1、2021 年青海省西宁市中考数学一模试卷年青海省西宁市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.） 1 （3 分）实数 2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列各式中正确的是（ ） Aa2+aa3 B （a）2a2 Caa11（a
2、0） D8a62a24a3 4 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A某个数的绝对值大于 0 Ba 一定是负数 C五边形的外角和等于 540 D长分别为 3，4，6 的三条线段能围成一个三角形 6 （3 分）若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 7 （3 分）如图，从一张腰长为 90cm，顶角为 120的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OC
3、D，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗） ，则该圆锥的底面周长为（ ） A60cm B50cm C40cm D30cm 8 （3 分）如图，抛物线 y1ax2+bx+c 与直线 y2kx+b 交于 A，B 两点，刘星同学观察图象得出了下面四条信息：a+b+c0；b2a；ax2+bx+c0 的两根是3 和 1；y1y2时，1x1你认为正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应分不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上
4、的位置上.） 9 （2 分）代数式xy 的系数是 10（2 分） 2020 年 3 月 9 日， 中国第 54 颗北斗导航卫星成功发射， 其轨道高度约为 36000000 米， 将 36000000用科学记数法表示为 11 （2 分）分解因式：m2n+6mn+9n 12 （2 分）已知 x1 是方程 x2+bx20 的一个根，则方程的另一个根是 13 （2 分）请写出一个在第一象限内函数值随自变量的增大而减小的函数解析式 14 （2 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前， 将盒中所有的球摇匀， 然后随机摸出一个球， 记下颜色后
5、再放回盒中 通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 15 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的直角顶点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC2将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，则旋转后点 A 的对应点的坐标为 16 （2 分）如图，半径为的O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切，连接 OC，则 tanOCB 17 （2 分）已知ABC 中，AB10，AC2，B30，则 BC 18 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC 上的一个
6、动点，过点 D 分别作 DMAB 于点 M， DNAC 于点 N， 连接 MN， 则线段 MN 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，第小题，第 19，20 题每小题题每小题 4 分，第分，第 21，22 题每小题题每小题 4 分，第分，第 23，24，25 题每题每小题小题 4 分，第分，第 26，27 题每小题题每小题 4 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 76 分分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上在答题卡相应的位置上.） 19 （4 分）计算：22+2sin60 20 （4 分）解不
7、等式组： 21 （6 分）解方程：0 22 （6 分）先化简，再求值：（m+1） ，其中 m2 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx 的图象与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 A（4，m） （1）求反比例函数 y的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，AP5，直接写出点 P 的坐标 24 （8 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求ABCD 的面积 25 （8 分） “每天锻炼一小时，健康生活一辈子” 为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出
8、来的 15 名领操员进行比赛，成绩如下表： 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 2 5 4 4 （1）在这 15 名领操员比赛成绩的数据中，众数是 ，中位数是 ； （2）已知获得 10 分的选手中，七、八、九年级分别有 1 人、2 人、1 人，学校准备从中随机抽取两人领操，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到八年级两名领操员的概率，并列出所有等可能的结果 26 （10 分）如图，AB 是O 的直径，G 为弦 AE 的中点，连接 OG 并延长交O 于点 D，连接 BD 交 AE于点 F，延长 AE 至点 C，使得 FCBC，连接 BC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5
9、，AE8，求 GF 的长 27 （10 分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在 l 外取一点 P，作 PCl，垂足为点 C测得 PC30 米，APC71，BPC35上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒， 请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据： sin350.57， cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos
10、710.33，tan712.90） 28 （12 分）如图 1，以点 M（1，4）为顶点的抛物线与直线 yx+交于 A，B 两点，且点 A 坐标为（4，） ，点 B 在 y 轴上 （1）求抛物线解析式； （2）若点 D 是抛物线上位于直线 AB 上方的一点（如图 2） ，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交直线 AB 于点 F，求线段 DF 长度的最大值； （3）在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使以点 A，M，P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题
