2022年高考数学一轮《第七章 立体几何与空间向》单元复习试卷(含答案解析)

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1、第七章 立体几何与空间向量2022年高考一轮数学单元复习(新高考专用)第I卷(选择题)一、单选题1如图,在圆锥中,为底面圆的两条直径,且,异面直线与所成角的正切值为( )ABCD【答案】D【分析】以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值,再得正弦值【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标系,如图,又,则,设异面直线与所成角为,则,为锐角,所以故选:D2在四棱锥中,底面是平行四边形,为的中点,若,则用基底表示向量为( )ABCD【答案】B【分析】结合空间向量的加法法则直接求解即可.【详解】连接BD,如图,因为E是PD的中点,所以,故选:B3已知点,又点在平面内,则的值为( )

2、ABCD【答案】B【分析】根据向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的共面定理即可得出结果.【详解】由题意,得,则,因为P在平面ABC内,并设未知数a,b,则,即,解得.故选:B4若、三点共线,则( )ABCD【答案】A【分析】直接根据求解即可.【详解】,由题意得,则,、,故选:A5已知,则( )ABCD【答案】C【分析】由空间向量的加法运算求解.【详解】因为,所以,故选:C6点在空间直角坐标系中的位置是( )A在轴上B在平面内C在平面内D在平面内【答案】C【分析】根据点的横坐标为判断.【详解】点的横坐标为,点在平面内,故选:C7已知空间向量,满足,则与的夹角为( )ABCD【答案】C【

3、分析】将,两边平方,利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为由,得,两边平方,得,所以,解得,又,所以,故选:C8平行六面体的各棱长均相等,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】B【分析】利用基底向量表示出向量,即可根据向量的夹角公式求出【详解】如图所示:不妨设棱长为1,所以,即,故异面直线与所成角的余弦值为故选:B二、多选题9给出下列命题,其中为假命题的是( )A已知为平面的一个法向量,为直线的一个方向向量,若,则B已知为平面的一个法向量,为直线的一个方向向量,若,则与所成角为C若三个向量,两两共面,则向量,共面D已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量,总存在实

4、数使得【答案】ACD【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理,逐一分析选项,即可得答案.【详解】对于A:由题意可得或,故A错误;对于B:由图象可得,则,所以,根据线面角的定义可得:与所成角为,故B正确对于C:若三个向量,两两共面,但三个向量不一定共面,故C错误;对于D:当空间的三个向量,不共面时,对于空间的任意一个向量,总存在实数使得,故D错误.故选:ACD10在平行六面体中,则下列说法正确的是( )A线段的长度为B异面直线夹角的余弦值为C对角面的面积为D平行六面体的体积为【答案】AD【分析】设,求得,根据,求得的值,可判定A正确;由,可判定B错误;由为正三角形,根据,得

5、到对角面为矩形,可判定C错误;由,可判定D正确.【详解】设,则,对于A中,因为,可得,所以A正确;对于B中,因为,可得异面直线与夹角的余弦值为0,所以B错误;对于C中,因为,所以为正三角形,可得,因为,所以,所以对角面为矩形,其面积为,所以C错误;对于D中,设与交于点,连接,取的中点,连接,可得,所以D正确.故选:AD.11定义向量的外积:叫做向量与的外积,它是一个向量,满足下列两个条件:(1),且和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指食指中指的指向一致);(2)的模 (表示向量的夹角).如图所示,在正方体中,有以下四个结论中,不正确的有( )A与方向相反BC与正方体表面积的数值相等D与正方体

6、体积的数值相等【答案】ABD【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可【详解】A选项,根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同,故A错,B选项,根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反,不可能相等,故B错,C选项,根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为,则与正方体表面积的数值相等,故C对,D选项,与的方向相反,则,故D错,故选:ABD.12给出下列命题,其中不正确的为( )A若,则必有与重合,与重合,与为同一线段B若,则是钝角C若,则与一定共线D非零向量满足与,与,与都是共面向量,则必共面【答案】ABD【分析】对于ABD,可直接举反例说明,C选项根据共线向量性质可得.【详解】A选项,考虑平

