1、第五章平面向量、复数过关检测卷2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1关于平面向量，下列结论正确的是（ ）A，则B，则与中至少有一个为CD，则【答案】D【分析】当向量时，可判定A不正确；当向量时，可判定B不正确；根据向量的数量积的定义和向量的数乘的运算，可判定C不正确；根据向量的数量积的定义，求得，可判定D正确.【详解】对于A中，若向量时，满足，但与不一定相等，所以A不正确；对于B中，当向量时，可得，所以B不正确；对于C中，根据向量的数量积的定义，可得，不妨设，此时与不一定相等，所以C不正确；对于D中，根据向量的数量积的定义，可得，因为，可得，又由，所以或
2、，此时与为共线向量，即，所以D正确.故选：D.2设，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是ABCD【答案】D【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果【详解】解：，是两个非零向量，则，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是故选：D【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力3已知向量，则下列结论正确的是（ ）AB/CD【答案】C【分析】采用排除法，一一进行验证，可得结果.【详解】由，因为，故与不垂直，所以A选项不对因为，所以与不共线，所以B选项不对由，所以则，所以C选项正确由，所以故与不垂直，所以D选项不对故选：C【点睛】本题考查向量的位置关系，
3、以及数量积用坐标进行运算，属容易题.4下列命题设非零向量，若，则向量与的夹角为锐角；若非零向量与是共线向量，则四点共线；若，则；若，则.其中正确的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】B【分析】通过反例可依次排除，由向量相等的定义可知正确.【详解】对于，若同向，则，此时夹角为，不是锐角，错误；对于，若与是平行四边形两对边，则与共线，但不共线，错误；对于，若是零向量，则，此时无法确定，错误；对于，若，则方向相同，模长相等，所以，正确.故选：.【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量夹角、向量共线、向量相等的相关知识，考查学生对于平面向量部分概念掌握的熟练程度.5已知圆的半径是，点是圆内部
4、一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为ABCD【答案】C【分析】画出图形，根据，求得，并求出，从而得出的最小值.【详解】如图所示，因为，所以，所以，且，所以,当时取等号，所以的最小值为.故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6在中，若点是所在平面上的动点，且满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由，得到，即，得出为直角三角形，建立如图所示的直角坐标系，点P在以为圆心，3为半径的圆上，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，在中，所以，所以，即，所以
5、的边长分别为的直角三角形，且B角为直角，建立如图所示的直角坐标系，则，因为点P是所在平面上的动点，且满足，设，则，所以，即点P在以为圆心，3为半径的圆上，因为,所以的取值范围是.故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及利用坐标法解决向量问题中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.7已知向量，满足，且在方向上的投影为4，现有如下说法：；向量与夹角的余弦值为；，则其中说法正确的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【分析】根据在方向上的投影的值，可得，结合向量的夹角公式以及向量的垂直关系，可得结果.【详解】依题意：，即，故错误；由，即，得，故正确；，故，故正确，故选
6、：C.【点睛】本题重在考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题.8已知,，且与不共线，则向量与的夹角为ABCD【答案】B【分析】根据向量的数量积，可得结果.【详解】,所求夹角为,故选：B.【点睛】本题主要考查向量的垂直关系，属基础题.9已知平面向量,，且，则AB5CD10【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示以及模的计算，可得结果.【详解】,故选：C.【点睛】本题主要考查向量的坐标计算，属基础题.10已知复数为虚数单位，则下列说法错误的是（ ）A的虚部为B在复平面上对应的点位于第二象限CD【答案】A【分析】根据复数的概念，可判断A错误；根据复数的几何意义，结合三角函数的性质，可判定正确；根
7、据复数的运算，可判定C、D正确.【详解】由题意，复数，可得复数的虚部为，所以A错误；由复数在复平面内对应的点为，又由，所以复数对应的点位于第二象限，所以B正确；由，即，所以C正确；由，即，所以D正确.故选：A.11若复数满足,其中为虚数单位,则=( )ABCD【答案】B【解析】设，所以 ，所以 ，所以选B12复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出的值，根据复数的几何意义可得结果【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的
8、代数表示法及其几何意义，是基础题13在如图所示的复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】分析：由图形得到复数，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.详解：由题图知则，所以其在复平面内对应的点为，在第三象限.故选C点睛：复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式14若复数，则下列结论正确的是（ ）AB的虚部为CD【答案】D【分析】对z进行进行复数的除法运算化简