11、小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.） 1 （3 分）实数 2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：B2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解把一个图形绕某一点旋转
12、 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3 （3 分）下列各式中正确的是（ ） A
13、a2+aa3 B （a）2a2 Caa11（a0） D8a62a24a3 【分析】根据整式的加减运算，乘除运算法则即可求出答案 【解答】解：A、a2与 a 不是同类项，故不能合并，故 A 不符合题意 B、原式a2a+，故 B 不符合题意 C、原式a1，故 C 符合题意 D、原式4a4，故 D 不符合题意 故选：C 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型 4 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可 【
14、解答】解：由题意得 x+20， 解得 x2 故选：D 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键 5 （3 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A某个数的绝对值大于 0 Ba 一定是负数 C五边形的外角和等于 540 D长分别为 3，4，6 的三条线段能围成一个三角形 【分析】根据必然事件的定义即可判断 【解答】解：A某个数的绝对值大于 0，是随机事件，故选项不符合题意； Ba 一定是负数，是随机事件，故选项不符合题意； C五边形的外角和等于 540，是不可能事件，故选项不符合题意； D长分别为 3，4，6 的三条线段能围成一个三角形，是必然事件
15、，故选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查必然事件的概念，必然事件是指一定会发生的事件，关键是要牢记必然事件的概念 6 （3 分）若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【分析】利用一次函数的性质得到 k0，b0，再判断k24b0，从而得到方程根的情况 【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限， k0，b0， k24b0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24
16、ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数的性质 7 （3 分）如图，从一张腰长为 90cm，顶角为 120的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗） ，则该圆锥的底面周长为（ ） A60cm B50cm C40cm D30cm 【分析】根据等腰三角形的性质得到 OE 的长，再利用弧长公式计算出弧 CD 的长，即可求得圆锥的底面周长 【解答】解：过 O 作 OEAB 于 E， OAOB90cm，AOB120， AB30， OEOA45cm， 弧 CD
17、 的长30cm， 圆锥的底面周长为 30cm， 故选：D 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 8 （3 分）如图，抛物线 y1ax2+bx+c 与直线 y2kx+b 交于 A，B 两点，刘星同学观察图象得出了下面四条信息：a+b+c0；b2a；ax2+bx+c0 的两根是3 和 1；y1y2时，1x1你认为正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由于抛物线过点（1，0） ，则 a+b+c0，可判断正确；根据抛物线对称轴方程得到 x1，则 2ab0，可判断错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与
18、 x 轴两交点坐标为（3，0） ， （1，0） ，则 ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，可判断正确；根据抛物线 y1ax2+bx+c 与直线 y2kx+b的图象即可判断是正确 【解答】解：抛物线过点（1，0） ， a+b+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 2ab0，所以错误； 点（1，0）关于直线 x1 的对称点为（3，0） ， 抛物线与 x 轴两交点坐标为（3，0） ， （1，0） ， ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，所以正确； 抛物线 y1ax2+bx+c 在直线 y2kx+b 的下方的图象对应的 x 范围为：1x1， 所以正确； 故选：C 【点评】本题
19、考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ，关键是充分理解不等式与函数图象的关系 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应分不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上的位置上.） 9 （2 分）代数式xy 的系数是 【分析】直接利用单项式的系数确定方法分析得出答案 【解答】解：代数式xy 的系数是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的
20、系数确定方法是解题关键 10（2 分） 2020 年 3 月 9 日， 中国第 54 颗北斗导航卫星成功发射， 其轨道高度约为 36000000 米， 将 36000000用科学记数法表示为 3.6107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数据此解答即可 【解答】解：360000003.6107， 故答案为：3.6107 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的
21、形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要确定 a 的值以及 n 的值 11 （2 分）分解因式：m2n+6mn+9n n（m+3）2 【分析】先提公因式，再运用完全平方公式 【解答】解：原式n（m2+6m+9） n（m+3）2 故答案为：n（m+3）2 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键 12 （2 分）已知 x1 是方程 x2+bx20 的一个根，则方程的另一个根是 x2 【分析】根据根与系数的关系得出 x1x22，即可得出另一根的值 【解答】解：x1 是方程 x2+bx20 的一个根， x1x22， 1x22， 则方程的另一个根
22、是：x2， 故答案为 x2 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键 13（2 分） 请写出一个在第一象限内函数值随自变量的增大而减小的函数解析式 答案不唯一， 如 y 【分析】根据反比例函数的性质，写出的反比例函数的比例系数 k0 即可 【解答】解：一个在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， 函数的解析式 y（答案不唯一） 故答案为：答案不唯一，如 y 【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 y（k0）当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自