7、行四边形中,满足,不满足与重合,与重合,与为同一线段,故A错,B选项,当两个非零向量的夹角为时,满足,但它们的夹角不是钝角,故B错,C选项,当时,则与一定共线,故C对,D选项,考虑三棱柱,满足与,与,与都是共面向量,但,不共面,故D错,故选ABD.13下列命题中不正确的是( ).A若是空间任意四点,则有B若,则的长度相等而方向相同或相反C是共线的充分条件D对空间任意一点与不共线的三点,若(),则四点共面【答案】ABD【分析】本题考察向量的概念与性质,需按个选项分析,A选项考察向量加法的意义,B选项考察向量的模的性质,C选项可以两边平方计算,D选项考察四点共面的性质.【详解】A选项,而不是,故A

8、错,B选项,仅表示与的模相等,与方向无关,故B错,C选项,即,即,与方向相反,故C对,D选项,空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量表示,四点不一定共面,故D错,故选ABD.14在正方体中,点在线段上运动,下列说法正确的是( )A平面平面B平面C异面直线与所成角的取值范围是D三棱锥的体积不变【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法一一计算可得;【详解】解:如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为,则,因为点在线段上运动,设,则,所以,所以,所以,因为,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面,故A正确;显然可以作为平面的法向量,因为,所以,因为平面,所以平面,故B正确;因为且,

9、所以四边形为平行四边形,所以,所以直线与所成角即为异面直线与所成角,显然当在的两端点时所成的角为,当在的中点时所成的角为,故异面直线与所成角的取值范围是,故C错误;因为,平面,平面,所以平面,所以到平面距离即为到平面的距离,故到平面的距离为一定值,设到平面的距离为,则为定值,故D正确;故选:ABD15如图1,在边长为2的正方形中,分别为,的中点,沿及把这个正方形折成一个四面体,使得三点重合于,得到四面体(如图2).下列结论正确的是( )A四面体的外接球体积为B顶点在面上的射影为的重心C与面所成角的正切值为D过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是【答案】ACD【分析】折叠问题,关

10、键是抓住其中的不变量.选项A:说明两两垂直,将四面体的外接球问题,转化为长方体的外接球问题;选项B:由于两两垂直,可证在面上的射影为的垂心;选项C:线面角的定义法求解;选项D:将四面体补成长方体,找出球心,将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.【详解】对于A项,易知两两垂直,故可以补成长方体,其体对角线长,外接球半径,故外接球体积为,故A项正确;对于B项,由于两两垂直,故在面上的射影为的垂心,理由如下:如图,过点作平面,交平面于点,因为平面,平面,所以,又因为,都在平面内,且相交于点,所以平面,又平面,所以,又,所以平面,又平面,所以.同理可证,所以在面上的射影为的垂心.故B项错

11、误;对于C项,设为中点,则,故平面,故平面平面,所以在平面上的射影为,与平面所成角为,故C项正确;对于D项,设为四面体的外接球球心,平面,连接,当过点的截面经过球心时截面圆面积最大,面积为;当垂直截面圆时,截面圆面积最小,此时,截面圆面积为,得截面圆面积取值范围是.故D项正确.故选:ACD.【点睛】方法点睛:求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发:(1) 外接球问题,关键是找出球心,规则图形的球心在对称中心;不规则图形,能补成规则图形最好,若不能,则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,可做出球心,再利用几何知识求解.(2) 空间角的处理一般是建系,用向量法求解;若图形中垂直关系

12、明显,空间角容易找出,也可用空间角的定义求解.16如图,正方体的棱长为1,P是线段上的动点,则下列结论中正确的是( )AB的最小值为C平面D异面直线与,所成角的取值范围是【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量计算可得;【详解】解:如图建立空间直角坐标系,则,所以,所以,所以,故A正确;因为是线段上一动点,所以,所以,所以,当且仅当时,故B正确;设平面的法向量为,则,即,令,则,所以,因为,即,因为平面,所以平面,故C正确;设直线与所成的角为,因为,当在线段的端点处时,在线段的中点时,所以,故D错误;故选:ABC17已知梯形,是线段上的动点;将沿着所在的直线翻折成四面体,翻折的过

