1、考点 28 三角恒等变换（2） 【命题解读】【命题解读】 运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角 【基础知识回顾基础知识回顾】 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦 2. 要注意对“1”的代换： 如 1sin2cos2tan4，还有 1cos2cos22，1cos2sin22. 3. 对于 sincos与 sincos同时存在的试题，可通过换元完成： 如设 tsincos，则 sincost212. 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼
2、技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2()()，()()，3是23的半角，2是4的倍角等 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasinxbcosxa2b2sin(x)，其中 cosaa2b2，sinba2b2.则a2b2ya2b2. (2)yasin2xbsinxcosxccos2x 可先降次，整理转化为上一种形式 (3)yasinxbcsinxd(或 yacosxbccosxd) 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式 sinxf(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasin2xbcosxc 可转
3、化为关于 cosx 的二次函数式 (2)yasinxcbsinx(a，b，c0)，令 sinxt，则转化为求 yatcbt(1t1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解 1、若 sin 255，sin()1010，且 4， ，32，则 的值是( ) A.74 B.94 C.54或74 D.54或94 【答案】A 【解析】4， ， 22，2 ， sin 255，22， . 4，2且 cos 22 55. 又sin()1010，32， 2，54，cos()3 1010， cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10102 5510105522， 又54，2 ，74.
4、 2、已知 ，3，56，若 sin645，cos56513，则 sin()的值为_ A1665 B. 3365 C. 5665 D6365 【答案】 ：A 【解析】 ：由题意可得 62， ，562，0 ，所以 cos635，sin(56)1213， 所以 sin()sin(6)(56)455133512131665 3、已知 sin 55，sin()1010， 均为锐角，则 _. 【答案】4 【解析】因为 ， 均为锐角，所以22. 又 sin()1010，所以 cos()3 1010. 又 sin 55，所以 cos 2 55， 所以 sin sin()sin cos()cos sin() 5
5、53 10102 55101022. 所以 4. 4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分别交于A， B两点， x轴正半轴与单位圆交于点M， 已知SOAM55， 点B的纵坐标是210.则cos()_，2_. 【答案】1010 4 【解析】由题意，OAOM1， 因为 SOAM55和 为锐角，所以 sin 2 55，cos 55. 又点 B 的纵坐标是210，所以 sin 210，cos 7 210， 所以 cos()cos cos sin sin 557 2102 552101010. 因为 cos 22cos212552135，
6、 sin 22sin cos 22 555545，所以 22， . 因为 2， ，所以 22，2. 因为 sin(2)sin 2cos cos 2sin 22， 所以 24. 5、 【江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年 3 月线上考试】若cos2cos 4，则tan 8_ 【答案】213 【解析】cos2cos 4Q，cos 2cos 8888， cos cossin sin2cos cos2sin sin88888888， 化为：cos cos3sin sin8888， 3tan tan188， 22tan8tan141tan8Q，解得tan218 121tan 83321（
7、）， 故答案为213 考向一 变角的运用 例 1、（2020 江苏苏州五校 12 月月考） 已知5cos45，0,2， 则s i n 24的值为_ 【答案】210 【解析】0,2Q，3,44 4，又5cos45Q，2sin545，2 554sin22sincos2444555， 23cos22cos1445 ， 333sin 2sin 2sin2coscos2sin4444444 =42322525210 变式 1、 【江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考】已知为锐角，且1cos63，则sin_ 【答案】2 616 【解析】因为为锐角，1cos63， 则22 2sin1
8、 cos663， 所以sinsin66sin.coscos.sin6666， 2 231132322 616. 故答案为： 2 616. 变式 2、(2019 通州、海门、启东期末）设 0，3，已知向量 a( 6sin， 2)，b1，cos62，且 ab. (1) 求 tan6的值； (2) 求 cos2712的值 【解析】 (1) 因为 a( 6sina， 2)，b1，cos62，且 ab. 所以 6sina 2cos 3，所以 sin664.2 分 因为 0，3，所以 66，2，(4 分) 所以 cos6104， 故 sin61cos2664 所以 tan6155.(6 分) (2) 由(
9、1)得 cos232cos26121042114.(8 分) 因为 0，3，所以 233， ， 所以 sin23154.(10 分) 所以 cos2712cos23cos4sin2a3sin4(12 分) 2 308.(14 分) 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。 考向二 求角 例 2、(2019 苏州期初调查）已知 cos4 37，0，2. (1) 求 sin4 的值； (2) 若 cos()1114，0，2，求 的值 【解析】 (1) 由 cos4 37，0，2， 得 sin 1cos214 37217.(2 分) 所以 s
10、in4 sin4coscos4sin(4 分) 224 3722174 6 214.(6 分) (2) 因为 ，0，2，所以 (0，) 又 cos()1114，则 sin() 1cos2（）1111425 314.(8 分) 所以 sinsin()sin()coscos()sin(10 分) 5 3144 3711141712.(12 分) 因为 0，2，所以 6.(14 分) 变式 1、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为210，2 55求： (1) tan()的值； (2) 2 的大小
11、【解析】 ： 由条件得 cos210，cos2 55 ， 为锐角， sin 1cos27 210，sin 1cos255 因此 tansincos7，tansincos12 (1) tan()tantan1tan tan71217123 (2) tan22tan1tan2212112243， tan(2)tantan21tan tan274317431 ， 为锐角， 0232， 234 变式 2、 （2020 江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点(1,2)P (1)求cos2sin2的值； (2)若10sin()10，且