23、变量 x 增大而增大 14 （2 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前， 将盒中所有的球摇匀， 然后随机摸出一个球， 记下颜色后再放回盒中 通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 100 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 【解答】解：由题意可得，0.03， 解得，n100 故估计 n 大约是 100 故答案为：100 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率
24、所求情况数与总情况数之比 15 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的直角顶点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC2将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，则旋转后点 A 的对应点的坐标为 （1，2） 【分析】利用旋转变换的规律解决问题即可 【解答】解：由题意 C（1，0） ，AC2， 将ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90，得到 A 的对应点的坐标（1，2） ， 故答案为（1，2） 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转的知识，解题的关键掌握旋转变换的性质 16 （2 分）如图，半径为的O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切，连接
25、 OC，则 tanOCB 【分析】 根据切线长定理得出OBCOBAABC30， 解直角三角形求得 BD， 即可求得 CD，然后解直角三角形 OCD 即可求得 tanOCB 的值 【解答】解：连接 OB，作 ODBC 于 D， O 与等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切， OBCOBAABC30， tanOBC， BD3， CDBCBD835， tanOCB 故答案为 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键 17 （2 分）已知ABC 中，AB10，AC2，B30，则 BC 6或 4 【分析】作 ADBC 交 BC（或 BC
26、 延长线）于点 D，分 AB、AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先在RtABD 中求得 AD、BD 的值，再在 RtACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种情况分别求出 BC 的长 【解答】解：作 ADBC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D， 如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时， 在 RtABD 中，B30，AB10， ADABsinB5，BDABcosB5， 在 RtACD 中，AC2， CD， 则 BCBD+CD6； 如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时， 由知，BD5，CD， 则 BCBDCD4， 综上，BC6或 4， 故答案为 6或 4 【点评】本题
27、主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理 18 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DMAB 于点 M，DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 【分析】由勾股定理求出 BC 的长，再证明四边形 DMAN 是矩形，可得 MNAD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题 【解答】解：BAC90，且 BA3，AC4， BC5， DMAB，DNAC， DMADNABAC90， 四边形 DMAN 是矩形， MNAD， 当 ADBC 时，AD 的值最小， 此
28、时，ABC 的面积ABACBCAD， AD， MN 的最小值为； 故答案为： 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，第小题，第 19，20 题每小题题每小题 4 分，第分，第 21，22 题每小题题每小题 4 分，第分，第 23，24，25 题每题每小题小题 4 分，第分，第 26，27 题每小题题每小题 4 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 76 分分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的
29、位置上在答题卡相应的位置上.） 19 （4 分）计算：22+2sin60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案 【解答】解：原式4+22 4+32 3 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键 20 （4 分）解不等式组： 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解：， 解得：x2， 解得 x， 则不等式组的解集为 x2 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 21 （6
30、分）解方程：0 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：5x5x10， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 22 （6 分）先化简，再求值：（m+1） ，其中 m2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得 【解答】解：原式（） ， 当 m2 时， 原式12 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx
31、的图象与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 A（4，m） （1）求反比例函数 y的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，AP5，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）先求出 A 的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据勾股定理求出即可 【解答】解： （1）A（4，m）在一次函数 yx 上， m4， 即 A（4，4） ， A 在反比例函数 y（x0）的图象上， k16， 反比例函数 y的解析式是 y； （2）P 点的坐标是（7，0）或（1，0） 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，用待定系数法求反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好