13、程中下列选项中正确的是( )A不论何时,与都不可能垂直B存在某个位置,使得平面C直线与平面所成角存在最大值D四面体的外接球的表面积的最小值为【答案】AD【分析】利用反证法可判断AB选项的正误;分别取、的中点、,连接、,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断C选项的正误;设四面体的外接球心为,求出四面体外接球半径的最小值,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,在梯形中,且,则,因为,由余弦定理可得,若,且,平面,平面,事实上,矛盾,故不论何时,与都不可能垂直,A选项正确;对于B选项,若平面,平面,则,所以,而,即,则、无法构成三角形,不合乎题意,B选项错误

14、;对于C选项,分别取、的中点、,连接、,则,则,为的中点,则,故平面,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、,设三棱锥的球心为,由可得,解得,设三棱锥的外接球半径为,则,当且仅当时,等号成立,因此,四面体的外接球的表面积的最小值为,D选项正确.对于C选项,设,易知平面的一个法向量为,而,即当时,无最大值,进而可知直线与平面所成角无最大值,C选项错误.故选:AD.【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球

15、心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.18如图,棱长为的正方体中,、分别为棱、的中点,为面对角线上一个动点,则( )A三棱锥的体积为定值B存在线段,使平面平面C为中点时,直线与所成角最小D三棱锥的外接球半径的最大值为【答案】AD【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误;以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断BC选项的正误;设出球心的坐标为,求出的最大值,

16、进而可求得三棱锥的外接球半径的最大值,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,因为平面,平面平面,所以,点到平面的距离等于,的面积为,所以,A选项正确;对于BC选项,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,则、,、,设平面的法向量为,由,取,可得,设,可得点,其中,则,所以,解得,故平面与平面不平行,B选项错误,设直线与所成角为,则,当时,取得最大值,此时最小,C选项错误;对于D选项,由题意可知,三棱锥的外接球球心在过线段的中点且垂直于平面的垂线上,设球心为,易知点,由,可得,整理可得,因为,则,所以,三棱锥的外接球的半径为,D选项正确.故选:AD.【点睛】方法点睛:解决与球相

17、关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.第II卷(非选择题)三、解答题19如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,(1)证明:平面;(2)若,与平面所成角为,求二面角的大小【答案】(1)证明见解析,(2)【分析】(1)根据题意,

18、由平面,可得,再由可判断平面,得到,而,从而可得,再由线面垂直的判定定理可得结论;(2)根据题意,以为坐标原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可【详解】(1)证明:因为平面,平面,平面,所以, 因为,,所以平面,因为平面,所以,因为底面为平行四边形,所以,所以,因为,所以 平面;(2)解:由(1)可知,因为,所以,因为平面,所以为在平面上的射影,因为与平面所成角为,所以,所以,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则,令,则,设平面的法向量为,则,令,则,所以,因为二面角为锐二面角,所以二面角为,20如图,在

19、四棱锥中,平面平面,为等边三角形,底面为直角梯形,(1)证明:平面平面;(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的长度【答案】(1)证明见解析;(2)或.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理直接证明即可;(2)设的长度为,求得平面的法向量,再利用,解方程即可.【详解】(1)证明:底面为直角梯形,又平面平面,且平面平面,平面,又平面,平面平面;(2)如图建立空间直角坐标系,设的长度为,为等边三角形,且,故,则,故,设平面的法向量,则,即,令,则,即,又直线与平面所成角的正弦值为,故,解得或,故的长度为或.21在三棱台中,且平面.设PQR分别为棱ACFCBC的中点.(1)证明:平面平面PQR;(2)

20、求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)只需证明,即可证明平面平面PQR;(2)以P为原点,PA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出两平面的法向量,即可求解.【详解】(1)证明:如图,连接DP,则四边形DPCF是矩形.又.则,从而.由平面,且平面,得.由,且为三角形ABC的中位线,得.又,则平面ADFC.注意到平面ADFC,则.又,则平面PQR.所以平面平面PQR.(2)以P为原点,PA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,.故,.设是平面BDE的法向量,则所以取,得.设是平面BDC的法向量,则所以取,得.设二面角的平面角为,则,又,所以.从而二面角的平面角

21、的正弦值为.22如图,在多面体中,平面平面,为等边三角形,四边形为正方形,且,分别为,的中点(1)求二面角的余弦值;(2)作平面与平面的交线,记该交线与直线交点为,直接写出的值【答案】(1);(2).【分析】(1)取、的中点,分别记为、,连接,证明、两两相互垂直,以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的余弦值;(2)延长交的延长线于,连接并延长交于,交的延长线于,则为平面与平面的交线,再由已知结合比例关系可得【详解】(1)取、的中点,分别记为、,连接,为等边三角形,四边形为正方形,平面面,且平面面,平面,平