9、复数，求出复数的模、虚部、共轭复数即可逐项判断正误.【详解】因为，所以，故A错；的虚部为1，故B错；，故C错；，故D正确.故选：D【点睛】本题考查复数，涉及复数的乘方与除法运算、复数的模、复数的概念，属于基础题.15已知，是虚数单位，若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】整理为的形式，根据复数相等的充要条件求出m、n，代入求模即可.【详解】，.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题.16设复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是A它的实部为3B共轭复数C它的模 D在复平面对应的点的坐标为 【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然
10、后逐一核对四个选项得答案【详解】解：，的实部为3，在复平面对应的点的坐标为（3，4）.故选: C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念、共轭复数、复数的模和复数的几何意义，是基础题17已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）A1BCD【答案】B【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z，再令实部为0，即得解.【详解】由于若为纯虚数，则故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.18给出下列四个命题：若复数，满足，则；若复数，满足，则；若复数满足，则是纯虚数；若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ）A1个B2个C3
11、个D4个【答案】B【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于：设，均为实数，由可得，所以，即，故正确；对于：当，时，满足，但是，故不正确；对于：当时，满足，但是不是纯虚数，故不正确；对于：设，由可得，所以，故正确.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.二、多选题19已知复数，则下列结论正确的是（ ）AB复数z的共轭复数为CD【答案】ABD【分析】由复数模的计算公式，可判定A正确；由共轭复数的概念，可判定B正确；由的运算性质和复数的运算，可判定C不正确；由复数的运算法则， D正确.【详解】由
12、题意，复数，可得，所以A正确；由共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以B正确；由，则，所以C不正确；由复数的运算法则，可得，所以D正确.故选：ABD.20已知与是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（）ABCD【答案】BC【分析】与是共轭虚数，设，利用复数的运算性质及其有关概念逐一判断即可【详解】与是共轭虚数，设，.；，因为虚数不能比较大小，因此不正确；，正确；，正确；不一定是实数，因此不一定正确.故选：BC.21已知复数z满足则实数a的值可能是（）A1BC0D5【答案】ABC【分析】设则，代入可得到，利用判别式的符号列不等式求解即可.【详解】设则，因为，解得：，实数的值可能是.故选：ABC
13、.22（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为D为纯虚数【答案】ABC【分析】根据复数的除法运算，求得，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，可得的虚部为，所以错误；由，所以错误；由共轭复数的概念，可得，所以错误；由，可得为纯虚数，所以正确，故选：ABC【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的四则运算的应用，其中解答中熟记复数的基本概念，以及熟练应用复数的除法运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.23已知复数，则下列命题中正确的为（ ）ABC的虚部为D在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【分析】根据复数的
14、相关定义，逐个判断即可.【详解】复数，则.故正确；，故正确；的虚部为1，故错误；在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故正确.命题中正确的个数为3.故选：【点睛】本题考查了复数的相关定义和计算，属于基础题.24下面四个命题中的真命题为（ ）A若复数满足，则B若复数满足，则C若复数，满足，则D若复数，则【答案】AD【分析】根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.【详解】若复数满足，则，故命题为真命题；复数满足，则，故命题为假命题；若复数，满足，但，故命题为假命题；若复数，则，故命题为真命题.故选：【点睛】本题考查复数的基础知识，属于基础题.25设z是复数，则下列命题中的真命题是A若z20，则z是
