1、江苏省扬州市江都区江苏省扬州市江都区 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面轴对称图形中对称轴最多的是 A. 矩形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 正六边形 2. 已知O的半径为 5cm，点 P 在直线 l上，且点 P 到圆心
2、 O的距离为 5cm，则直线 l与O（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 3. 关于 x的方程（x2）2=1m无实数根，那么 m满足的条件是（ ） A. m2 B. m2 C. m1 D. m1 4. 在对一组样本数据进行分析时， 小华列出了方差的计算公式222222(3)(3)(4)xxxxsn，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是 4 B. 样本的中位数是 3 C. 样本的众数是 3 D. 样本的平均数是 3.5 5. 已知圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 15cm2，则这个圆锥底面圆的半径是 A. 1.5cm B. 3cm C. 4cm
3、D. 6cm 6. 如图，四边形 ABCD内接于O，若四边形 ABCO是平行四边形，则ADC的大小为( ) A. 45 B. 50 C. 60 D. 75 7. 如图，在平面直角坐标系中，A与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交A于 M、N 两点，若点 M的坐标是（8，4） ，则点 N 的坐标为（ ） A. （2，4） B. （1，4） C. （3，4） D. （1.5，4） 8. 在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P（m，3 m23） ，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 二、填空题（本
4、大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 9. 方程2xx的根是_ 10. 若关于x一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_ 11. 设 m，n 是一元二次方程 x22x70两个根，则 m23mn_. 12. 一组数据 2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是 3，则这组数据的方差是_ 13. 一个三角形三边长分别为 5，12，13，R 是其外接圆半径，r 是其内切圆半径，则 Rr_ 14. 如图，BC
5、是O的直径，A、D是O上的两点，若ABC25 ，则D的度数是_ 15. 如图， 正六边形ABCDEF内接于Oe， 其边长为 2， 则Oe的内接正三角形ACE的边长为_ 16. 如图，A、B、C、D 四个点均在O上，AOD70 ，AO/DC，则B的度数为_ 17. 若点 O是ABC 的外心，且BOC=70 ，则BAC 的度数为_ 18. 如图，正方形 OABC的边长为 4，以 O为圆心，EF 为直径的半圆经过点 A，连接 AE，CF 相交于点 P，将正方形 OABC从 OA与 OF 重合的位置开始， 绕着点 O 逆时针旋转 90， 交点 P 运动的路径长是_ 三、解答题（本大题共有三、解答题（本
6、大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）2(2)3(2)xx； （2）2410 xx 20. 己知关于 x 的方程 x2(m2)x2m10 （1）求证：无论 m取何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若此方程的一个根为 1，请求出方程的另一个根 21. 九（1）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表（单位：分） ： 甲 8 9 7 10 10 9 10 10 10 7 乙 8 7 9 8 10
7、10 9 10 9 10 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）计算乙队成绩的平均数和方差； （3）已知甲队成绩的方差是 1.4 分2，则成绩较为整齐的是 队 22. 已知：如图，AB是O的弦，半径 OC 交弦 AB于点 P，且 AB10cm，PB4cm，PC2cm，求半径OC 的长 23. 如图，正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A、B、C，请在网格图中进行下列操作： （1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心 D 点的位置，并写出点 D 坐标为 ； （2）连接 AD、CD，则D 的半径为 （结果保留根号） ，ADC 的度数为 ； （3）若扇形 DAC 是一
8、个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 （结果保留根号） 24. 如图，一个长为 15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为 12m， 如果梯子的顶端下滑了 1m，那么梯子的底端也向后滑动 1m吗？请通过计算解答. 梯子顶端从 A处沿墙 AO 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由. 若将上题中的梯子换成 15 米长的直木棒， 将木棒紧靠墙竖直放置然后开始下滑直至直木棒的顶端 A滑至墙角 O处，试求出木棒的中点 Q滑动的路径长. 25. 某种商品的标价为 200 元/件，经过两次降价后的价格为 162元/件，并且两次降价的百分率相同
9、（1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 156 元/件，若以 200 元/件售出，平均每天能售出 20 件，在每件降价幅度不超过 10元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，如果每天盈利 1600元，每件应降价多少元？ 26. 阅读下面材料，回答问题： 爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题 例如：x22x2（x22x1）1（x1）211；因此 x22x2有最小值是 1 （1） 尝试： 2x24x32 （x22x11） 32 （x1）25， 因此2x24x3有最大值是 ； （2）拓展：已知实数 x，y 满足 x23xy30，则 yx 的最大