22、面,平面,平面,又,平面,故、两两相互垂直以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系,则,0,2,2,3,0,又,且,平面,故平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,由,取,得由图可知,二面角为锐二面角,记为,则;(2)延长交的延长线于,连接并延长交于,交的延长线于,则为平面与平面的交线,由比例关系可得23请从下面两个条件中只任选一个,补充在下面的横线上,并作答.;与平面所成的角为.如图,在三棱柱中,是边长为的正三角形,平面平面,是线段的中点,_.(1)求与所成角的余弦值;(2)求二面角的余弦值.【答案】选(1),(2);选(1),(2).【分析】选(1)先证明平面,建立空间直角

23、坐标系,求出向量,的坐标,计算即可;(2)先求平面、平面的一个法向量,计算即可;选:(1)先由已知条件证明是等腰直角三角形,建立空间直角坐标系,求出向量,的坐标,计算其夹角的余弦值的绝对值即可求解,(2)分别求平面、平面的一个法向量,利用空间向量夹角公式计算即可求解;【详解】选,(1)是边长为的正三角形,是线段的中点,则,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,如图:以的中点为原点,以过点垂直于的直线为轴,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则, 所以, 所以,所以与所成角的余弦值为,(2),设平面的一个法向量,则令,则,所以,设平面的一个法向量,则令,则,所以,设二面角的平面

24、角为,则,因由图知为锐角,所以余弦值为,二面角的余弦值为.选:与平面所成的角为.因为平面平面,且与平面所成的角为,则,因为,所以,因为是线段的中点,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以以的中点为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则,则, ,所以与所成角的余弦值为,(2),设平面的一个法向量,则令,则,所以,因为,所以平面,所以平面的一个法向量,设二面角的平面角为,则,因由图知为锐角,所以余弦值为.所以二面角的余弦值为.24如图,四棱锥的底面是菱形,平面,点是棱上一点(1)求证:;(2)当是的中点时,求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析

25、;(2).【分析】(1)证得平面,根据线面垂直的性质即可得出结论;(2)设,连接,证得平面,然后建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】(1)因为平面,且平面,所以,又因为底面是菱形,所以,且,所以平面,又因为平面,所以;(2)设,连接,因为为的中点,所以,所以平面,所以以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,所以,则,设平面的法向量,则,即,取,设平面的法向量,则,即,取,则由图可知:二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.25在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面底面,(1)求证:;(2)点,分别在棱,求平面与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析;(

26、2)【分析】(1)连接,设,连接,由于四边形为边长为的正方形,所以,由等腰三角形的性质可得,由面面垂直的性质可得底面,则,再由等腰三角形的判定可得;(2)以为坐标原点,射线,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量求解即可【详解】(1)证明:连接,设,连接,底面为边长为的正方形,平面底面,平面底面,平面,底面,底面,(2)以为坐标原点,射线,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知,可得,设平面的法向量,令,可得,设平面的法向量,令可得,因为所以所以平面与平面所成角的正弦值为26设空间两个不同的单位向量,与向量的夹角都等于(1)求和的

27、值;(2)求的大小【答案】(1);(2)【分析】(1)根据模长和夹角的坐标表示列方程可得解;(2)由,结合(1)可求坐标,进而得解.【详解】(1),、,又与的夹角为,另外,;(2),由(1)知,、是方程的解,或,同理或,或,27已知,(1)求;(2)求与夹角的余弦值;(3)求确定、的值使得与轴垂直,且【答案】(1);(2);(3),【分析】(1)利用向量的数量积运算求解;(2)利用向量的夹角公式求解; (3)取轴上的单位向量,由与轴垂直,且,利用数量积运算求解.【详解】(1)因为,所以.(2),与夹角的余弦值为,(3)取轴上的单位向量,依题意,即,故,解得,28如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的

