1、2021年浙江省中考数学真题分类专题：三角形一、选择题1（2021年杭州中考真题）已知线段AB，按如下步骤作图：作射线AC，使ACAB；以点A为圆心，AB长为半径作弧；过点E作EPAB于点P，则AP：AB（）A1：B1：2C1：D1：【分析】直接利用基本作图方法得出APPE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案【解答】解：ACAB，CAB90°,AD平分BAC,EAB×90°45°,EPAB,APE90°,EAPAEP45°,APPE,设APPEx,故AEABx,AP：ABx:x1:故选：D2.（2021年宁波
2、中考真题）如图，在中，于点D，若E，F分别为，中点，则的长为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件可知ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。【详解】解：因为AD垂直BC，则ABD和ACD都是直角三角形，又因为所以AD=，因为sinC=，所以AC=2，因为EF为ABC的中位线，所以EF=1，故选：C【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键3（2021年温州中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（IC
3、ME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，AOB，则OC2的值为（）A+1Bsin2+1C+1Dcos2+1【分析】在RtOAB中，sin,可得OB的长度，在RtOBC中，根据勾股定理OB2+BC2OC2,代入即可得出答案【解答】解：ABBC1,在RtOAB中，sin,OB,在RtOBC中，OB3+BC2OC2,OC6()2+22故选：A4（2021年绍兴中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO5m，树AB与路灯O的水平距离AP4.5m，则树的高度AB长是（）A2mB3mCmDm【分析】利用相似三角形的性质求解即可【解答】解：ABOP，CABCPO，OP4（
4、m），故选：A5（2021年绍兴中考真题）如图，菱形ABCD中，B60°，沿折线BCCD方向移动，移动到点D停止在ABP形状的变化过程中（）A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【分析】把点P从点B出发，沿折线BCCD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。【解答】解：B60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当APBC时，此时ABP为等腰三角形；当点P到达点C处时，此时ABP为等边三角形；当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则ABP为
5、等腰三角形；当点P与点D重合时，此时ABP为等腰三角形，故选：C6（2021年嘉兴中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤至折叠两次得图，然后剪出图中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A等腰三角形B直角三角形C矩形D菱形【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CAAB，ABC是等腰三角形，又ABC和BCD关于直线CD对称，四边形BACD是菱形，故选：D7（2021年嘉兴中考真题）如图，在ABC中，BAC90°，ABAC5，点D在AC上，且AD2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AGFG时，线段DE长为（
6、）ABCD4【解答】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GPFN于点P，四边形GMNP是矩形，GMPN，GPMN，BAC90°，ABAC5，CAAB，又点G和点F分别是线段DE和BC的中点，GM和FN分别是ADE和ABC的中位线，GM1，AMAE，FNAC，ANAB，MNANAMAE，PN1，FP，设AEm，AMm，GPMNm，在RtAGM中，AG2（m）2+12，在RtGPF中，GF2（m）2+（）2，AGGF，（m）2+12（m）2+（）2，解得m3，即DE3，在RtADE中，DE故选：A8（2021年丽水中考真题） 如图，在纸片中，点分别在上，连结，将沿
7、翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出DAE=DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得BFD=DFE=DAE，进而证得BDF=90°，证明RtABCRtFBD，可求得AD的长【详解】解：，=5，由折叠性质得：DAE=DFE，AD=DF，则BD=5AD，平分，BFD=DFE=DAE，DAE+B=90°，BDF+B=90°，即BDF=90°，RtABCRtFBD，即，解得：AD=，故选：D【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、
8、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键9（2021年台州中考真题）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若147°，则2（ ）A. 40°B. 43°C. 45°D. 47°【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，直尺的两边互相平行，故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键10. （2021年台州中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别
9、沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P若60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A. （36）cm2B. （36）cm2C. 24 cm2D. 36 cm2【答案】A【解析】【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解【详解】解：如图，过点C作，过点B作，长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，故选：A【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键11.（2021年绍兴中考真题）如图，RtABC中，BAC90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，连结CE