10、值为 ； （3）应用：有长为 28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 16米） ，围成一个长方形的花圃能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积 27. 如图，AB是O的直径，BC 为O 的切线，D为O 上的一点，CDCB，延长 CD交 BA的延长线于点 E （1）求证：CD是O 的切线； （2）求证：C2DBE （3）若 EAAO2，求图中阴影部分的面积 （结果保留 ） 28. 阅读理解：如果两个正数 a，b，即 a0，b0，有下面的不等式：2abab，当且仅当 ab 时取到等号我们把2ab叫做正数 a，b 的算术平均数，把ab叫做正数 a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：
11、两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具 初步探究： （1）已知 x0，求函数 yx+4x的最小值 问题迁移： （2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为 100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？ 创新应用： （3）如图，在直角坐标系中，直线 AB经点 P（3，4） ，与坐标轴正半轴相交于 A，B两点，当AOB的面积最小时，求AOB的内切圆的半径 江苏省扬州市江都区江苏省扬州市江都区 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、
12、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面轴对称图形中对称轴最多的是 A. 矩形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【详解】矩形有 2 条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有三条对称轴，正六边形有 6条对称轴， 上述图形中，对称轴最多的是圆. 故选 B. 2. 已知O的半径为 5cm，点 P
13、 在直线 l上，且点 P 到圆心 O的距离为 5cm，则直线 l与O（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结果； 【详解】O的半径为 5cm且点 P 到圆心 O的距离为 5cm， 当 OP 的距离是圆心到直线的距离时， 点 P 在圆上， 直线 l与O 相切， 当 OP距离不是圆心到直线的距离时， 得到直线与圆相交 故答案选 D 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键 3. 关于 x的方程（x2）2=1m无实数根，那么 m满足的条件是（ ） A. m2 B. m2 C. m1 D.
14、 m1 【答案】C 【解析】 【分析】因为方程没有实数根，所以方程根的判别式240bac，据此代入数据求出不等式解集. 【详解】将221xm 化简得2x430 xm ，因为244130m ，所以161240 xm，m1. 所以选 C. 【点睛】考查了根的判別式，总结：一元二次方程根的情况与判別式的关系：0 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根；0 今方程没有实数根. 4. 在对一组样本数据进行分析时， 小华列出了方差的计算公式222222(3)(3)(4)xxxxsn，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是 4 B. 样本的中位数是 3 C. 样本的众数
15、是 3 D. 样本的平均数是 3.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得 【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为2,3,3,4 则样本的容量是 4，选项 A正确 样本的中位数是3332，选项 B正确 样本的众数是 3，选项 C正确 样本的平均数是233434 ，选项 D错误 故选：D 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键 5. 已知圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 15cm2，则这个圆锥底面圆的半径是 A.
16、1.5cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【详解】圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 15cm2， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：23065slr， 锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 6322lrcm 故选 B. 6. 如图，四边形 ABCD内接于O，若四边形 ABCO是平行四边形，则ADC的大小为( ) A. 45 B. 50 C. 60 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案. 【详解】根据平行四边形的性质可知B=AOC， 根据圆内接四边形的对角互补可知B+D=180 ， 根据圆周角定理可知D=12AOC
17、， 因此B+D=AOC+12AOC=180 ， 解得AOC=120 ， 因此ADC=60 故选 C 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用 7. 如图，在平面直角坐标系中，A与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交A于 M、N 两点，若点 M的坐标是（8，4） ，则点 N 的坐标为（ ） A. （2，4） B. （1，4） C. （3，4） D. （1.5，4） 【答案】A 【解析】 【分析】作 ABMN 于 B，连接 AM，如图，设A的半径为 r，先根据切线的性质得 OA=r，则点 A的坐标为（-r，0） ，再利用垂径定理得 BM=BN，利用 MN