28、圆心,是底面的内接正三角形,为底面直径.已知.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)利用正弦定理易得的边长,再利用勾股定理可得,由此即可得证;(2)建立空间直角坐标系,求出平面与的法向量,利用向量夹角公式即可得解【详解】(1)设的边长为,则,解得,在中,同理,由于,故,又,平面(2)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,设平面的一个法向量为,则,即,取,则,故设平面的一个法向量为,则,即,取,则,故又由图象可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为29如图,正方形所在平面与等边所在平面互相垂直,设平面与平面相交于直线.(1)求与所成角的大小

29、;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)45°;(2).【分析】(1)由四边形为正方形,可得,再由线面平行的判定定理可得平面,由线面平行的性质定理可得,由可得与所成角的大小是;(2)分别取、的中点、,连接,可得、两两垂直,所以以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角的余弦值【详解】解:(1)四边形为正方形,平面,平面,平面,又平面,且平面平面直线,四边形为正方形,故与所成角的大小是;(2)分别取、的中点、,连接,由为等边三角形,可知,由四边形为正方形,知,平面平面,平面平面,且平面,平面,以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系,设

30、,则,于是,设平面的一个法向量为,由,取,可得;设平面的一个法向量为,由,取,可得.由图可知,二面角为锐二面角,则其余弦值为.30如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,平面平面,是的中点,且.(1)求证:平面;(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)依题意可得为直角三角形,即可得到,根据面面垂直的性质定理即可证明;(2)由(1)可知即为直线与平面所成角,即可得到,再利用勾股定理求出,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值;【详解】解:(1)在中,因为是的中点,且,所以,所以为直角三角形,所以,又因为平面平面,平面平面,平面

31、,所以平面(2)因为平面,所以直线与平面所成角为,所以,又,所以,在中,设,则,所以,即,解得,即,作交于点,因为,所以,如图建立空间直角坐标系,则,设面的法向量为,所以,令,则,所以,设面的法向量为,所以,令,则,所以,设二面角为,显然二面角为锐二面角,所以;31如图,在等腰梯形中,为中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置(平面).(1)证明:;(2)若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)设的中点为,连接、,证明出平面,进而可得出;(2)证明出平面,然后以为原点,为轴、为轴、为轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系

32、可求得结果.【详解】(1)设的中点为,连接、,翻折前,因为,为的中点,则,且,故四边形为平行四边形,则,故,所以,为等边三角形,为的中点,则,因为,则,翻折后,则有,在中,由余弦定理可得,所以,平面,平面,故;(2)在平面内作,垂足为,平面,平面,所以,平面,所以,直线与平面所成角为,因为,则,所以,故、两点重合,即平面,以为原点,为轴、为轴、为轴,建立空间直角坐标系,则、,则,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,易知平面的一个法向量为,所以,则.因此,二面角的正弦值为.32如图,正三棱锥中,与底面所成角正切值为(1)证明:面;(2)设为的中心,延长到点使得,求二面角的平面角的大小【答案】(

33、1)证明见解析;(2).【分析】(1)取底面中心,不妨设,根据线面角可得,由勾股定理可得,根据正棱锥的性质可得,进而可得结果;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,易得面的法向量,求出面的法向量,求出法向量夹角的余弦值即可得结果.【详解】(1)由题意知:取底面中心,则有面,所以即为与底面所成角,不妨设,则有,在正中,因为,所以在中,因为,所以又因为正三棱锥,所以所以面(2)因为为等边三角形,取中点,则,作,则面以为原点,分别为,轴建立空间直角坐标系则有:,所以,所以因为面,所以为面的法向量,设面的法向量为,所以由所以,所以二面角的大小为33如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为等腰梯形,

34、PA底面ABCD,ADBC,BC2AD2AB2DC2PA2,对角线AC与BD交于O点,连接PO.(1)求证:ACPB;(2)过B点作一直线l平行于PC,设Q为直线l上除B外的任意点,设直线PQ与平面PAC所成角为,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)延长BA、CD交于一点R,根据平面几何知识得CABA,根据线面垂直的判定和性质可得证;(2)由(1)得,以A为原点,射线AB,AC,AP的方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系,设,其中,根据线面角的向量求解方法表示,再由二次函数的性质可求得范围.【详解】(1)延长BA、CD交于一点R,因为ADBC,BC2AD2AB2DC