10、，则的值为（）ABCD2【分析】设DE交AC于T,过点E作EHCD于H.首先证明EAEDEC,再证明BECD,可得结论。【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EHCD于HBAC90°,BDDC,ADDBDC,BDAB,BADE,DABADE,ABDE,DTCBAC90°,DTAB,BDDC,ATTC,EAECED,EDCECD,EHCD,CHDH,DEAB,EDCB,ECDB,cosECHcosB,2,故选：D二、填空题1（2021年杭州中考真题）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则BACDAE（填“”、
11、“”、“”中的一个）【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系【解答】解：连接DE，由上图可知AB2，BC2，ABC是等腰直角三角形，BAC45°，又AE，同理可得DE，AD，则在ADE中，有AE2+DE2AD7，ADE是等腰直角三角形，DAE45°，BACDAE，故答案为：2（2021年嘉兴中考真题）如图，在ABC中，BAC30°，ACB45°，AB2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A，连结AC，AP在运动过程中，点A到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线
12、段AP扫过的面积为 【解答】解：如图1中，过点B作BHAC于H在RtABH中，BHABsin30°1,AHBH,在RtBCH中，BCH45°,CHBH1,ACCA1+,当CAAB时，点A到直线AB的距离最大，设CA交AB的延长线于K在RtACK中，CKACsin30°,AKCACK1+如图2中，点P到达点B时，线段AP扫过的面积S扇形ACA2SABC2××(1+)×1(1+)1故答案为：，(1+)13（2021年丽水中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来
13、激励自己已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是_【答案】【解析】【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ【详解】解：过点E作EQBM，则根据图1图形EQ与CD之间的距离=由勾股定理得：，解得：；，解得：EQBM，之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ故答案为【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键4. （2021年台州中考真题）如图，在ABC中，ACB90°，ACBC分别以点A，B为圆心，大于
14、AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH若BC3，则AFH的周长为_【答案】6【解析】【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得AFH的周长，即可求解详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，AFH的周长，故答案为：6【点睛】本题考查尺规作图线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键5（2021年绍兴中考真题）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，
15、连结AP，则BAP的度数是15°或75°【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出BAP的度数即可【解答】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，ABAC，ABC70°，ACBABC70°，BAC180°ACBABC180°70°70°40°，CACP1，CAP1CP6A55°，BAP1CAP1CAB55°40°15°；当点P在点C的右侧时，ABAC，ABC70°，ACBABC70°，BA
16、C180°ACBABC180°70°70°40°，CACP4，CAP2CP1A35°，BAP2CAP2CAB35°+40°75°；由上可得，BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°6（2021年绍兴中考真题）已知ABC与ABD在同一平面内，点C，D不重合，AB4，ACAD22±2或4或2【分析】分C,D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形。【解答】解：如图，当C，过点A作AECD于E在RtAEB中，AEB90°,A
17、BE30°,AEAB5,ADAC2,DE22,DEECAE,ADC是等腰直角三角形，CD5,当C,D异侧时,BCC是等边三角形，BCBEEC2,CHBH1CH32,在RtDCH中，DC,DBD是等边三角形，DD2+6,CD的长为2±7或4或2。故答案为：2±8或4或2。三、解答题1（2021年杭州中考真题）在ADAE，ABEACD，FBFC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答问题：如图，在ABC中，ABCACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F若 ADAE（ABEACD或FBFC），求证：BECD注：
18、如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【分析】若选择条件，利用ABCACB得到ABAC，则可根据“SAS”可判断ABEACD，从而得到BECD；选择条件，利用ABCACB得到ABAC，则可根据“ASA”可判断ABEACD，从而得到BECD；选择条件，利用ABCACB得到ABAC，再证明ABEACD，则可根据“ASA”可判断ABEACD，从而得到BECD【解答】证明：选择条件的证明为：ABCACB，ABAC，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），BECD；选择条件的证明为：ABCACB，ABAC，在ABE和ACD中，ABEACD（ASA），BECD；选择条件的证明为：ABCACB，AB