18、x 轴，M（-8，-4） ，得到 B点坐标为（-r，-4） ，然后在RtABM中，根据勾股定理得2224(8) rr，解得 r=5，则 BM=BN=3，易得 N点坐标为（-2，-4） 【详解】解：作 ABMN于 B，连接 AM，如图， 设A 的半径为 r， A与 y轴相切于原点 O， OA=r， 点 A的坐标为（-r，0） ， ABMN， BM=BN， MNx轴，M（-8，-4） ， B点坐标为（-r，-4） ， 在 RtABM 中，AB=4，AM=r，BM=8-r， 222ABBMAM， 2224(8) rr，解得 r=5， BM=3， BN=3， N 点坐标为（-2，-4） ， 故选：A
19、【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解 8. 在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P（m，3 m23） ，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知点 P 在直线32 3yx上，再结合题意，画出图形设该直线与 y轴交于点 B，与 x轴交于点 C，并作OHBC于点 H根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得 B、C 两点的坐标，即得出 OB、OC、BC的长再根据面积法即可求出
20、OH的长根据切线的性质可知OAPA，即由勾股定理可推出22APOPOA由 OA为圆 O半径，是定值，故可知当 OP最小时，PA 最小，此时OP 最小值即为 OH的长，由此即可求出 PA 的最小值 【详解】解：根据题意可知点 P在直线32 3yx上，设该直线与 y 轴交于点 B，与 x轴交于点 C，并作OHBC于点 H，如图 令0y ，则32 30 x， 解得：2x； 令0 x，则2 3y 故 B 点坐标为(0，2 3)，C 点坐标为(-2，0) 2 3OB ，2OC ，2222()()( 20)(02 3)4CBCBBCxxyy 1122OBCSBC OHOB OCV， 42 3 2OH ，即
21、3OH PA为圆 O 的切线， OAPA， 在RtOAP中，22PAOPOA OA为圆 O半径，是定值， 当 OP 最小时，PA 最小 OP最小时即为 OH 的长， 2222( 3)12PAOHOA 故选 D 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理根据题意作出图形，并理解当 OP 最小时，PA 最小，且 OP 最小值为 OH的长是解答本题的关键 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 9. 方程2xx
22、的根是_ 【答案】0 和 1 【解析】 【分析】观察本题形式，用因式分解法比较简单，在移项提取x后，左边将变成两个式子相乘为 0的情况，让每个式子分别为 0，即可求出x 【详解】移项得：20 xx， 即10 x x， 解得：1201xx， 故答案为：0和1 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 10. 若关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_ 【答案】1k 且0k 【解析】 【分析】根据一元二次
23、方程的定义及根的判别式即可求解 【详解】解：关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根， 0k 且440k， 解得1k 且0k ， 故答案为：1k 且0k 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键 11. 设 m，n 是一元二次方程 x22x70的两个根，则 m23mn_. 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据根与系数的关系可知 m+n=2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n， 最终可得答案 设 m、 n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根， m
24、+n=2， m 是原方程的根， m2+2m7=0，即 m2+2m=7， m2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5 考点：根与系数的关系 12. 一组数据 2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是 3，则这组数据的方差是_ 【答案】53 【解析】 【详解】 【分析】 先根据中位数的定义求出 x的值， 再求出这组数据的平均数， 最后根据方差公式 S2=1n （x1x）2+（x2x）2+（xnx）2进行计算即可 【详解】按从小到大的顺序排列为 1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为 3， x=3， 这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5） 6=3， 这组数据的方差是： 16 （13
25、）2+（23）2+（33）2+（33）2+（43）2+（53）2=53， 故答案为53 【点睛】本题考查了中位数的定义、方差的计算，熟练掌握中位数的定义以及方差的计算是解题的关键. 13. 一个三角形三边长分别为 5，12，13，R 是其外接圆半径，r 是其内切圆半径，则 Rr_ 【答案】4.5 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理推出90C，连接OE，OQ，根据圆O是ABCV的内切圆，得到AEAF，BQBF，90OECOQC ，OEOQ， 推 出 正 方 形O E C Q， 设O EC EC QO Qr，得到方程12513rr ，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案 【详
