ,并在所给坐标系中画出该曲线; 【答案】【答案】 (1)(0,0)(yx在上);(2)1; (3)对称性:关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称; 顶点顶点:( 3, 1),(1, 3) 范围范围:33, 33xy