35、2,所以为正三角形,且AD为三角形RBC的中位线,即A为BR边的中点,所以CABA,因为PA底面ABCD,AC平面ABCD,所以PAAC,因为 ABPAA,所以AC平面PAB,PB平面PAB,所以ACPB;(2)由(1)得,AP,AB,AC两两垂直,故以A为原点,射线AB,AC,AP的方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系,则平面PAC的法向量为,P(0,0,1),C(0,0),B(1,0,0),所以(0,1),(1,0,1),因为lPC,所以可设,其中,因为,所以,所以,当且仅当时,.34如图,在七面体中,四边形是菱形,其中,为等边三角形,且,为的中点.(1)证明:平面;(2)求平面与平面所

36、成的锐二面角的余弦值.【答案】(1) 证明见解析; (2) .【分析】(1)利用线面垂直的判定证 平面,得到,再证平面;(2)几何法求解.先确定二面角的平面角,再利用解三角形知识求角.【详解】(1) 连接,因为为菱形的边上的中点,所以,又,由余弦定理得,由,知,即,又,所以 .根据题意,有又 , 都在平面内,且相交于点 所以 平面 又平面,所以.在等边三角形 中,因为为的中点,所以.又在菱形中,所以.因为,都在平面内,且相交于点,所以 平面.(2) 因为平面 与平面的交线为,由(1)知,所以为二面角的平面角,设 ,则有 , 由(1)知, 平面,又 平面,所以平面 平面,过点作交于点 ,则有平面

37、,又 为等边三角形,所以, , .在和中,由余弦定理得,所以 则,所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .【点睛】立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑:(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理,需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法,若图形容易确定所求角,也可利用几何法,结合解三角形知识求角.35已知正方体中,分别为棱的中点.(1)求证;四点共面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出,坐标得,从而得四边形为平行四边形即可证明

38、;(2)分别求出平面与平面的法向量和,利用向量法求解二面角的公式即可求解.【详解】解:如图建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,(1)因为,所以,所以,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以四点共面;(2),设平面的法向量分别为,则,即,取得,同理可得,平面的法向量,所以,由图可知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.四、填空题36在正四棱锥中,分别是,的中点,设异面直线与所成角的大小为,则_【答案】【分析】先建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后用向量法求异面直线所成的角即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设,设异面直线与所成角的大小为,则故答案为:37正方体中,与平面所成角的正弦

39、值为_.【答案】【分析】设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,则、,设平面的法向量为,由,取,则,.因此,与平面所成角的正弦值为.故答案为:.38已知二面角为,在与的交线上取线段,且,分别在平面和内,它们都垂直于交线,且,则的长为_.【答案】【分析】利用,将其两边同时平方即可求,再开方即可求解.【详解】如图:,所以,所以,所以的长为,故答案为:.39已知,若点满足,则点的坐标为_【答案】【分析】设,则,再由坐标相等列方程可得解.【详

40、解】设,则,点坐标为故答案为:.40在空间直角坐标系中,、,若,则的值为_【答案】或【分析】根据空间两点距离公式列式求解即可.【详解】,或故答案为:或.41已知、,设点、在平面上的射影分别为、,则向量的坐标为_【答案】【分析】根据题意可得、,进而得解.【详解】点、在平面上的射影分别为、,向量的坐标为故答案为:.42在空间直角坐标系中,已知向量与向量共线且满足方程,则向量的坐标为_【答案】【分析】设,由数量积运算可得,进而可得坐标.【详解】与共线,故可设,由得:,故,故答案为:.43已知点关于坐标平面的对称点为,点关于坐标平面的对称点为,点关于轴的对称点为,则点的坐标为_【答案】【分析】利用空间

41、点关于平面对称点的求法求解.【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为,点关于坐标平面的对称点的坐标为,点关于轴的对称点的坐标是故答案为:44点在平面内的射影为,则_【答案】【分析】利用空间点在平面内的射影求解.【详解】点在平面内的射影为,、,故答案为:0五、双空题45边长为2的正方体内(包含表面和棱上)有一点,、分别为、中点,且(,)(1)若(),则_(2)若(),则三棱锥体积为_【答案】 【分析】(1)以,为基底,把向量,分别用基底表示,利用两个向量相等的条件即可算出;(2)由得,三点共线,利用(1)把k求出来,再利用等体积法算出到面的距离,三角形的面积,即可算出体积.【详解】如图,(1),所以,所以.

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