12、0,2，求角的值 【解析】(1)Q角的终边上有一点 P22 5sin55，15cos55， 2 554sin22sincos2555，2253cos22cos12155 ， 431sin2cos2555 (2)由02，02，得,2 2 ，10sin()10， 22103 10cos()1 sin ()11010， 则sinsin()sincos()cossin()2 53 1051025105102，因02，则4 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值， （结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考向三 公式的综合运用 例
13、 3、 【江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研】已知函数2( )13cos2sin ()4f xxx ， （1）求( )f x的最小正周期和单调递减区间。 （2）若方程( )0f xm在区间, 4上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围。 【解析】 （1） 213cos22sin4f xxx 3cos2cos23cos2sin22xxxx 2sin 23x 22T 由3222,232kxkkZ，解得：7,1212kxkkZ f x的单调递减区间为：7,1212kkkZ （2）即 yf x在区间,4上的图象与直线ym有两个不同的交点 由（1）知： f x在7,
14、4 12上单调减，在7,12上单调增， min7212f xf ，14f， 3f 当21m 时， yf x在区间,4上的图象与直线ym有两个不同的交点，即方程 0f xm在区间,4上两个不同的实数解 m的取值范围为2,1 变式 1、 （2020 江苏淮安楚州中学月考）已知函数2( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx=+- (1)求函数( )f x的最小值，并写出( )f x取得最小值时自变量 x 的取值集合； (2)若,2 2x ，求函数( )f x的单调增区间 【解析】(1) 23cossin2 3sin2f xxxx223cos2 3sin cossin2 3sin2xxx
15、xx 3 1 cos21 cos23sin222xxxcos23sin22xx 2cos 223x 当223xk，即3xkkZ时， f x取得最小值 0 此时， f x取得最小值时自变量 x 的取值集合为,3x xkkZ (2)因为 2cos 223f xx，令22223kxkkZ， 解得536kxkkZ， 又,2 2x ， 令1k ，,26x ， 令0k ，,3 2x ，所以函数在,2 2 的单调增区间是,26和,3 2 变式 2、 （2020 江苏如东高级中学月考） 已知函数 若， 求函数的值域 2sincos3f xxx02x f x【解析】， 由得， ，即函数的值域为 方法总结：降幂公
16、式是解决含有 cos2x、sin2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧 1、 （2016新课标，理 9）若3cos()45，则sin2( ) A725 B15 C15 D725 【答案】D 【解析】法31 : cos()45Q， 297sin2cos(2 )cos2()2cos ()1212442525 ， 法232 : cos()(sincos )425Q，19(1sin2 )225，97sin2212525 ， 故选D 2、 （2011 浙江）若02 ，02- ，1cos()43，3cos()423，则cos()2 A33 B33 C5 39 D69 【答案】C
17、 【解析】cos()cos()()2442cos()cos()442 sin()sin()442，而3(,)444，(,)424 2 ， 因此2 2sin()43，6sin()423， 2sin3coscossin cos3cosf xxxxxxx1333sin2cos2sin 222232xxx02x42333x3sin 2123x330sin 21322x f x30,12则132 265 3cos()233339 3、 （2015 江苏）已知tan2，1tan7，则tan的值为_ 【答案】3 【解析】12tan()tan7tantan()321tan()tan17 4、 （2012 江苏
18、）设为锐角，若4cos65，则sin 212的值为 【答案】50217 【解析】 因为为锐角，cos()6=45，sin()6=35，sin2(,2524)6cos2(7)625，所以 sin(502172517224)6(2sin)122 5、 （2013 广东）已知函数 (1) 求的值； (2) 若，求 【解析】 （1）()2cos1.3124f （2）3 3cos,52由于2，所以294sin1 cos1255 ， 因此2cos6612f 324212cos2cos cos2sinsin22.44452525 6、（2019 年高考浙江卷）设函数( )sin ,f xx xR. （1）已
19、知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数22 () ()124yf xf x的值域 ( )2cos,12f xxxR3f33cos,2526f【解析】 （1） 因为()sin()f xx是偶函数， 所以， 对任意实数x都有sin()sin()xx ， 即sin coscos sinsin coscos sinxxxx， 故2sin cos0 x， 所以cos0 又0,2)， 因此2或32 （2）2222sinsin124124yfxfxxx 1 cos 21 cos 2133621cos2sin222222xxxx 31cos 223x 因此，函数的值域是331,122 7
20、、 （2017 年高考浙江卷）已知函数22sincos2 3sincos ()( )xxxf xx xR （1）求2()3f的值 （2）求( )f x的最小正周期及单调递增区间 【解析】 （1）由23sin32，21cos32 ，2223131()()()2 3()32222f 得2()23f （2）由22cos2cossinxxx与sin22sin cosxxx得( )cos23sin2f xxx 2sin(2)6x 所以( )f x的最小正周期是 由正弦函数的性质得3222,262kxkkZ， 解得2,63kxkk Z， 所以，( )f x的单调递增区间是2,63kkk Z 8、 （201
21、8 年高考浙江卷）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（3455 ，-） （1）求 sin（+）的值； （2）若角 满足 sin（+）=513，求 cos 的值 【解析】 （1）由角的终边过点34(,)55P 得4sin5 ， 所以4sin()sin5 . （2）由角的终边过点34(,)55P 得3cos5 ， 由5sin()13得12cos()13 . 由()得coscos()cossin()sin， 所以56cos65 或16cos65 . 9、 【江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考】已知2( )4sin sincos242xf xxx （1）求函数的最小正周期； （2）求函数( )26g xfx，0,2x的值域 【答案】 （1）最小正周期为2（2）0,3 【解析】 （1） 1cos24sincos22xf xxx， 22sin1 sin1 2sin2sin1xxxx ， 所以函数 yf x的最小正周期为2， （2）( )(2)2sin 2166g xfxx，0,2x， 因为0,2x，所以52,666x ， 所以1sin 2,162x ， 所以函数 yg x的值域为0,3.