15、实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20【答案】ABD【分析】设复数，则，对选项逐项判定，即可求解.【详解】设复数，则，对于A中，即，则，所以是实数，真命题；对于B中，即，则，且，所以是虚数，所以B为真命题；对于C中，例如复数，则 ，所以z20是假命题.对于D中，由是纯虚数，则，所以是真命题；故选ABD.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，合理利用复数的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.26已知复数，则下列命题中正确的为ABCz的虚部为4iDz在复平面上对应点在第四象限【答案】
16、ABD【分析】根据复数的模的计算公式、共轭复数的概念和复数的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，所以A正确；复数的共轭复数，所以B正确；由复数，可得复数z的虚部为-4，所以C错误；复数z在复平面上对应点的坐标为（3，-4），在第四象限，所以D正确.故选ABD.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的表示、复数的分类及复数的模的求解等知识点的应用，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题27已知向量，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为_.【答案】【分析】利用向量不等式可求解.【详解】由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夹角）又，所以当
17、与反向，时，等号成立.故答案为: 【点睛】此题考查利用向量不等式求最值，同时考查向量的投影概念，属于中档题.28平面向量，满足，（且），则的取值范围是_.【答案】【分析】把向量，置于单位圆中，找到，再转化为代数关系，分类讨论.【详解】如图，单位圆中，根据向量加法的平行四边形法则：且；且；，即重合，且，所以.又，当，不共线时，有，又，.得，当，共线时， 若，得， ；，若， 综上：的范围是故答案为：【点睛】利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,29已知同一平面内的单位向量，则的取值范围是_.【答案】【分析】可设， ，转化为坐标运算，再化
18、简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.【详解】设， ，则由令，则，函数开口向上，对称轴为故当，或，时，；当，或，时，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.30已知点G为的重心，点D，E，F分别为，的中点.若，则_.【答案】【分析】以、为基底表示出向量、，代入、中按向量数量积运算律进行运算得到式、式，再用基底表示出，即可求得.【详解】，,，得：，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的运算律、平面向量基本定理，属于中档题.31设，向量，且，则_.【答案
19、】【分析】根据向量共线与垂直的条件，以及向量的坐标运算，求得的值，进而得到向量的坐标，利用模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，因为，可得，解得，又由，可得，解得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量共线与垂直的坐标表示，以及向量模的求解，着重考查了推理与计算能力.32已知向量，满足，与夹角为，则的最大值为_.【答案】【分析】设，根据题设条件，求得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，因为，与夹角为，可设，又由，即，即，可得圆心坐标为，半径为1的圆，又由表示圆上的点到点的距离，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向
20、量的数量积的运算，以及点与圆上点的距离的最值等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力.33如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为_.【答案】【分析】设边长为1，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，则，可得，由，可得，解得其中，所以，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运
21、算能力34已知向量与的夹角为,，则_.【答案】【分析】先求出，然后利用向量模的计算方法，可得结果.【详解】因为向量与的夹角为,.,.故答案为：【点睛】本题主要考查向量模的计算，属基础题.35已知平面向量，满足：，的夹角为，|5，的夹角为，|3，则的最大值为_【答案】36【分析】设，由题意知四点共圆，建立坐标系，求出点的坐标和圆的半径，设，用表示，根据范围和三角和差公式，即可求解【详解】设，则AB|5，AC|3，ACB，APB，可得P，A，B，C四点共圆设ABC的外接圆的圆心为O，则AOB2APB，由正弦定理可知：2OA5，故OA以O为圆心，以OA，OB为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则A（，0
22、），B（0，）在OAC中，由余弦定理可得cosAOC，故sinAOC，C（，）设P（cos，sin），则（cos，sin），（cos，sin），（cos）（cos）sin（sin）16+12sin16cos16+20（sincos）16+20sin（），其中sin，cos当时，取得最大值36答案：36【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，以及三角恒等变换与三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了逻辑推理能力和分析问题和解答问题的能力，属于难题36若向量、满足1，2，且与的夹角为，则_.【答案】【分析】由夹角为，利用平面向量数量积公式，求得平方的值，从而可得结果.