19、AC，FBFC，FBCFCB，ABCFBCACBFCB，即ABEACD，在ABE和ACD中，ABEACD（ASA），BECD故答案为ADAE（ABEACD或FBFC）2（2021年杭州中考真题）如图，在ABC中，ABC的平分线BD交AC边于点D，C45°（1）求证：ABBD；（2）若AE3，求ABC的面积【分析】（1）计算出ADB和BAC，利用等角对等边即可证明；（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算ABC的面积【解答】（1）证明：BD平分ABC，ABC60°，DBCABC30°，ADBDBC+C75°，BAC180°ABCC75°，
20、BACADB，ABBD；（2）解：由题意得，BE3，BC3+，SABCBC×AE3.（2021年宁波中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，B为中点，当时，伞完全张开（1）求的长（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离（参考数据：）【答案】（1）20cm；（2）26.4cm【解析】【分析】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点B作于点E根据等腰三角形的三线合一的性质求出利用角平分线的
21、性质求出BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案【详解】解：（1）B为中点，（2）如图，过点B作于点E，平分，在中，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键4.（2021年宁波中考真题）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，点E在上，求证：平分【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G若，求的长【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，若，求的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据S
22、AS证明，进而即可得到结论；（2）先证明，得，进而即可求解；（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，最后证明，即可求解【详解】解：（1）平分，即平分；（2），；（3）如图，在上取一点F，使得，连结平分，又，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键5（2021年温州中考真题）如图，BE是ABC的角平分线，在AB上取点D（1）求证：DEBC；（2）若A65°，AED45°，求EBC的度数【分析】（1）根据角平分线的定义可得DBEEBC，从而求出DEBEBC，再利用内错角相等，两直线平行证
23、明即可；（2）由（1）中DEBC可得到CAED45°,再根据三角形的内角和等于180°求出ABC，最后用角平分线求出DBEEBC，即可得解【解答】解：（1）BE是ABC的角平分线，DBEEBC，DBDE,DEBDBE，DEBEBC，DEBC；（2）DEBC，CAED45°，在ABC中，A+ABC+C180°，ABC180°AC180°65°45°70°BE是ABC的角平分线，DBEEBC6（2021年绍兴中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70c
24、m，C是转动点，且AB（1）转动连杆BC，手臂CD，使ABC143°，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°0.8，cos53°0.6）（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由【分析】（1）过点C作CPAE于点P，过点B作BQCP于点Q，在RtBCQ中，CQBCsin53°，再根据DECPCQ+PQ可得答案；（2）当B,C,D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断【解答】解：（1）过点C作CPAE于点P，过点B作BQCP于点QABC143
25、°，CBQ53°，在RtBCQ中，CQBCsin53°70×0.856cm，CDl，DECPCQ+PQ56+50106cm（2）当B,C,D共线时BD60+70130cm，AB50cm，在RtABD中，AB²+AD²BD²，AD120cm110cm手臂端点D能碰到点M7（2021年绍兴中考真题）如图，在ABC中，A40°，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE（1）若ABC80°，求BDC，ABE的度数；（2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(18
26、0°80°)50°,根据三角形的内角定理得到ACB180°40°50°60°,推出BCE是等边三角形，得到EBC60°,于是得到结论;(2)设BEC,BDC,由于A+ABE40°+ABE,根据等腰三角形的性质得到CBEBEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40°+ABE,推出CBEBEC,于是得到结论。【解答】解：（1）ABC80°，BDBC,BDCBCD(180°80°)50°,A+ABC+ACB180°,A40°,ACB180
27、°40°50°60°,CEBC,BCE是等边三角形，EBC60°,ABEABCEBC20°(2)BEC与BDC之间的关系：BEC+BDC110°,理由：设BEC,BDC,在ABE中，A+ABE40°+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+4ABE40°+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+2ABE40°+2ABE,在BDC中，BDBC,BDC+BCD+DBC6+40°+2ABE180°,70°ABE,+40°+ABE+
28、70°ABE110°,BEC+BDC110°8（2021年台州中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABAD20，BCDC10（1）求证：ABCADC；（2）当BCA45°时，求BAD的度数【答案】（1）见详解；（2）60°【解析】【分析】（1）通过SSS证明ABCADC，即可；（2）先证明AC垂直平分BD，从而得是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，是等边三角形，进而即可求解【详解】（1）证明：在ABC和ADC中， ABCADC（SSS），（2）连接BD，交AC于点O，ABCADC，AB=AD，BC=DC，AC垂直平分BD，即：AOB=BOC=90°，又BCA45°，是等腰直角三角形，BO=BC÷=10÷=10，BD=2BO=20，ABAD20，是等边三角形，BAD=60°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键