26、解】如图：连接OE，OQ 2225 144169ACBCQ，2169AB 222ACBCAB 90C Q圆O是ABCV的内切圆 AEAF，BQBF，90OECOQCC ，OEOQ 四边形OECQ是正方形 设OECECQOQr 13AFBFQ 12513rr 2r Q直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径 其外接圆半径为：6.5R 6.5 24.5Rr 故答案：4.5 【点睛】本题考查了对三角形内切圆与内心以及直角三角形外接圆半径求法，切线长定理，切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，综合运用这些性质进行推理是解题关键 14. 如图，BC 是O的直径，A、D是O上的两点，若A
27、BC25 ，则D的度数是_ 【答案】65 【解析】 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论 【详解】BC是O的直径，BAC=90 ABC=25，C=9025=65，D=C=65 故答案为 65 【点睛】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 15. 如图， 正六边形ABCDEF内接于Oe， 其边长为 2， 则Oe的内接正三角形ACE的边长为_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】连接 OB交 AC于 H首先证明 OBAC，解直角三角形求出 AH即可解决问题 【详解】解：连接 OB交 AC于 H 在正六边形 ABCDEF中，AB=BC，ABC=
28、120 ， ABBC， OBAC， ABH=CBH=60 ，AH=CH， AH=ABsin60=3， AC=23， 故答案为 23 【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 16. 如图，A、B、C、D 四个点均在O上，AOD70 ，AO/DC，则B的度数为_ 【答案】55 【解析】 【分析】连接 OC，由 AODC，得出ODC=AOD=70 ，再由 OD=OC，得出ODC=OCD=70 ，求得COD=40 ，进一步得出AOC，进一步利用圆周角定理得出B 的度数即可 【详解】如图，连接 OC， AODC， ODC=AOD=70 ， O
29、D=OC， ODC=OCD=70 ， COD=40 ， AOC=110 ， B=12AOC=55 考点：1.圆周角定理；2.平行线的性质 17. 若点 O是ABC 的外心，且BOC=70 ，则BAC 的度数为_ 【答案】35 或 145 【解析】 【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可 【详解】当点 O 在三角形的内部时， 则BAC=12BOC=35 ； 当点 O 在三角形的外部时， 则BAC=12（360 -70 ）=145 故答案为 35 或 145 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所
30、对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 18. 如图，正方形 OABC的边长为 4，以 O为圆心，EF 为直径的半圆经过点 A，连接 AE，CF 相交于点 P，将正方形 OABC从 OA与 OF 重合的位置开始， 绕着点 O 逆时针旋转 90， 交点 P 运动的路径长是_ 【答案】2 2 【解析】 【分析】连接 AF，根据题意可确定，点 P 运动的路径是以 G 为圆心的弧，在G 上取一点 H，连接 EH、FH 根 据 圆 周 角 定 理 可 求 出1452AFPAFCAOC ，90EAF， 即 可 推 出45APFAFP，从而求出180135EPFAPF根据圆内接四边形的性
31、质，可求出18045HEPF，即得出45HAPF，从而求出290EGFH ，进而可利用勾股定理求圆 G的半径，最后利用弧长公式计算即可 【详解】解：如图，连接 AF， 四边形 AOCB是正方形， 90AOC， 1452AFPAFCAOC ， EF 是O直径， 90EAF， 45APFAFP， 180135EPFAPF 28EFOA，为定值， 点 P在是以点 G为圆心，GE为半径的圆上，运动的路径为以点 G为圆心的劣弧 EF 18018013545HEPF， 45HAPF， 290EGFH 在Rt EGFV中，222EGFGEF，即2284 222EGFGEF， 90904 22 2180180
32、EGEF 故答案为：2 2 【点睛】本题为圆的综合题，考查正方形的性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难，属于中考填空题中的压轴题正确添加辅助线并确定轨迹的路线是解题的关键 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）2(2)3(2)xx； （2）2410 xx 【答案】 （1）x1=2，x2=5； （2）125x ，225x
33、 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据本题特点，选用“因式分解法”来解比较简单； （2）根据本题特点，可选用“配方法”或“公式法”来解. 试题解析： (1)原方程可化为：(2)(23)0 xx， 20 x或2 30 x ， 解得1225xx，； （2）移项，得241xx， 配方得：24414xx ，即2(2)5x， 25x ， 1225,?25xx . 20. 己知关于 x 的方程 x2(m2)x2m10 （1）求证：无论 m取何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若此方程的一个根为 1，请求出方程的另一个根 【答案】 （1）证明见解析； （2）此方程的另一根为 3 【解析】 【分析】
34、（1）根据题意求出的值，判断出的符号即可； （2）先把方程的一个根 1代入求出 m的值，再把 m的值代入原方程求出 x的值即可. 【详解】 （1）证明：= b24ac(m2)24(2m1)m24m8(m2)240 无论 m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）把 x1代入方程得：1(m2)2m10，解得 m2， 把 m2 代入方程得：x24x30，解得 x11，x23 此方程的另一根为 3. 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac的关系是解答此题的关键. 21. 九（1）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩
35、如下表（单位：分） ： 甲 8 9 7 10 10 9 10 10 10 7 乙 8 7 9 8 10 10 9 10 9 10 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）计算乙队成绩的平均数和方差； （3）已知甲队成绩的方差是 1.4 分2，则成绩较为整齐的是 队 【答案】 （1）9.5，10； （2）平均成绩为 9 分，方差为 1； （3）乙 【解析】 【分析】 （1） 根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数； 根据众数的定义找出出现次数最多的数即可； （2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算； （3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案 【
36、详解】解： （1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10） 2=9.5（分） ， 则中位数9.5分； 乙队成绩中 10 出现了 4 次，出现的次数最多， 则乙队成绩的众数是 10 分； 故答案为：9.5，10； （2）乙队的平均成绩是：110 （10 4+8 2+7+9 3）=9， 则方差是：110 4 （10-9）2+2 （8-9）2+（7-9）2+3 （9-9）2=1； （3）甲队成绩方差是 1.4，乙队成绩的方差是 1， 成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙 【点睛】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小
37、到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数） ，一般地设 n个数据，x1，x2，xn的平均数为x，则方差2222121()()nSxxxxxxnL，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 22. 已知：如图，AB是O的弦，半径 OC 交弦 AB于点 P，且 AB10cm，PB4cm，PC2cm，求半径OC 的长 【答案】7cm 【解析】 【分析】过点 O 作 ODAB 于 D，连接 OA，根据垂径定理得到 AD=BD=5，DP=1，设 OA=OC=r cm，在RtAOD和 RtOPD 中，根据勾股定理得到关于 r的方程，解方程即可求解 【详解】解
38、：如图，过点 O作 ODAB于 D，连接 OA， 则 AD=BD=12AB=5 cm， DP=BDPB=54=1 cm， 设 OA=OC=r cm， 在 RtAOD和 RtOPD中，由勾股定理得：OD2=OA2AD2=OP2DP2， 即 r252=（r2）212， 解得：r=7， 即半径 OC的长为 7cm 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，根据题意添加辅助线，构造直角三角形，得到关于 r 的方程是解题关键 23. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A、B、C，请在网格图中进行下列操作： （1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心 D 点的位置，并写出点 D 坐标
39、为 ； （2）连接 AD、CD，则D 的半径为 （结果保留根号） ，ADC 的度数为 ； （3）若扇形 DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 （结果保留根号） 【答案】 （1）作图见解析， （-1，0） ； （2）17，90 ； （3）174 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据线段垂直平分线性质找出 D 即可； （2）根据勾股定理即可求出 CD，证CEDDOA，根据全等三角形性质求出COE=OAD，根据三角形内角和定理即可求出ADC； （3）根据弧长公式求出弧长，根据圆的周长公式求出即可 试题解析： （1）如图： D 的坐标为（-1，0） （2）如图： 设小正方形的边长为
40、1，由勾股定理得：CD=224117， 在CED 和DOA 中 90CEDOCEODOAOEOA CEDDOA， COE=OAD， AOD=90 ， OAD+ADO=90 ， ADC=180 -（CDE+ADO）=180 -（OAD+ADO）=180 -90 =90 （3）AC的长为9017171802， 设圆锥底面半径为 r， 则 2r=172， 解得：r=174 考点：1垂径定理；2勾股定理；3圆锥的计算 24. 如图，一个长为 15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为 12m， 如果梯子的顶端下滑了 1m，那么梯子的底端也向后滑动 1m吗？请通过计算解答. 梯子的顶端从 A 处沿
41、墙 AO 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由. 若将上题中的梯子换成 15 米长的直木棒， 将木棒紧靠墙竖直放置然后开始下滑直至直木棒的顶端 A滑至墙角 O处，试求出木棒的中点 Q滑动的路径长. 【答案】 （1）梯子的底端也向后滑动不是 1 米； （2）移动的距离有可能相等； （3）154 【解析】 【详解】试题分析：在直角AOB中利用勾股定理即可求解； 求得 OB的长，然后根据 AA=BB即可列方程求解； 利用弧长公式即可求解 试题解析：在直角AOB中，OB=2222= 1512 =9ABOA(m). 在直角AOB中,AB=AB=15
42、cm,AO=121=11(m). 则 OB=2222= 1511 =2 26ABOA (m) BB=2 26-91(m) 梯子的底端也向后滑动不是 1 米 木棒的中点 Q滑动的路径长是：15902180=154(m) 所以木棒的中点 Q 滑动的路径长为154米. 点睛：本题是勾股定理和弧长公式的应用，理解木棒的中点 Q滑动的路径是以 O 为圆心的弧是关键. 25. 某种商品的标价为 200 元/件，经过两次降价后的价格为 162元/件，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 156 元/件，若以 200 元/件售出，平均每天能售出 20 件，在每件