32、，难度适中 24 （8 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求ABCD 的面积 【分析】 （1）利用全等三角形的性质证明 ABAD 即可解决问题； （2）连接 BD 交 AC 于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD， AEBC，AFCD， AEBAFD90， BEDF， AEBAFD ABAD， 四边形 ABCD 是菱形 （2）连接 BD 交 AC 于 O 四边形 ABCD 是菱形，AC6， ACBD， AOOCAC63，
33、 AB5，AO3， BO4， BD2BO8， S平行四边形ABCDACBD24 【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 25 （8 分） “每天锻炼一小时，健康生活一辈子” 为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的 15 名领操员进行比赛，成绩如下表： 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 2 5 4 4 （1）在这 15 名领操员比赛成绩的数据中，众数是 8 ，中位数是 9 ； （2）已知获得 10 分的选手中，七、八、九年级分别有 1 人、2 人、1 人，学校准备从中随机抽取两人
34、领操，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到八年级两名领操员的概率，并列出所有等可能的结果 【分析】 （1）根据众数和中位数的定义求解； （2）利用树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出恰好抽到八年级两名领操员的结果数，然后利用概率公式求解 【解答】解： （1）在这 15 名领操员比赛成绩的数据中，众数是 8，中位数是 9； 故答案为 8；9； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，它们为：七八、七八、七九、八九、八八、八九、八七、八八、八九、九七、九八、九九， 其中恰好抽到八年级两名领操员的结果数为 2， 所以恰好抽到八年级两名领操员的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利
35、用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了众数和中位数 26 （10 分）如图，AB 是O 的直径，G 为弦 AE 的中点，连接 OG 并延长交O 于点 D，连接 BD 交 AE于点 F，延长 AE 至点 C，使得 FCBC，连接 BC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AE8，求 GF 的长 【分析】（1） 根据等腰三角形的性质， 垂径定理以及直角三角形两锐角互余可得出OBD+CBF90，即 OBBC，进而得出 BC 是O 的切线； （2）利用垂径定理和勾股定
36、理求出 AG，OG，再根据相似三角形的性质求出 BC，AC，再根据线段的和差关系得出答案 【解答】解： （1）G 为弦 AE 的中点，OD 是半径， ODAE， 即DGF90， DFG+GDF90， 又BCFC， CBFCFB， 又CFBDFG， ODOB， OBDODB， OBD+CBF90， 即 OBBC， OB 是半径， BC 是O 的切线； （2）G 为弦 AE 的中点， AGGEAE4， OD 是半径， ODAE， 在 RtAOG 中， OG3， 又OGACBA90，OAGCAB， AOGABC， ， 即， 解得 BCCF，AC， GFACAGFC 4 1 【点评】本题考查切线的判定
37、和性质，直角三角形的边角关系和相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键 27 （10 分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在 l 外取一点 P，作 PCl，垂足为点 C测得 PC30 米，APC71，BPC35上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒， 请你用所学的数学知识说明该车是否
38、超速（参考数据： sin350.57， cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90） 【分析】先求得 ACPCtanAPC87、BCPCtanBPC21，据此得出 ABACBC872166，从而求得该车通过 AB 段的车速，比较大小即可得 【解答】解：在 RtAPC 中，ACPCtanAPC30tan71302.9087， 在 RtBPC 中，BCPCtanBPC30tan35300.7021， 则 ABACBC872166， 该汽车的实际速度为11m/s， 又40km/h11.1m/s， 该车没有超速 【点评】此题考查了解直角三角形的应
39、用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键 28 （12 分）如图 1，以点 M（1，4）为顶点的抛物线与直线 yx+交于 A，B 两点，且点 A 坐标为（4，） ，点 B 在 y 轴上 （1）求抛物线解析式； （2）若点 D 是抛物线上位于直线 AB 上方的一点（如图 2） ，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交直线 AB 于点 F，求线段 DF 长度的最大值； （3）在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使以点 A，M，P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）抛物线解析式设为顶点式，然后代入 A 点求
40、得； （2）设 D 的坐标，表示出 F 的坐标，从而表示出 DF 的函数解析式，配方求得； （3）分为APM90和APM90，当APM90 时，点 P 的纵坐标和 A 点纵坐标相同，当APM90时，根据 AM2+AP2PM2或作 AQPM，由AQPMQA 可求得 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x1）2+4， a（41）2+4， a， y（x1）2+4 ； （2）如图 1， 设 D（m，） ， F（m，m+） ， DF（）（m+） （m2）2+2， 当 m2 时，DF 有最大值是 2； （3）如图 2， 当APM90时， A（4，） ， P（1，） ， 如图 3， 当PAM90时， APM+AMP90， 作 AQPM 于 Q， AQMAQP90， APM+QAP90， AMPQAP， AQPMQA， ， QM4（）， AQ413， ， PQ2， PHHQ+PQ， P（1，） ， 综上所述：P 的坐标是（1，）或（1，） 【点评】本题考查了二次函数和一次函数图象及其性质，相似三角形的判定和性质应用等知识，解决问题的关键是熟练掌握基础知识和基本题型