23、【详解】夹角为，所以所以，故答案为.37下列命题中，正确的是_（填序号）.若是平面内三个非零向量，则；若，其中，则；若是所在平面上一定点，动点满足，则直线一定经过的内心.【答案】【分析】根据数量积运算的结果、相等向量的定义可知中存在等式不成立的情况；利用向量数量积的坐标运算，结合角的范围可得，从而得到垂直关系，知正确；根据单位向量的表示法可确定在的角平分线上，由内心定义可知正确.【详解】和为实数 当方向不同，且，时，等式不成立，则错误，又，即 ，正确表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量在的角平分线上 直线必过的内心，正确本题正确结果：【点睛】本题考查平面向量数量积运算、垂直关系的向量表示
24、、利用向量表示与三角形的“心”有关的问题，属于中档题.38如图，点是线段AB上的一个动点，D为OB的中点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】选取为基向量，设得，利用数量积运算结合二次函数求最值即可【详解】选取为基向量，设，其中，因为D为OB的中点，所以，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，为，故答案为【点睛】本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题39下列命题：；若则；y=tanx在定义域上单调递增；若锐角满足，则.其中真命题的序号为_【答案】【解析】【分析】对给出的五个命题分别进行分析、判断后可得正确命题，进而得到答案【详解】对于，由于是与共线的
25、向量，是与共线的向量，而与不一定共线，所以不正确对于，由于向量的数量积不满足消去律，所以不正确对于，由于（为两向量的夹角），所以，所以正确对于，由正切函数的性质可得，函数在区间上单调递增，而在定义域上没有单调性，所以不正确对于，由题意得，而均为锐角，所以，即所以正确综上可得正确故答案为【点睛】解答本题时要熟悉相关的知识，在求解过程中注意推理证明和举反例等方法的运用，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题40在中，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为_【答案】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可【详解】如图，以点为原点
26、，边所在直线为轴建立平面直角坐标系则，设，则，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，故答案为【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用41ABC是边长为3的等边三角形,已知向量满，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)为单位向量； 为单位向量； ； /； (6+)【答案】【分析】利用向量线性运算的法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择后可得正确的结论【详解】因为ABC是边长为3
27、的等边三角形，向量满，则，所以，因此为单位向量，故正确又，所以，因此，故不正确对于，由可得，故，可得，设的夹角为，则，从而可得，所以不正确对于，由，得，所以/，故正确对于，因为（6+），所以(6+)，故正确综上可得 正确故答案为 【点睛】本题综合考查向量的线性运算和数量积运算及其应用，解题的关键是结合题意逐项进行分析，考查综合运用知识解决问题的能力和灵活的应变能力，属于基础题42若是虚数单位，复数满足，则_.【答案】【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.【详解】由题意，复数满足，则,所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记
28、复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.43设复数（为虚数单位），则的共轭复数为_【答案】【分析】根据复数的乘法运算，求得，再根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】由于，所以的共轭复数为 【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.44在复变函数中，自变量可以写成，其中，是z的辐角点绕原点逆时针旋转后的位置可利用复数推导，点绕原点逆时针旋转得_；复变函数，_【答案】 【分析】点对应的复数，其中，则对应的复数，其中，利用两角和差公式求得的坐标；由，则，化简
29、可得.【详解】点对应的复数，其中，则对应的复数，其中，则，则，故的坐标为；由，则，得.故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.45已知复数，则_.【答案】【分析】根据复数的运算，化简得，得到，利用模的计算的公式，即可求解.【详解】由题意，复数，则，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力.46若复数（i为虚数单位），且为实数，则实数_.【答案】【分析】根据复数的乘法运算法则，求出，由虚部为零，即可求
30、解.【详解】,为实数，.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.四、双空题47若向量，满足，则的最小值为_，最大值为_【答案】12 【分析】设，的夹角为，根据向量的运算，得到所以，结合三角函数的性质，即可求解【详解】由题意，设，的夹角为，则，所以，所以，因为，所以，所以，故的最小值为12，最大值为故答案为：，【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算能力48已知矩形，点是的中点，点是对角线上的动点，若，则的最小值是_，最大值是_【答案】 【解析】根据题意建立以为原点，直线为轴的平面直角坐标系，如
31、图所示则，直线的方程为设，的最小值是1当时，取得最大值为故答案为1，5点睛：对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示或构造出要题中给定的条件，再利用几何意义或转换为坐标运算进行求解.尤其要与平面几何结合考虑，本题较好的考查考生转化与化归思想、坐标运算的引入为向量提供了数形转化的基础，将数与形紧密结合起来49已知复数满足（是虚数单位），则_；_【答案】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得，再由复数模的计算公式求【详解】由题意，根据复数的运算，化简得，所以故答案为 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘
32、除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.50已知复数满足，为虚数单位，则的虚部是_，_【答案】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|【详解】由，得，的虚部是，故答案为，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，属于基础题51已知复数，若为纯虚数，则（1）实数_；（2）复数的平方根为_【答案】 或 【分析】（1）由条件利用两个复数代数形式的除法，求得 ，由纯虚数，得a的关系式，由此求得a的值（2）由（1）可得复数34
33、i，设的平方根为a+bi，a、bR，则34ia2b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得的平方根【详解】复数a4i，8+6i， 为纯虚数，8a240，且 32+6a0，a3（）由（1）可得复数a4i34i，设的平方根为a+bi，a、bR，则34ia2b2+2abi，a2b23，2ab4解得 ，或，的平方根为2i，或2+i【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，求复数的平方根，两个复数相等的充要条件，准确计算是关键，属于基础题52已知为虚数单位，如图所示，平行四边形的顶点，分别对应复数，则向量，对应的复数分别为_、_、_【答案】 【分析】利用向量的减法计算向量，对应的
34、复数即可，利用向量的加法计算向量对应的复数即可.【详解】向量对应的复数为；因为，所以向量对应的复数为；因为，所以向量对应的复数为【点睛】本题主要考查复数与向量的联系，复数的加减运算，向量的加减运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.53设复数，其中为虚数单位，则的虚部是_，_.【答案】1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：，z（）2018+（）2019（i）2018+i2019i2+i31i，则的虚部为1|z|故答案为1；【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题五、解答题54已知 是平面内两个不共线的非零向量，=，
35、且A，E，C三点共线（1）求实数的值；（2）若，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标【答案】（1）；（2）(7，2)；（3）(10，7)【分析】（1）=k， 得到.由不共线，得到，求解得到的值；（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；（3）设A(x，y)，由，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k， 即，得.因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（2）（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.设A(x，y)，则，因为，所以解得即点A的坐标为(10，7)【点睛】本题考查
36、平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若不共线，由，则.这是在已知三点共线或向量共线求参数值的常用方法.55在中，底边上的中线，若动点满足.（1）求的最大值；（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.【答案】（1）8；（2）-5.【分析】（1）根据平面向量基本定理可知三点共线且在线段上，设，则，可将整理为，根据二次函数图象可求得最值；（2）以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，根据可求得坐标，根据数量积的坐标运算可求得结果.【详解】（1）且三点共线，又在线段上为的中点，设，则，当时，取最大值（2）为等腰三角形，且
37、为底边的中线以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系由（1）可得，又，则【点睛】本题考查平面向量数量积运算的相关计算，涉及到平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算、二次函数最值的求解问题.56已知=（1，2）=（-3，2），当为何值时（1）与垂直；（2）与平行【答案】（1）19； （2）.【分析】（1）由题意，求得，根据因为与垂直，列出方程，即可求解；（2）根据与平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，则，因为与垂直，所以，即，解得.（2）若与平行，则满足，即，解得.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式
38、，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.57在直角坐标系中，已知点，其中.（1）求的最大值；（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2；（2）存在，【分析】（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.【详解】解：（1）由题意：，；所以则即；因为，所以；所以当，即时，取得最大值；（2）因为，；又，所以，所以，；所以若为钝角三角形，则角是钝角，从而；由（1）得，解得；所以，即；反之，当时，又三点不共线，所
39、以为钝角三角形；综上，当且仅当时，为钝角三角形.【点睛】本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.58已知，.（1）求；（2）求满足条件的实数；（3）若向量满足，且，求.【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据向量加减法和模长的坐标运算法则即可求得结果；（2）利用向量相等关系可构造方程组求得结果；（3）由平行关系知，利用模长可构造出关于的方程，解方程求得后，代入即可求得.【详解】（1） （2），解得：（3）且 ，解得：当时，当时，【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量加减法、数乘运算、向量相等关系、向量共线的坐标表示等知识，属于中档题.59已知向量、
40、是两个共线向量，若-，+,求证：.【答案】详见解析【解析】【分析】根据向量共线的等价条件进行证明即可【详解】证明：若=，则0，所以,共线，即；若、中至少有一个不为零向量，不妨设，则 (R)，且(1)，(2)，所以，.因为，所以.综上可知，.【点睛】本题主要考查向量共线的证明，比较基础，熟记向量共线的充要条件是关键.60在中，且与的夹角为，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）选取向量为基底，根据平面向量基本定理得，又，然后根据向量的数量积的运算量可得结果；（2）结合向量的线性运算可得，然后与对照后可得【详解】选取向量为基底（1）由已知得，（2）由（1）得，又，【点睛】求向量数量积的方法（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面
