1、考点 02 充要条件与量词 【命题解读】【命题解读】 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定 关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、 充分条件与必要条件 （1）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要
2、条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp （2）从集合的角度： 若条件 p，q 以集合的形式出现，即 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则由 AB 可得，p 是 q 的充分条件，请写出集合 A，B 的其他关系对应的条件 p，q 的关系 提示 若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2、全称量词与全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词 (2)全称命题
3、：含有全称量词的命题 (3)全称命题的符号表示： 形如“对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立”的命题，用符号简记为xM，p(x) 3、存在量词与特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词 (2)特称命题：含有存在量词的命题 (3)特称命题的符号表示： 形如“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”的命题，用符号简记为x0M，p(x0) 1、命题“xR R，x2x0”的否定是( ) Ax0R R，x20 x00 Bx0R R，x20 x00 CxR R，x2x0 DxR R，x2x0 【答案】B 【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题 B 正确
4、故选 B. 2、“(x1)(x2)0”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】选 B 若x1，则(x1)(x2)0 显然成立，但反之不成立，即若(x1)(x2)0，则x的值也可能为2. 3、 命题“x0，1，x210”是_命题(选填“真”或“假”) 【答案】 真 【解析】 取 x1，则 x210，所以为真命题 4、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研）已知, x yR,则“1a ”是“直线1010axyxay 和直线平行”的_条件 （从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必
5、要”中选择一个）. 【答案】充要 【解析】当两直线平行时210a ,解得1a,但当1a时,直线重合,故1a .所以为充要条件. 5、(一题两空)已知 p：|x|m(m0)，q：1x4，若 p 是 q 的充分条件，则 m 的最大值为_；若 p是 q 的必要条件，则 m 的最小值为_ 【答案】1 4 【解析】由|x|m(m0)，得mxm. 若p是q的充分条件 m1m40m1. 则m的最大值为 1. 若p是q的必要条件 m1m4m4. 则m的最小值为 4. 考向一、充要条件、必要条件的判断 例 1、 已知直线 l，m，平面 ，m，则“lm”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“
6、既不充分又不必要”) 【答案】 必要不充分 【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“lm”推不出“l”，但是由定义知“l”可推出“lm”，故填必要不充分 变式 1、.设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由|x2|1，得 1x3，所以 1x21x3；但 1x31x2. 所以“1x2”是“|x2|0 (1)若 m1，则 p 是 q 的什么条件？ (2)若 p 是 q 的充
7、分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【解析】 (1)因为p：x x20，x100 x|2x10， q：x|1mx1m，m0 x|0 x2， 显然x|0 x2x|2x10， 21,1121aa21p：102xx(1)(2)020 xxx12x 1 2)A ，q：222310 xmxmm (21)(1)0 xmxm23m (21)1mm211mxm ( 211)Bmm ，pqAB21112mm 1mm1)，pqBA21112mm0m23m m2(03，所以p是q的必要不充分条件 (2)由(1)，知p：x|2x10，因为p是q的充分不必要条件， 所以 m0，1m2，1m10，1m2与1m10不同时
8、相等. 解得m9，即m9，) 方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 考向三 含有量词的命题 例 3、 （1）写出下列命题的否定，并判断真假 （1）:pxR ，都有xx； （2）:pxR ，32xx； （3）:p至少有一个二次函数没有零点； （4）:p存在一个角R，使得sin2cos21 （2）下列四个命题： x(0，)，11logxx； x(0，)，12x12log x； x0，13，12x13x成立，故是假命题； 对于，当 x12时，
9、有1112331111=log=loglog232成立，故是真命题； 对于，当 0 x112x，故是假命题； 对于，x0，13，12x113log x，故是真命题 变式 1、设有一组圆 Ck：(xk1)2(y3k)22k4(kN*)下列四个命题： A存在一条定直线与所有的圆均相切； B存在一条定直线与所有的圆均相交； C存在一条定直线与所有的圆均不相交； D所有的圆均不经过原点 其中为真命题的是（ ） 【答案】：B D 【解析】：圆 Ck：(xk1)2(y3k)22k4的圆心坐标为(k1,3k)，则圆心在直线 3xy30 上，由 k1,2,3 可作图观察出所有圆都与 y 轴相交， 即(k1)2