43、降价幅度不超过 10元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，如果每天盈利 1600元，每件应降价多少元？ 【答案】 （1）该种商品每次降价的百分率为 10% （2）每件商品应降价 4元 【解析】 【分析】 （1）设该种商品每次降价的百分率为 x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）关系式为：每件商品的盈利 （原来的销售量增加的销售量）1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可 【详解】解： （1）设该种商品每次降价的百分率为 x， 依题意，得：200（1x）2162， 解得：x10110%，x219（
44、不合题意，舍去） 答：该种商品每次降价的百分率为 10% （2）设每件商品应降价 x元，根据题意，得： （200156x） （20+5x）1600 解方程得 x4或 x36， 在降价幅度不超过 10 元的情况下， x36不合题意舍去， 答：每件商品应降价 4元 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键 26. 阅读下面的材料，回答问题： 爱动脑筋的小 明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题 例如：x22x2（x22x1）1（x1）211；因此 x22x2有最小值是 1 （1） 尝试： 2x24x32 （x2
45、2x11） 32 （x1）25， 因此2x24x3有最大值是 ； （2）拓展：已知实数 x，y 满足 x23xy30，则 yx 的最大值为 ； （3）应用：有长为 28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 16米） ，围成一 个长方形的花圃能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积 【答案】 （1）5； （2）7； （3）能，最大面积为 98m2 【解析】 【分析】 （1）根据偶次方的非负性解答； （2）将函数方程 x23xy30代入 y-x，把 y-x表示成关于 x 的函数，根据二次函数的性质求得最大值 （3）根据题意列出函数关系式，利用配方法解答 【详解】解： （1）2x24x32
46、（x22x11）3-2（x1）255， 2x24x3 有最大值是 5， 故答案为：5； （2）解：由 x23xy30得 yx23x3，把 y 代入 y-x 得： yxx23x3xx24x3（x2）2347， yx 的最大值为 7 故答案为：7 （3）解：设利用墙的一边长为 x，则 x16， 由题意知：S花圃x282x 12x214x12（x14）298 当 x14时，花圃面积最大，最大面积为 98m2 【点睛】本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法，解题关键是掌握二次函数的性质及求最大值的方法 27. 如图，AB是O的直径，BC 为O 的切线，D为O 上的一点，CDCB，延长
47、 CD交 BA的延长线于点 E （1）求证：CD是O 的切线； （2）求证：C2DBE （3）若 EAAO2，求图中阴影部分的面积 （结果保留 ） 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）233 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由 BC为圆 O的切线，利用切线的性质得到ABC为直角，由 CD=CB，利用等边对等角得到一对角相等，再由 OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得到ODC=ABC，确定出ODC 为直角，即可得证； （2）根据图形，利用外角性质及等边对等角得到DOE=ODB+OBD=2DBE，由（1）得：ODEC于点 D，可得E+C=E+DOE=90 ，等
48、量代换即可得证； （3）作 OFDB于点 F，根据 S阴影=S扇形OAD+SBOD即可求解 【详解】 （1）证明：连接 OD， BC是O的切线，ABC90 ， CDCB，CBDCDB， OBOD，OBDODB， ODCODB+CDBOBD+CBDABC90 ，即 ODCD， 点 D在O上，CD为O 的切线； （2）解：ODOB，DOEODB+OBD2DBE， ODEC，E+CE+DOE90 ， CDOE2DBE； （3）解：如图，作 OFDB 于点 F，连接 AD， 由 EAAO可得：AD是 RtODE 斜边的中线， ADAOOD，DOA60 ，OBD30 ， 又OBAO2，OFBD，OF1，
49、BF3， BD2BF23，AOD60 ， S阴影S扇形OAD+SBOD2602360+12 23 1233 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 28. 阅读理解：如果两个正数 a，b，即 a0，b0，有下面的不等式：2abab，当且仅当 ab 时取到等号我们把2ab叫做正数 a，b 的算术平均数，把ab叫做正数 a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具 初步探究： （1）已知 x0，求函数 yx+4x的最小值 问题迁移： （2
50、）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为 100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？ 创新应用： （3）如图，在直角坐标系中，直线 AB经点 P（3，4） ，与坐标轴正半轴相交于 A，B两点，当AOB的面积最小时，求AOB的内切圆的半径 【答案】初步探究： （1）4；问题迁移： （2）x102m时，y有最小值，即所用栅栏最短；创新应用： （3）R2 【解析】 【分析】 （1）根据 x0，令 a=x，b=4x，利用题中的新定义求出函数的最小值即可； （2）设一直角边为 xm，则另一直角边为200 xm，栅栏总长为 ym，根据题意表示出 y 与 x