10、(y3k)22k4关于 y 的方程有解； 所有圆均不经过原点， 即关于 k 的方程(k1)29k22k4， 即 2k410k22k10， 没有正整数解， 因此四个命题中 B D 正确 方法总结： 1、判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 x，使 p(x)成立 2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定 考向四 全称（存在）量词命题的综合应用 例 4、已知函数2( )ln(1)f xx，1( )( )2xg xm，若对10 3x，21
11、2x，使得12()()f xg x，求实数m的取值范围是 【解析】：因为2( )ln(1)f xx在0 3，上是增函数，所以1()0 ln10f x ，；因为1( )( )2xg xm 在1 2，上是减函数，所以211()42g xmm，若命题成立，只要1 min2 min()()f xg x， 则104m，所以14m 变式 1、若命题“xR，x2mxm0”是假命题，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】4,0 【解析】“xR，x2mxm0”是假命题，则“xR，x2mxm0”是真命题即 m24m0， 4m0 变式 2、若命题“x0R R，使得 3x202ax010”是假命题，则实数 a 的取值范
12、围是_ 【答案】 ： 3， 3 【解析】命题“x0R R，使得 3x202ax010”为真命题，当a0,4x0 不恒成立，故不成立；当 a0 时， a0，164a22，所以实数 a 的取值范围是(2，) 方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略： （1）对于全称量词命题( )xM af x ，（或( )af x）为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求( )f x的最大值（或最小值） ，即max( )af x（或min( )af x） （2）对于存在量词命题( )xM af x ，（或( )af x）为真的问题实质就是不等式能成立问题，通常转化为求( )f x的最小值（或最大值） ，即
13、min( )af x（或max( )af x） 1、 【2019 年高考全国卷理数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件. 故 的充要条件是 内有两条相交直线与 平行. 故选 B 2、 (2018 北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不
14、充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26a b9b29a26a bb2，又|a|b|1， a b0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件. 3、.(2018 浙江卷)已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若 m， n， mn， 由线面平行的判定定理知 m.若 m， m， n， 不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件. 4、 （2020
15、届山东省泰安市高三上期末）“1a ”是“0 xR，0sin10 ax”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 必要性：设 sin1f xax，当0a时， 1,1f xaa，所以10a，即1a ； 当0a时， 1,1f xaa，所以10a，即1a.故1a 或1a. 充分性：取02x，当1a时，0sin10ax 成立. 答案选 A 5、 （江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测）将函数( )sin4f xx的图象向右平移个单位，得到函数yg x （ ）的图象.则“34”是“函数( )g x为偶函数”的_条件，
16、（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】由题意，将函数( )sin4f xx的图象向右平移个单位，可得sin4（ ）=g xx的图像， 当34时，可得3sinsincos442（ ）= g xxxx，显然( )g x为偶函数， 所以“34”是“函数( )g x为偶函数”的充分条件； 若函数( )g x为偶函数，则,42kkZ， 即,4 kkZ，不能推出34， 所以“34”不是“函数( )g x为偶函数”的必要条件， 因此“34”是“函数( )g x为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 6、 （2020 届江苏省南
17、通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知集合 |2,0,2Ay ycosx x，集合00|Byyaa ， ，若 y A是yB的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_ 【答案】0,2 【解析】Q集合 |2,0,2Ay ycosx x,02 |Ayy； 又Q集合00|Byyaa，,而 y A是yB的必要不充分条件, BA? ,02a ；在此处键入公式。 故实数a的取值范围为0,2 故答案为：0,2 7、若 f (x)x22x，g(x)ax2(a0)，x11,2，x01,2，使 g(x1)f (x0)，求则实数 a 的取值范围 【答案】 0，12 【解析】 由于函数 g(x)在定义域1,2内是任意取值的，且必存在 x01,2，使得 g(x1)f (x0)，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f (x)值域的子集函数 f (x)的值域是1,3，因为 a0，所以函数 g(x)的值域是2a,22a，则有 2a1 且 22a3，即 a12.故 a 的取值范围是0，12.
